哈夫曼代码证明

Question

假设我们在字符集$C=\｛0，1，\dots，n−1\｝$上有一个最优的无前缀代码，并且我们希望使用尽可能少的比特来传输该代码。如何仅使用$2n−1+n\lceil\log n\rceil$位在$C$上表示任何最佳的预编译免费代码。

我的方法：

1. 从$n$树开始，每个树由一个节点组成，对应一个消息字，权重为$p（i）$

2. 重复操作，直到只有一棵树。选择两个权重最小的子树，通过添加一个新节点作为根来组合它们，并使这两个树成为其子树。新树的权重是两个子树的权重之和。对于堆，组合树的每一步需要$O（\log n）$时间，总时间为$O（n\log n）$。

有确凿的证据吗？

Answer 1

提示：$C$上的最佳无前缀代码具有关联的完全二叉树具有$n$个叶子和$n-1$个内部顶点；这样的树可以由$2n-1$位的序列明确编码，该序列很容易从预序遍历在树上。只需将$C$的$n$成员与树的$n$leaves关联起来，这可以通过按预排序遍历遇到它们的顺序列出它们来完成$\lceil\log n\rceil$有足够的位来表示$C$的每个$n$成员，如果每个成员都分配了$\lceil/log n\rcuil$位，则不需要分隔符。总共是2n-1+n\lceil\log n\rceil$bits；你只需要填写细节。