连分式收敛$C_k-C_{k-3}$

Question

根据偏商$a_k$和名义分母$q_k$导出$C_k-C_{k-3}$的公式。

回想一下

$$C_k=\压裂{p_k}{q_k}$$

哪里

$$\开始{矩阵}\开始{align}p_0&=a_0&q_0&=1\\p_1=a_0a_1+1&q_1&=a_1\\pk&=akp{k-1}+p{k-2}&qk&=akq{k-1{+q{k-2{\结束{对齐}\结束{矩阵}$$

这就是我所做的：

$$\开始{align}C_k-C_｛k-3｝&=\frac｛p_k｝{q_k}-\压裂{p{k-3}}{q{k-3{}=\压裂{pkq_{k-3}-p_{k-3}q_k}{qkq{k-3}}=\压裂{（akp{k-1}+p{k-2}）q_｛k-3｝-p_{k-3}（akq{k-1}+q{k-2}）}{qkq{k3}}\\&=\压裂{a_k（p_{k-1}q_{k-3}-p_{k-3}q_{k-1}）+p_｛k-2｝q_{k-3}-p_{k-3}q_{k-2}}{qkq{k-3}}\\&=\压裂{a_k（p_{k-1}q_{k-3}-p_{k-3}q_{k-1}）+（-1）^{k-3}}{qkq{k-3{}\结束{对齐}$$

这是因为一个定理表明

$p_kq美元_{k-1}-p_{k-1}q_k=（-1）^{k-1}$$

我被困在这里：我不知道如何去掉$p$，这样表达式就可以单独使用$a$和$q$了。

Answer 1

注意，您已经证明了$$p_kq_{k-3}-p_{k-3}q_k=k（p）_{k-1}q_{k-3}-p_{k-3}q_{k-1}）+（-1）^{k-3}$$所以您已经将$p_k$和$q_k$替换为$p_{k-1{$和$q_{k-1}$（并引入了$a_k$、$（-1）、^{k-3}$）。如果你再做两次这个过程，你可能会得到$p_{k-3}q_{k-3}-p_{k-3}q_{k-3}$，你的麻烦就会过去。