特征物到底是什么？

Question

维基百科定义如下的特征向量：

方阵的特征向量是一个非零向量，当与矩阵相乘时，产生的向量最多与原始向量不同一个乘法标量。

所以基本上用外行的语言来说：特征向量是一个向量，当你用它乘以一个平方矩阵时，你会得到相同的向量或相同的向量乘以一个标量。

有很多与之相关的术语，比如本征空间、本征值、本征基等等，我不太明白，事实上，我一点也不明白。

有人能解释一下这些术语吗？因此，很清楚它们是什么，为什么它们是相关的。

Answer 1

特征向量是那些在线性变换下表现出特别简单行为的向量：松散地说，它们不弯曲和旋转，它们只是在长度上增长（或收缩）（尽管如果地面场不是$\mathbb R$，则可能会应用不同的增长/收缩解释）。如果可以将任何其他向量表示为特征向量的线性组合（最好是如果您实际上可以找到由特征向量构成的整个基）然后，应用否则复杂的线性变换突然变得容易了，因为对于特征向量的基，线性变换是由对角矩阵简单地给出的。

特别是当人们想研究线性变换的高次幂时，这实际上只适用于特征向量：如果$Av=\lambdav$，那么$a^nv=\lampda^nv$，甚至指数对特征向量也很容易：$\exp（a）v:=\sum\frac1{n！}a^nv=e^\lambda v$。顺便说一下，指数函数$x\mapstoe^{cx}$是一个著名的线性变换的特征向量：微分，即将函数$f$映射到其导数$f'$。这就是指数作为线性微分方程的基本解（甚至是它们的离散对应项，如斐波那契数的线性递归）发挥重要作用的原因。

所有其他术语都基于这个概念：An（非零）特征向量$v$使$Av$是$v$的倍数，从而确定其特征值$\lambda$作为标量因子，使$Av=\lambda v$。给定一个特征值$\lambda$，具有该特征值的特征向量集实际上是一个子空间（即具有相同（！）特征值的本征向量的和和倍数也是本征向量），称为本征空间对于$\lambda$。如果我们找到一个由特征向量组成的基，那么很明显我们可以称之为本征基如果我们的向量空间的向量不仅仅是数字元组（例如在$\mathbb R^3$中），而且也是函数，并且我们的线性变换是一个算子（例如微分），那么通常可以方便地调用特征向量本征函数相反；例如，$x\mapstoe^{3x}$是特征值为$3$的微分算子的特征函数（因为它的导数是$x\Mapsto3e^{2x}$）。

Answer 2

据我所知，特征值、特征向量等单词中的“特征”意思是“自己的”，或者英语中更好的翻译可能是“特征”。

每个方阵都有一些与其相关联的特殊标量和向量。特征向量是矩阵保留的向量（直到标量乘法）。您可能知道，$n次n$矩阵在$n$维空间（例如$F^n$）上充当线性变换。向量及其标量倍数在$F^n$中通过原点形成一条线，因此可以将特征向量视为通过与矩阵对应的线性变换所保留的原点的指示线。

定义设$A$是字段$F$上的$n次n$矩阵。F^n$中的向量$v\是特征向量如果$Av=\lambda v$，则为$A$的$\lambda$。F$中的标量$\lambda\是特征值对于F^n$中的一些$v\，如果$Av=\lambda v$，则为$A$。

特征值就是这些通过原点的特殊线被拉伸或收缩的因素。

Answer 3

术语“特征”来自德语，意思是“适当的”。这意味着特征向量和特征值相对于所研究的算子/矩阵具有特殊的地位。在这种情况下，它们对于算子/矩阵的应用是基本不变的。应用后，您可以得到相同的特征向量乘以一个因子，该因子就是特征值。

由于有些人怀疑“恰当”在这种情况下是一种恰当的翻译，我会告诉你，“适当向量”有时被用作“特征向量”的同义词。此外看这个和这.

所以，我认为这里的意思实际上是指拥有特殊或特殊的地位。

Answer 4

矩阵可以看作是向量空间上的线性映射。。。事实上，如果在一个很好的域上工作，比如实数域，矩阵会给出几何变换。

例如，$\mathbb{R}^2$中$y=x$行中的反射可以通过与矩阵相乘来模拟：

$\左（\开始{数组}[aa]\\0 1 \\1 0\结束{数组}\右）$

现在很清楚，在几何上，这里有某些对称性。例如，如果您在直线$y=x$上选择任意一点，它将被发送到自身，如果您选择直线$y=-x$上的任何一点，则它会被发送到与原点完全相反的方向上的一个点。

这些信息本质上是上述矩阵的特征值和特征向量所捕获的信息。特征向量是这两条线上的向量，特征值是应用反射后得到的向量的相应标量倍数。

$y=x$行中的内容被发送给自己，即$Av=v$，是$1$的标量倍数。

第$y=-x$行中的内容被发送到其自身的负值，即$Av=-v$，是$-1$的标量倍数。

因此，我们期望两个特征值$\pm 1$和两个“特征空间”$V_1、V{-1}$分别由特征值$1$和$-1$的所有向量组成。

这些空格正是分别位于直线$y=x$和$y=-x$上的向量。

当然，有一些方法可以只用矩阵来计算这些东西，但希望你现在能看到它们的重要性。它们在数学的许多领域都很有用。

Answer 5

将特征值$\lambda$视为放大系数：如果$|\lambda|<1，$您有一个收缩。如果$|\lambda|>1，则$有一个膨胀。如果$|\lambda|=1，$则转换将保留向量的长度，可能会反转其方向。

Answer 6

给定一个方阵$a$，特征值是某个特征向量出现的每个标量。

本征值的本征空间是由所有本征向量跨越的向量空间，其中出现了这个特定的标量。

Answer 7

如果你对“物理学家”的思维方式感兴趣，那么量子力学（QM）可能是理解本征值含义的最佳方式。

您可能知道，在QM中，我们与操作员即动量算符、能量算符等。这些算符可以用矩阵表示。现在，如果我们想找到我们的系统所允许的所有可能的能量，就必须找到特征值它的能量矩阵！此外，这些算子是自共轭的，这意味着它们的特征值总是实的。所以，物理观点是有道理的。

例如，简单谐振子的能级是量子化的。通过查看其能量矩阵（称为哈密顿量系统的），这些是离散的，即发现相应的能量为

$E_{n}=\hbar\omega\left（n+\frac{1}{2}\right）$

希望这有帮助！