偶完美数及其与多边形数的关系

Question

设$\sigma（m）=\sum_{d\mid-m}d$除数和函数例如，$\sigma（6）=1+2+3+6=12$。

问题。我不知道这个练习是否在文献中，我相信我知道如何证明以下内容，但你能举例证明B），以便与我的计算进行比较吗？我对A）的尝试是一个严格的证明还是你能给出更多的细节？提前谢谢。

A） 如果$n$是偶数完全数然后$$\sigma（n）-\{text{更大的完美平方}$$

B） 如果$n$是偶数完全数然后$$n-\{text{较大的三角形数}<n\}=\text{与n}:=delta（n）相关的梅森素数$$

我对A的证明）.签署人偶完美数的欧拉定理$n=2^{p-1}\cdot（2^p-1）$，其中$\delta（n）=2^p-1$是相应的梅森素数，通过比较$n$的因子，小于$2^p（2^p-1）$的更平方完美是$（2^p1）^2$，这个差就是梅森素数$2^p~（2^p2）^1$。

Answer 1

下面的计算可能会更清楚。设$P=2^P-1$。然后$n=\frac{P（P+1）}{2}$。小于$n$的最大三角形数是$\frac{（P-1）P}{2}$。减去。我们有$$\压裂{P（P+1）}{2}-\压裂{（P-1）P}{2}=\压裂{P}{2}（（P+1）-（P-1））=P$$