如何将一张A4纸折叠成正好相等的三部分？

Question

当我把一封A4纸的信放在一个长方形的信封里时，这总是让我感到恼火：人们在折叠信件时必须估计折痕应该放在哪里。我通常从底部开始，用眼睛估计折叠的位置。然后我把信翻过来，从下到上折叠起来。大多数情况下会出现三个不同的领域。必须有一种方法准确地做到这一点，而不用任何工具（尺子等）。

Answer 1

折叠两次，在纸底留下四分之一的标记。沿着线折叠，穿过上角和第三个标记。穿过前两个标记的垂直线在三分之一处与这条斜线相交，从而形成最终的褶皱。

（以下是罗斯·米利坎（Ross Millikan）的照片——如果这张照片对你有帮助，你也可以向上看他的……）

Answer 2

这是一张图片，与哈根·冯·埃岑的答案相符。水平线是前两个折叠的结果。对角线是第三次折叠。粗线条是三分之一处的点，用于折叠到信封中。

Answer 3

这既实用（没有多余的折痕）和精确（无需猜测或估计）。

1. 将纸张卷成三层管，两端对齐：

   

2. 在我画红线的地方捏一下纸（把边弄皱）

3. 展开

4. 使用夹点标记显示折叠位置

Answer 4

此解决方案仅适用于纵横比为sqrt（2）的纸张（如A4）。
只需要额外折叠两次。

Answer 5

1. 滚入圆柱体，直到两边相对。
2. 折叠边缘接触纸张的点。（从左侧和右侧挤压气缸）

近似方法：

1. 假设成120度角并折叠，如下所示。
2. 为确保准确性，请将边侧与其他任何两侧匹配。

Answer 6

超越更加几何化到目前为止，由于藤本修三（Shuzo Fujimoto）的原因，有一种迭代算法（实际上，和任何精确的方法一样精确），我认为没有人提到过。事实上，以下方法可以推广到任何形状、大小和数量的折叠。

让我用$d_l$表示纸的左侧到左侧第一个标记的距离，用$d_r$表示从右侧到右侧标记的距离。为了简化，假设要除数的边的长度为1。

对$d_l$进行第一次近似。您想要$1/3$，但假设您需要$1/3+\varepsilon$（$\varepsilon$向右或向左有一些错误）。因此，右边是$2/3-\varepsilon$。

接下来，将右边的部分一分为二，得到$d_r$的第一个近似值（通过将纸的右边带到第一个夹点；同样，只需要一个夹点）。这为您提供了$d_r=1/3-\varepsilon/2$，因此，这是一个更好的近似值！

现在，重复左侧的步骤。在左侧，您现在有$2/3+\varepsilon/2$。将纸的左侧移到第二个夹点处，得到$d_l=1/3+\varepsilon/4$的第二个近似值。请注意，在两次挤压之后，您已经将初始错误减少到了四分之一！

如果你最初的猜测足够准确，你就不需要再继续了。但是，如果你需要更精确，你只需要再重复几次这个过程。例如，重复两次迭代后，$\varepsilon=1$cm的初始误差减小到小于1mm（0.0625mm）。

Answer 7

• 从下到中折叠，不要折皱！
• 从上到下折叠，
• 将底部推入中间，
• 轻轻压平纸张，
• 折痕底部，
• 折缝上衣。

Answer 8

一种非数学但快速的方法（我在数百年前必须邮寄信件时使用过）：将纸张弯曲成Z形，就像你想折叠的那样，但不要折皱，轻轻地将边缘（纸的顶部和左侧的2/3向下，右侧的1/3向下和底部）推到一起，使边缘自动对齐，同时使绒面变平，最后向下按压边缘以形成折叠。你可以用10张纸同时做，仍然可以得到合理的结果。

Answer 9

我喜欢几何解！也就是说，有一个更准确的估计技巧。诀窍不是判断整张纸的1/3，而是在第一次折叠时判断剩余纸的1/2。换句话说，当您向上折叠纸张底部1/3时，您向上移动的边缘会接近纸张其余2/3的正中间。对我来说，这很容易判断，结果是折叠精确到几毫米以内。

Answer 10

我不明白这个问题。

在你的问题中，你说你想“把一封A4纸的信放在一个长方形的信封里”，所以你看起来有一张A4纸和一个信封。虽然你不想使用额外的工具，比如尺子，为什么不简单地

把纸折到略低于信封的高度

？这样地：

既然你知道信封的高度（当你买的时候会印在包装上），如果你想准确地说，你可以眼球10毫米(对于C5/6信封)或14毫米(对于C6/5信封)偏离信封的高度。看这么短的长度要比看三分之一的纸张高度容易得多，我可以像按照其他答案中的说明折叠纸张一样做，你可能会注意到，当你用真题和真手代替数学时，不要得出确切的结果（例如，参见Henk Langevild在公认答案下的评论）。

Answer 11

不会生成准确的解决方案，但通常比猜测第一个褶皱要好。

1. 把纸卷到管子里。
2. 允许出现看起来合适的重叠。
3. 必要时，小心压平管子，调整重叠部分。

Answer 12

五折技术：精确到~1mm（如果你能准确对折）

将纸从上到下对折，在纸的一个边缘的中心处打上#1的折痕。

向下弯曲顶部，使其与1号折痕相吻合，形成2号折痕（与顶部的距离为1/4）。

反转纸张（背面），弯曲，使折痕#1和折痕#2对齐，折痕#3居中。

反转纸张（原始面），弯曲以使折痕#3适合折痕#2。在他们中间做4号折痕。

弯曲，使折痕#3与折痕#4吻合。在他们中间做5号折痕。

折叠底部，使其与折痕#5和#4之间的1/3（接近#5）相交。

总结-折痕的最终顺序：底部、1、3、5、4、2、顶部

顶部+底部=1

顶部+1=2

1+2=3（向后折叠）

3 + 2 = 4

3 + 4 = 5

Answer 13

这是Egor Skriptunoff方法它适用于任何长宽比的纸张，不仅适用于A4，也适用于我们的非大陆读者。它使用交叉阶梯问题的求解，需要比埃戈尔方法多一倍，但比哈根·冯·埃岑（Hagen von Eitzen）方法少一倍，该方法也适用于任何纵横比。

1. 将纸沿长边对折（构造段美元EF$在下图中，连接$AD（美元）$和BC美元$).
2. 沿线段折叠纸张比利时元$.
3. 沿线段折叠纸张美元AC$.

可以证明这一点$GH=\压裂｛1｝{3} AD公司$，因此沿线段折叠纸张IJ美元$（然后在折痕处再次折叠，或沿线段折叠美元DF$以获得另一个交叉点）将产生期望的折叠成三分之一。

如果比率$AB/AD=\sqrt{2}$和A4纸一样，我们有$AC\bot比利时$（反之亦然）允许省略构造比利时元$，我们可以按照Egor的解决方案进行。