我被一个组合问题困住了。。。

Question

好吧，我必须解决

$T_{n，k}=\sum_{i=0}^{n-k}{{n-k{choose{i}}T_{n-1，k-1+i}$其中$T_{0,0}=1$，$T_{n,0}=0$对于$n>0$

有人能帮忙吗？

Answer 1

假设我们有重复

$$T_{n，k}=\sum_{q=0}^{n-k}{n-k\选择q}T_{n-1，k-1+q}$$

其中$T_{0,0}=1$和$T_{n，0}=0$表示$n\gt 0$

将$S_{n，k}=T_{n，n-k}$设为

$$S_{n，k}=\sum_{q=0}^{k}{k\选择q}S_{n-1，k-q}=\sum_{q=0}^{k}{k\选择q}S_{n-1，q}$$

这里我们现在有$S_{n，n}=0$，除非当我们得到值$1时$n=0$$

遵循Marc Van的猜想$$S_{n，k}=（n-k）n^{k-1}$$Leeuwen通过在基本情况$n=1.$Note下$n$上的归纳证明了这一点当$k=0$时，循环展开到$S_{n，0}=S_{n-1,0}=\cdots=S_{0,0}=1$，如注释所示。这确实是$（n-0）n^{-1}=1$，所以我们可以假设归纳法中有$k\ge1$。

我们将$n=1$作为$S_{1,0}=1$的基本情况，它同意为刚观察到，$S_{1,1}=0$的定义也一致。

对于诱导步骤，我们需要评估

$$\sum_{q=0}^{k}{k\选择q}S_{n-1，q}=\sum_{q=0}^{k}{k\选择q}（n-1-q）（n-1）^{q-1}\\=\sum_{q=0}^{k}{k\选择q}（n-1）^{q}-\sum_{q=0}^{k}{k\选择q}q（n-1）^{q-1}\\=\sum_{q=0}^{k}{k\选择q}（n-1）^{q}-k\sum_{q=1}^{k}{k-1\选择q-1}（n-1）^{q-1}\\=n^k-k\sum_{q=0}^{k-1}{k-1\选择q}（n-1）^{q}=n^k-kn^{k-1}=（n-k）n^{k1}$$

这就是索赔。

Answer 2

部分答案：实验证据表明$T_{n，k}=kn^{n-k-1}$（注意，对于$k=n$，这是$n/n=1$）。

下一个挑战是了解$n$的这些力量在重现中来自何处。这有着明显的树木和森林的味道。

因此，这里是$T_{n，k}$的组合解释：它是$n$顶点的标记集上种植的森林数（树的不相交并集，每个树都有一个指定的根节点），指定的$k$-子集是根集。这种解释受到R.P.Stanley的命题5.3.2的启发枚举组合数学（第二卷），它表示这个数字等于$kn^{n-k-1}$。

这就是为什么这些组合数满足给定的递归性。对于$n=0$，当然只能有空林（$k=0$），匹配$T_{0，k}=\delta_{0，k}$。对于$n>1$，我们至少需要一棵树（因此需要一个根），其中$T_{n，0}=0$。现在假设顶点是由前$n$个自然数的集合$[n]$标记的，并且它们的最后$k>1$是根（显然，挑选出哪个$k$标签作为根并不重要）。对于最后一个节点（根节点），选择非根节点的子集，这将是其子节点的集合。该子集有$i$个节点，其中$0\leqi\leqn-k$个节点。现在递归地选择集合$[n-1]$上的一个种植林，剩下的$k-1$原始根节点以及$i$选择的（未来）后代作为根。可能性的数量是$\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}信息技术_{n-1，k-1+i}$，我们的给定递归。

为了证明现在$T_{n，k}=kn^{n-k-1}$这个事实，我引用了前面提到的命题；斯坦利给出了两个证明，一个是使用人工林的普吕弗码，另一个是基于两种排列视图的双射。也许我稍后会回来解释其中一个或两个证明。