如何为$\mathbb中的整数数定义函数$f（n）${O} _n（n）能被11整除的美元？

Question

考虑一下这个集合$\mathbb美元{O} _n（n）$它包含小于或等于的奇数整数n美元$不能被3、5或7整除，但包括3、5和7。

$\mathbb美元{O} _n（n）$= { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149, 151, ... ,n美元$}

整数9，15，21，…，3+61美元$哪里1美元$是一个整数，不在集合中，因为这些数字可以被3整除。

同样，整数15、25、35…5+101美元$和整数21，35，49，…7+141美元$哪里1美元$是一个整数，不在集合中。

Let函数f（n）美元$等于中的整数数$\mathbb美元{O} _n（n）$可以被11整除的，不包括11。

示例：

$f（127）=1$因为其中有1个整数$\mathbb美元{O}（O）_{127}$它可以被11整除，并且小于或等于127。那个整数是121。

$f（151）=2美元$因为其中有2个整数$\mathbb美元{O}（O）_{151}$可被11整除且小于或等于151的。这些整数是121和143。

$f（191）=3$因为其中有3个整数$\mathbb美元{O}（O）_{191}$可被11整除且小于或等于191的。这些整数是121、143和187。

定义函数f（n）美元$作为一个数学公式？

此外，证明如下$n\to\infty$,$\frac{f（n）}{|\mathbb{O}（O）_{n} |}=\压裂{1}{11}$.

编辑：对不起，这个错误。分数应该是$\frac{f（n）}{|\mathbb{O}（O）_{n} |}$，不是$\压裂{f（n）}{n}$.

Answer 1

使用包含/排除，我认为这将是：

$$g（n）=\left\lfloor\dfrac{n}{11}\right\rfloor-\left（\left\floor\ffrac{n{22}\rift\rfloor+\left\ lfloor\ dfrac{n}{33}\right \rflooor+\left \lfloor \dfrac{n}{55}\riight\rfoor+\ left\floor\dfrac{n}}{77}\rirt\rfloore\right）+left（\ lfloor rac{n}{66}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{n{110}右\rfloor+left\lfloor\dfrac{n}{154}\right\rfloor+left\ lfloor\frac{n{165}\right \rfloore+left\floor\frac{n}{231}\rift\rflooor+left\sfloor\frac{n}}{385}\riight\floor\right）-\ left{n}{462}\右\rfloor+\左\lfloor\dfrac{n}{770}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{n}{1155}\right\floor\right）+left\floor\frac{n{2310}\right$$

然而，当11在集合中时，这一点就算数了。所以，当11美元$:

$$f（n）=\开始{案例}g（n） ，&n<11\\g（n）-1，&n\ge 11\结束{cases}$$

用你给出的数字进行测试：

$$f（127）=11-（5+3+2+1）+（1+1+0+0+0+0）-（0+0+0.0）+0-1=1$$

$$f（151）=13-（6+4+2+1）+（2+1+0+0+0+0）-（0+0+0.0）+0-1=2$$

$$f（191）=17-（8+5+3+2）+（2+1+1+0+0）-（0+0+0+0$$

虽然我相信这是正确的公式f（n）美元$，它似乎没有给出您想要的限制。

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{f（n）}{n}=dfrac{1}{11}-\左（\dfrac{1}{22}+\dfrac{1}{33}+\frac{1'{55}+\ dfrac}{77}\right）+\左（\defrac{1}{66}+\ dfras{1{110}+\ defrac}{154}+\{1}{330}+\dfrac{1}}{462}+\defrac{1{770}+\drac{1}{1155}\right）+\dfac{1{2310}=\dfrac{8}{385}\neq\dfrac}1}{11}$$

Answer 2

对于每个数字千美元$那是按f（n）美元$，编号$\压裂{11}$是的元素$\Bbb O（n）$就是这样11美元$和$\le\压裂{11}$我们的结论是$$\tag1 f（n）=\left|\Bbb O_｛\lfloor n/11\lfloor｝\right|-3$$我想你已经找到了$|\Bbb（_m）|$根据包容性原则？

即使没有精确的表达式$|\Bbb（_m）|$请注意，对于亿美元$，我们有$x\英寸\Bbb O_m$若（iff）亿美元$若（iff）$\gcd（x，2\cdot 3\cdot 5\cdot 7）=1$例外情况是1美元\notin \Bbb O_m$和3,5,7美元\Bbb O_m$我们的结论是$\Bbb（_m）$大约有$\frac{\phi（2\cdot 3\cdot 5\cdot 7）}{2\cdot3\cdot5\cdot7}\cdot m$元素。因此，从$(1)$我们发现$$\lim_｛n\to\infty｝\frac｛f（n）｝｛n｝=\frac 1｛11｝\cdot\frac｛\phi（2\cdot 3\cdot 5\cdot 7）｝｛2\cdot 3\cdot 5\cdot 7｝$$也许你的意思是$$\lim_{n\to\infty}\frac{f（n）}{|\BbbO_n|}=\frac1{11}$$