2003年3月17日 本周数学物理发现（第194周） 约翰·贝兹 我最近从澳大利亚悉尼飞往加拿大滑铁卢。 所有 突然一天变成了黑夜，30摄氏度的夏天变得闷热起来 转为-15摄氏度的暴风雪。 不出所料，我下来了 感冒了。 尽管如此，我很高兴来到这里。 我正在参观 周界理论物理研究所，见老朋友 像路易斯·克雷恩、福蒂尼·马科波卢奥和李·斯莫林，还有一些新的 比如劳伦特·弗雷德尔、亨德里克·普费弗和奥拉夫·德雷耶。 有一个 关于量子引力、弦理论的许多有趣的流言。。。。
但稍后会有更多信息！ 现在我想谈谈康威的新书。
上周我描述了我 思想 是Cayley积分吗 八个洋葱。 但后来丹·皮波尼告诉我，我把事情搞砸了： 它们在乘法运算中是不封闭的。 我很困惑，直到 我到了这里。
在我出现的那天，我收到了一包邮件，里面有这本书：
1） John H.Conway和Derek A.Smith，《四元数和八元数： 《他们的几何、算术和对称》，A.K.Peters，Ltd.，Natick， 马萨诸塞州，2003年。
康威和史密斯把它寄给了我，因为他们引用了我的历史 八角头。 在这本书中，我的 错误以及如何修复！ 他们把它归因于一个叫 J.Kirmse，并写道：
其他人做出了这个非常自然的假设，所以 方便的是它有一个标准名称：“Kirmse’s Mistake” 两个Kirmse整数的乘积恰好是一个Kirme整数 超过三分之一的时间。 没有什么比在 来自康威的邮件！ 你们很多人可能都认识他 超现实数字和生活游戏。 在数学家中他是 以博弈论、水蛭格和有限简单 小组。 他也因表现得像个量子隧道而出名 出自刘易斯·卡罗尔的小说。 如果你不知道我的意思，你 错过了 许多 有趣的。。。 所以你应该立即阅读：
2） 查尔斯·塞夫（Charles Seife），《科学》（The Sciences），《数学大师》（Conway印象） （1994年5月/6月），12-15。 可在 http://www.users.cloud9.net/ ~cgseife/conway.html
为了吸引你，我引用开头的话：
“我对你这样做了吗？”他抓住我的手，伸出手来 在他面前，手掌朝下。 我还没来得及反应，他就拔了一块橡皮 从他的口袋里掏出邮票，我的手上突然刻着 红色大字母。 “约翰·H·康威（John H.Conway）的Grugging Approval印章。” 几秒钟之内，它就变成了三条红线 洗几天。 他仍然抓住我的手，拉着我 朝他的办公室走去。 色彩鲜艳的多面体杂乱地悬挂着 从天花板上悬垂的绳子网中。 昏暗的 通过一堆魔方可以看到计算机终端的轮廓 立方体和木制环形物。 “我们在本科生的生活会更好 休息室。 医生说我应该休息，我可以躺在那里。 " 无论如何，他最近一直忙于写书。 不久前，他 完成了一篇关于二次型分类的文章：
3） 约翰·康威（John H.Conway）和弗朗西斯·冯（Francis Fung），《感性（二次）形式》（The Sensual（Quadratic）Form）， 美国数学协会，华盛顿特区，1997年。
在这之前，有一个关于数字的非常有趣的基本问题：
4） 约翰·康威（John H.Conway）和理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数字之书》， 哥白尼，纽约，1996年。
现在他研究四元数和八元数。 但他的新书 德里克·史密斯从实数和一维开始 几何图形。 然后转向复数和二维几何， 包括高斯整数和艾森斯坦整数以及17个“空间群” 在2个维度中。
也许我应该说这些是什么。 高斯整数 是形式的复数
a+bi 其中a和b是整数。 它们形成一个方形格子： * * * * * * * * * * * * 你可以将任意高斯整数唯一地分解为素数-至少 如果将不同顺序的因子分解计算为相同，并且 忽略由于“单位”（可逆高斯）引起的歧义 整数1、i、-1和-i。你可以用几何证明这一点 方格的。。。 有关详细信息，请阅读本书！ Eisenstein整数是以下形式的复数
a+bw 其中a和b是整数，w是-1的非平凡立方根。 它们在加法和乘法下闭合，并形成 六角对称晶格： * * * * * * * * * * * 同样，您可以使用几何来证明唯一因子分解 重新排序和单位。 高斯整数和艾森斯坦整数是最对称的晶格 在2维中：它们具有4倍和6倍的旋转对称性， 分别是。 正如我在“第124周”和随后的几周中所解释的那样， 这与玻色弦中数字24的出现有关 理论。 但这些晶格在晶体学中也发挥着作用 二维空间群的分类。
我不知道“太空群”的定义是什么——参考文献 我已经看到了在这一点上令人恼火的沉默-但这是件很重要的事 就像欧几里德群的一个子群（由旋转生成的群， 反射和平移）在晶格上起传递作用。 那里 是17个二维空间组，也被称为“壁纸组” 它们赋予重复壁纸图案不同的对称性。 的 这些，2作用于没有特殊对称性的晶格：
* * * * * * * * * * * * 7作用于矩形对称晶格： * * * * * * * * * * * * 或者可替换地，在具有菱形对称性的晶格上： ** * * * * * 3作用于方形对称晶格，5作用于晶格 具有六边形对称性。 有关更多详细信息和图片，请参阅： 5） NIST，17个二维空间组， http://www.nist.gov/srd/webguide/nist42-3/appa.htm
6） Eric Weisstein，墙纸小组， http://mathworld.wolfram.com/WallpaperGroups.html
7） David Hestenes，几何代数中的点群和空间群， 建模nts.la.asu.edu/pdf/crystalsymetry.pdf
在这场低维热身之后，康威和史密斯的书转向了 四元数及其在三维和四维中的应用 几何图形。 他们对三维旋转组的有限子群进行分类 SO（3）、其双覆盖SU（2）和三维旋转/反射组 O（3）。 他们还对4d旋转群的有限子群进行了分类。 他们提到但没有研究三维的230个空间群。
然后他们转向四元数理论！ “Lipschitz积分 四元数的形式
a+bi+cj+dk 其中a、b、c、d是整数。 但数论对 “赫尔维茨积分四元数”，其形式为 a+bi+cj+dk 其中a、b、c、d要么是全部整数，要么是全部半整数。 这些 在加法和乘法下是闭合的，它们形成一个格 称为D4晶格，它提供了最密集的球形晶格堆积 4维-每个球体有24个最近的邻居。 他们证明了 Hurwitz积分四元数唯一素因式分解的版本。 但这里的“独特性”要复杂得多，部分原因是 四元数是非交换的。 最后，他们研究八元数。 他们从一个真正优秀的开始 Moufang环、同位素和三态性的研究——三个相当深奥的问题 对理解八元数至关重要的科目。 然后他们铲球 八元数理论！ “Gravesian积分八元数”是 形式的八元数
一 0 +一个 1 e（电子） 1 +一个 2 e（电子） 2 +一个 三 e（电子） 三 +一个 4 e（电子） 4 +一个 5 e（电子） 5 +一个 6 e（电子） 6 +一个 7 e（电子） 7 其中所有系数都是整数。 Kleinian积分 八元数”是指系数都是整数或 所有半整数。 这两个都是在添加和 乘法。 为了在乘法下得到更稠密的格子， 我们需要八进制乘法表（见“第104周”）：
如果我们计算包含 e（电子） 1 ，电子 2 ，电子 4 作为荣誉“线”。 为了得到“双重赫尔维辛” 整数八元数”，首先选择其中一行。然后，取所有 Gravesian积分八元数的积分线性组合， 形式的八元数
（±1±e 我 ±e j个 ±e k个 )/2 其中e 我 ，电子 j个 ，电子 k个 躺在这条线上，还有那些表格上的 （±e 我 ±e j个 ±e k个 ±e 我 )/2 其中e 我 ，电子 j个 ，电子 k个 ，和e 我 所有的谎言 远离的 这条线。 我们得到了 双Hurwitzian积分八元数的7个不同版本 这种方式。 每个函数在加法和乘法下是闭合的，并且 每个都是名为D4xD4的晶格的副本。 为了得到一个更稠密的晶格，我们可以将所有7个不同的晶格求并 双Hurwitzian整数八元数。 我上周谈到了这一点。 我们得到了一个E8晶格，它给出了8中最密集的球体堆积 维度-每个球体有240个最近的邻居。 我 思想 这个格子在乘法运算中是闭合的，但不是！ 康威和 史密斯嘲弄地称之为“Kirmse整数八元数”。
要解决此问题，您需要执行一个小技巧。 选择一个 数字i从1到7。 然后，取所有Kirmse积分八元数
一 0 +一个 1 e（电子） 1 +一个 2 e（电子） 2 +一个 三 e（电子） 三 +一个 4 e（电子） 4 +一个 5 e（电子） 5 +一个 6 e（电子） 6 +一个 7 e（电子） 7 并切换系数a 0 和a 我 . 奇怪的是，结果 “Cayley积分八元数”在乘法下是闭合的。 但是 它们仍然是E8晶格——只是Kirmse的旋转版本 整数八元数。 由于这个技巧涉及任意选择，因此有7个不同的 包含Gravesian积分的Cayley积分八元数的副本 八个洋葱。 这是最好的结果：在 康威和史密斯解释的某种意义。 他们学习素材 Cayley积分八元数中的因子分解，但它非常棘手， 因为八元数是非关联的。
我还有很多话要说，但我可能害怕 除了八角头，其他人都跑了，所以我要等到下一个 周。 我只想提一下这篇评论文章，它的标题是 应该享受：
8） B.S.Acharya，M理论，G2流形和四维 物理，班级。 数量。 重力。 19 (2002), 5619-5653.
这很好，因为它完全符合 G2流形到（粗略但可读的）物理考虑 比如质子衰变的速率。
附录：托尼·史密斯写道：
感谢您提到约翰·康威-德里克·史密斯的书 194周。 我已经从亚马逊订购了它。 顺便说一句，如果你已经看过这些细节，我很抱歉 如果它们在康威-史密斯的书中）- 科克塞特的文章中详细描述了科姆斯的错误 积分Cayley数（Duke Math.J.，第13卷，第4期， 1946年12月），其中考克塞特说： “…Kirmse…选择一个八维模块。。。 它在减法下闭合，包含八个 线性独立成员。。 一个模块被称为 一个整数域，如果它在乘法下是闭合的。 一个简单的例子是Jo模块，它包含 凯利数字。。。 [即]整数。。。 ... [Kirmse]然后定义最大值。。。 Jo上的积分域 作为Jo的扩展，不能进一步扩展 而不是一个积分域。 他说有八个这样的域， 其中一个被他称为J1并进行了详细描述。 实际上，只有七个，大概是 他八个人中剩下的七个人。 …J1本身在乘法下不闭合。。。 由于168组在 七个[假想八元数]，任意换位[的 假想的八元数]将用于以所需的方式矫正J1。 但这样的域名只有七个， 因为（7|2）=21可能的换位下降 分成7组，每组3组，每组效果相同。 在七个域中的每一个域中，有一个[假想八元数] 发挥特殊作用，即不受影响的作用 通过三个换位中的任何一个。 Kirmse乘法表与Cayley乘法表的比较 …我们看到。。。 Kirmse的J1可以用作 如果我们把他的乘法表换成凯利的。。。 " ----------------------------------------------------------- 还讨论了这些积分域 在科克塞特的论文《规则和半规则多边形III》中 （数学Z.2003-451988），其中他描述了240个单位 E8积分域的 “…16+16+16八度音阶 ±1，±i，±j，±k，±e，±ie，±je，±ke， （±1±ie±je±ke）/2， （±e±i±j±k）/2， 以及从最后两个表达式导出的192个其他表达式 循环排列7个符号[i，j，k，e，ie，je，ke] 以特殊的顺序 e、 i，j，即ke，k，je ... 这似乎有点自相矛盾。。。 循环排列 （e，i，j，即ke，k，je）， 它保留了积分域 （和有限射影[Fano]平面……） 不是整个八度音阶环的自同构； 它转换关联空间坐标轴ijk 加入反联合三合会j ie je。 另一方面，排列 （即je i k ke j）， 这是整个八度环的自同构 （以及有限[法诺]平面…） 将这个特定的积分域转换为另一个积分域 R.H.Bruck的七个此类域的循环之一。。。 ". Tony 2003年3月18日
“四元数来自汉密尔顿，在他真正出色的工作之后 完成； 虽然精巧绝伦，但对 那些以任何方式接触过他们的人。 " -开尔文勋爵
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