质数搜索

Question

让$$n=2^8 \ times 3^5 \ times 5^3 \ times 7^3 \ times 11^2 \ times 13^2 \ times 17 \ times 19 \ times 23 \ times 29 \ times 31 \ times 37 \ times 41 \ times 43 \ times 47 \ times 53 \ times 59 \ times 61 \ times 67 \ times 71 \ times 73 \ times 79 \ times 83 \ times 89 \ times 97 \ times 101 \ times 103 \ times 107 \ times 109 \ times 113 \ times 127 \ times 131 \ times 137 \ times 139\倍149倍151倍157倍163倍167倍173倍179倍181倍191倍193倍199倍211倍233倍239倍241倍251倍257倍263倍269倍277倍281倍283倍293倍307倍311倍313倍331倍347倍359倍367倍373\次数397次409次419次431次433次443次487次491次499次509次577次593次619次641次653次659次683次719次743次761次809次911次953次1013次1019次1031次1049次1103次1223次1229次1301$$

$n$有97个质数因子，约为$2.6\times10^{229}$。让美元A=\{3、7、9、19、31、39、49、63、79、99、127、159、199、249、319、399、499、511、639、999、1023 \}$$在$42$中，格式为$10^n\pm k，k\ in A$的数字中，哪些是质数？

我的观察结果是，对于A$中的所有x，$x+1$的形式是$2^\alpha5^\theta$。然而，在$n$的主要因素中，我看不到父亲。我觉得费马的小定理将有助于消除大多数数字，但我不知道如何证明它们中的任何一个实际上是素数。

例如，作为$\phi（7）|n$，$10^n\equiv 1\pmod7$。因此，$10^n-1023\equiv 1-1023\equav 1022\equiv 0$。同样的论点也适用于99和127。

或者一般来说，对于A\setminus\{3}$中的任何$x，取$x-1$的奇素数除数$p$，然后$\phi（p）=p-1|n$，因此，$10^n-x$可以被$p$整除。

Answer 1

这只是一个部分答案，只需10 ^n-k美元$

对于k美元=（7,19,31,49,79127199319499511）$$10^n-k$的最后四位数是$$(9993,9981,9969,9951,9921,9873,9801,9681,9501,9489)$$

由于每一个数字的总和都可以被3整除，就像前面所有的9s一样，$10^n-k$可以被3除尽，因此可以合成$k=（7,19,31,49,79127199319499511）$$