关于给定初生函数的约化残差系统的问题

Question

众所周知，对于给定的原函数$p_k\#$，约化剩余系统中的元素数可以被$p_k-1$整除。

如果您将约简余数类的元素划分为不同的类modulo$p_k$，那么每个类modulo$p_k$的元素数是否相同[不包括类$x\equiv0\pmod{p_k}$]。

那么，让我举一个例子来说明我所说的$p_5$。

对于$5\#$，约化残渣系统为：$\left\{1,7,11,13,17,19,23,29\right\}$

模$5$的4个类各有$\frac{8}{5-1}=2$个元素：

C_1美元=1.11$$C_2美元=7.17$$$$C_3=13,23美元$$$$C_4=19.29$$

我的问题：所有素数都是这样吗？

Answer 1

对。让我们用$R_k$表示约化剩余系统$\pmod{p_k\#}$。

当$k=1$时，这基本上是正确的。

考虑$k\geq 2$。对于R_k$中的每个$x\，对于R_{k-1}$中的某些$y\，我们必须有$x\equivy\pmod{p_{k-1}\#}$。另一方面，对于R_{k-1}$中的每个$y\，$y，y+p-{k-1}\#，y+2p_{k-1}\#，\ldots，y+（p_k-1）p_{k-1}\#$中的每个$y\相对于$p_{k-1}\#$是相对素的，并且它们一起形成一个完整的残差$\pmod{p_k}$集合。因此，这正好将$（p_k-1）$项贡献给$R_k$；每个非零剩余类$\pmod{pk}$中有一个。因此，$R_k$在每个非零剩余类$\pmod{p_k}$中有$（p_k-1）|R_{k-1}|$项，正好有$|R_}k-1}|$项。

我们现在看到$|R_k|=\prod_{i=1}^{k}{（p_i-1）}$，并且$R_k$的$\prod_{i=1{^{k-1}{。