{\bb Z}-module defects in crystals

Sirindil, A.; Quiquandon, M.; Gratias, D.

doi:10.1107/S2053273317013882

研究论文

基础
进展

国际标准编号：2053-2733

第73卷| 第6部分| 2017年11月| 第427-437页

https://doi.org/10.107/S2053273317013882

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$[{\bb Z}]$ -晶体中的模块缺陷

阿卜杜拉·西林德尔,^一玛丽安·奎昆顿 ^一和丹尼斯·格拉迪斯 ^一 ^*

^一法国巴黎F-75005 Pierre et Marie Curie路11号IRCP Chimie-ParisTech，Métallugie de l'UMR 8247实验室
^*通信电子邮件：denis.gratias@chimie-paristech.fr

日本东北大学K.Tsuda编辑(2017年7月5日收到； 2017年9月26日接受； 2017年10月26日在线)

对晶体结构中可能出现的新型缺陷进行了分析，其中原子位置和单位电池属于同一个 $[{\bb Z}]$ -模块，即是对N个>三维(N个-D）晶格Λ如在准晶的情况下。超越先前论文中讨论过的相干非理性取向双胞胎等。(2016).《水晶学报》。一72，55–61]，预计会出现新的二维平移缺陷，其平移向量是Λ，相对于单位-细胞参考框架具有无理坐标。部分位错，这里称为模位错，是包围这些平移断层的线性缺陷。当Burgers向量B类是非零矢量的投影Λ垂直于物理空间。这种新的位错称为标量位错因为它在物理空间中的Burgers矢量为零，所以它不会产生位移场，也不会与外部应力场和其他位错相互作用。

关键词： $[{\bb Z}]$ -模块;金属间化合物合金;缺陷;双胞胎;位错.

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1.简介

许多复杂的金属间相是所谓的（周期性）近似值（例如，参见光栅等。, 1995 )准晶（谢赫特曼等。, 1984 ; Shechtman&Blech，1985年 )因为它们的原子结构来源于父原子准晶构图紧密。这个准晶通常在以下框架中描述N个-维度的(N个-D）结晶学：实际结构是通过切割N个-格的D周期对象Λ由物理三维空间标注 $[{\bf E}_\parallel]$ ，相对于N个-D期Λ（Duneau&Katz，1985年 ; 卡卢金等。, 1985 ; Elser，1986年 ).

在这个简单的方案中，缺陷最好在N个-D空间作为局部断裂的定向（孪晶）或平移（边界和位错）对称操作N个-D格投影 $[{\bf E}_\parallel]$ 例如，准晶中的位错（Lubensky等。, 1986 ; 巧克力等。, 1986 ; 沃尔加滕等。, 1991 , 1992 )使用中的原始Volterra构造定义N个-具有Burgers向量的D空间 $[{\bf B}]$ 属于N个-D格子Λ。对于准晶在一个d日-嵌入在中的D空间 $[N\，\gt\，d]$ -D空间，位错线是一个维数流形N个-2包含互补正交空间 $[{\bf E}_{\perp}]$ 尺寸的N个-d日所以观察到的位错线 $[｛\bf E｝_｛\bparallel｝]$ 具有维度N个-2-(N个-d日) =d日-2,即三维物体的一维。

近似相位可以通过假设准晶的有理投影来描述，其定义为N个-D晶体( $[N\，\gt\，3]$ )晶格的Λ原子表面位于Λ这导致了原子位置和单位-细胞向量属于同一个（或其简单的子倍数）的显著特性 $[{\bb Z}]$ -模块，¹说 $[\Im_\parallel]$ ，这是（非理性的）预测 $[\hat{\pi}_{\parallel}]$ 格子∧英寸 $[{\bb R}^N]$ 进入之内 $[{\bb R}^d]$ 具有 $[d\，\lt\，N]$ :

$[\Im_\parallel=\{\hat{\pi}_{\parallel}\lambda\subset{\bb R}^d，\quad\lambda\in\lambda\sobset{\bR}^N\}。]$

存在 $[{\bb Z}]$ -结晶学中的模块并不局限于准晶和近似。事实上，一些周期性结构的原子具有额外的非晶体学局部隐藏对称性，这可以被视为底层的长程有序装饰 $[{\bb Z}]$ -模块。铁就是这样Wyckoff位置在FeAl中_三由Black（1955）确定的相位 )以及正交结构中的Ni和Zr Wyckoff位置Cmcm公司NiZr（柯克帕特里克等。, 1962 ).

本论文解决的问题如下：当晶体的原子除了周期性地间隔外，位于晶体的长程有序节点子集上时，可能会产生什么样的新缺陷 $[{\bb Z}]$ -模块？

为了首先了解这个问题的内容，让我们考虑图1所示的示例。乍一看，它表示(x个,年)Burgers矢量标准三维位错的简单立方晶格平面 $[{\bf B}=（0，{\overline 1}，1）]$ 沿z（z）方向。而位错的边缘部分在(x个,年)平面，沿z（z）方向生成浅灰色阴影的一步高度。图1所示(一)这是可以立即理解的，因为我们自然自发地将三维可视化。但是，如果我们考虑这张图的真实情况——实际上是平面上简单的二维平铺——那么同样的缺陷如图1所示(b条)不太明显：这是二维周期性瓷砖的部分边缘错位，包围了一排重建瓷砖-这里菱形旋转了 $[2\pi/3]$ –形成一个堆叠断层行。这就是二维子空间中的部分位错。

图1
(一)Burgers矢量的混合位错 $[{\bf B}=（0，{\overline 1}，1）]$ 在平面上显示边缘零件(x个,年)和螺丝部分z（z）. (b条)被分析为二维瓷砖的同一物体是由垂直定向菱形平面缺陷所包围的部分位错；如所示(一)，这个缺陷是 $[{\bb Z}]$ -由三维简单立方晶格投影到(x个,年)飞机：它是一架模数错位. (c（c）)从四维超立方晶体的切割中产生类似的模块错位，使得该区域的整体浮雕更加难以把握。

这个示例非常简单，因为隐含的 $[{\bb Z}]$ -模块等级为3，但根据 $[{\bb Z}]$ -在更高级别的模块中，我们失去了直观的视觉 [（N，gt，3）] -D空间如图1所示(c（c）). 我们将把这种缺陷指定为模块错位与往常相反晶格位错强调其Burgers向量属于 $[{\bb Z}]$ -模块而不是格子。

在§2中，我们简要回顾一下建立合金相干晶体学描述所需的工具，这些合金的原子位于 $[{\bb Z}]$ -模块，我们在这里指定为模数基合金包括：

(一)众所周知的切割和投影方法，用于生成均匀离散的点集，这些点集是高度对称的拟周期装饰 $[{\bb Z}]$ -模块；

(b条)垂直剪切技术允许人们从这些高对称准晶中生成周期近似值（Jarić&Mohanty，1987 ; 格拉迪斯等。, 1995).

在§3中，我们讨论了在保持 $[{\bb Z}]$ -模不变量。这些是：

(一)奎昆顿讨论的双胞胎等。(2016);

(b条)以断层矢量为特征的平移边界 $[{\bf R}]$ 相对于单位-细胞参考框架具有无理坐标；

(c（c）)模位错包括那些令人惊讶的变质位错在i-AlPdMn二十面体准晶的特定近似物中发现[例如，参见Feuerbacher（2005 )以及费尔巴哈和黑根（2010 )]以及在d-AlCuMn十方相的近似物中观察到的缺陷（Wang等。, 2016 );

(d日)具有Burgers矢量的原始、新型位错在物理空间中具有零分量，因此不会产生位移场，也不会与其他位错和外部应力场发生相互作用；我们称之为标量位错.

论文的最后一部分总结了我们的主要结论。

2N个-模数基合金的D描述

如前所述，一些金属间周期相的结构中，原子位于 $[{\bb Z}]$ -模块。每当图案由具有非晶体学对称性的原子团簇构成时，就会发生这种情况，原子团簇之间相互关联并相互平行。与准晶类似，这些结构可以描述为理性的维空间中抽象周期对象的割 $[N\，\gt\，d]$ 。描述和生成这些基于模数的合金需要一些接下来讨论的成分。

2.1. 排名 $[{\bb Z}]$ -模块

第一个要素是等级N个的 $[{\bb Z}]$ -模由构成模体的原子团簇的内部对称性决定。在最简单的情况下，通过简单检查局部对称性当它有一个点对称性高于晶体的晶格。例如，等级N个= 6很快发现许多金属间相是二十面体准晶的近似物，因为它们的主要原子基序是高对称簇，这些簇的原子都可以作为由正二十面体的六个五元轴定义的六个单位矢量的整数线性组合。

为了说明我们的目的，我们将在这里使用两个二维例子，这两个例子可以作为著名的Penrose平铺的二维周期（低）近似进行分析（Penrose，1979 )用两个锐角的金色菱形建筑 $[2\pi/5]$ 和 $[\pi/5]$ 在这里N个-D格子Λ是N个= 5对应于 $[{\bb Z}]$ -由常规五角大楼生成的模块。²这就是著名的杜勒结构（杜勒，1525）)由相邻的共享一个边缘的五边形周期性排列而成。为了使我们的玩具模型示例更具原创性，我们删除了五边形的一个顶点，然后得到一个豆结构如图2所示.在五维框架中，这种结构有一个格子 $[L_\平行]$ 带有原语单位电池由定义 [A=（1,1，{上一行1}，{下一行1{，0）] , [B=（1,0，{上一行1}，{下一行1{，1）] 有三个平移轨道^三 w个₁= (0,0,0,0,0), $[w_2=（0,1，{上一行1}，0,0）]$ 和 $[w_3=（1,0，{上一行1}，0,0）]$ Dürer结构是通过添加第四平移轨道得到的 $[w_4=w_2+w_3=（1,1，{上横线2}，0,0）]$ .

图2
以下示例 $[{\bb Z}]$ -模块模型基于规则五角大楼生成的模块。(一)这种结构（深蓝色原子）是一种周期性的有序装饰（基团厘米)著名的彭罗斯瓷砖，用两个锐角的金色菱形建成 $[2\pi/5]$ 和 $[\pi/5]$ 用浅灰色绘制。它是一个下部结构最早由丢勒（1525年）绘制的著名瓷砖

)由两个相邻的规则五边形共享一个边缘而建造。(b条)这种蜂窝状原子网络（浅蓝色）c（c）2米米是一组相连的六边形，如图右侧所示，通过叠加两个对角的正五边形获得。该结构使用正五角形的五维模块描述，但同样的结构也可以视为一组立方体的投影，因此可以用立方体的三维投影来描述。

在其他一些情况下，模块等级的确定并不明显。

实际上，我们的第二个示例如图2所示(b条)是一个由六边形构成的蜂巢网络，六边形由两个正相反的五边形重叠而成，它们共享一条对角线，如图2右上角所示(b条)：段2–5和段3–4的长度是黄金平均值的比例 $[\tau=（1+5^{1/2}）/2]$ 图2结构中的所有顶点均为蓝色(b条)可以标记为正五边形五个单位向量的线性整数和。在这里，我们可以选择天然的 $[{\bb Z}]$ -正五边形模及用本原定义五维空间中的原子结构单位电池 [A=（0,0,1,0，{上一行1}）] 和 [B=（0,1,0，{上一行1}，0）] 有两个平移轨道w个₁= (0,0,0,0,0)和 $[w_2=（0,0,1，{上一行1}，0）]$ （见图2). 但是，由于这种瓷砖是由六边形组成的，六边形通常被视为立方体二维投影的凸包，因此这种结构也可以被视为属于 $[{\bb Z}]$ -如图2右下角所示，等级为3（而非5）的模块在这种情况下单位电池现在由定义 $[A=（0，{上划线1}，1）\B=（{上拉线1}、0,1）]$ 有平移轨道w个₁= (0,0,0),w个₂= (0,0,1).通过将基本三维单位向量表示为五维基的单位向量，给出了与五维描述的联系： [x=（0，{上划线1}，1,0,0）] , [y=（0,0,0，{上一行1}，1）] , [z=（0,0,1，{上一行1}，0）] .选择其中之一 $[{\bb Z}^3]$ 或 $[｛\b Z｝^5]$ 取决于所研究的缺陷：一个简单的位错可以用 $[{\bb Z}^3]$ 而5-f孪晶只能基于 $[{\bb Z}^5]$ 这一点稍后将举例说明。

2.2. 切割方法

一旦确定了模块的等级，下一步包括生成结构本身，即长程有序集的点 $[{\bb Z}]$ -模块。我们在这里使用最初导出的众所周知的剪切投影方法来描述准周期结构（见图3). 它包括投影N个-D格子Λ在一个d日-D子空间( $[d\，\lt\，N]$ )朝着不合理的方向N个期间Λ.因为投影 $[\hat{\pi}_\parallel\Lambda]$ 是一个稠密的点集，在互补子空间中使用了一个附加的准则 $[{\bf E}_\perp]$ 只选择那些晶格点Λ中的项目 $[{\bf E}_\perp]$ 在给定的有限有界内(N个-d日)-D体积 $[\sigma_\perp]$ 我们指定为原子表面（AS）。这将生成一致离散的点集 $[\Im_\parallel]$ 这是 $[{\bb Z}]$ -模块 $[\Im_\parallel]$ :

$[{\cal L}_\parallel\subset\Im_\paralel=\{\hat{\pi}_\parallel\lambda，\lambda\in\lambda\，|\hat}_\perp\lambda\in\sigma_\perp \}。]$

图3
(一)从稠密的 $[{\bb Z}]$ -由d日-维度投影 $[｛\bf E｝_\并行]$ 的N个-维度晶格Λ包括连接到每个N个-的D晶格节点Λ一个(N个-d日)-D有界体积σ平行于 $[{\bf E}_\perp]$ 此处指定为原子表面（AS）并收集这些AS的交点 $[{\bf E}_\parallel]$ . (b条)基于相同的 $[{\bb Z}]$ -模块，沿 $[{\bf E}_\perp]$ 应用时，会产生以下特定节点Λ平行于 $[{\bf E}_\parallel]$ 。这些节点定义晶格 $[L_\平行]$ 中的周期结构 $[{\bf E}_\parallel]$ .

2.3. 垂直剪切法

要随后生成周期性的结构，我们应用N个-D格子Λ沿着 $[｛\bf E｝_\perp]$ –从而保持原来的模块 $[{\bf E}_\parallel]$ 不变量–为了对齐d日选择的独立节点Λ沿着 $[{\bf E}_\parallel]$ 通过变换（格拉迪斯等。, 1995; 奎昆顿等。, 1999 ):

$[\left\{矩阵{x^\prime_\parallel=x_\paralel\hfill\crx^\preme_\perp=x_\ perp-\widehat{\varepsilon}x_\perp}\right..]$

这将生成一个d日-D格子 [L_并行] 在里面 $[{\bf E}_\parallel]$ .让一^我成为d日向量Λ，其投影位于 $[{\bf E}_\parallel]$ 定义单位电池结构的。确保生成的结构是周期性的[ $[A^i_\平行]$ ]剪切矩阵 $[\widehat{\varepsilon}]$ 必须是这样的

$[A^i_\perp-\widehat｛\varepsilon｝A^i_\parallel=0]$

因此

$[\widehat{\varepsilon}=[A_\perp][A_\ parallel]^{-1}。\等式（1）]$

这种强制垂直移动的技术Λ非常有效：它允许生成无限多个周期结构，所有这些结构都基于同一个 $[{\bb Z}]$ -模块。

2.4. 原子表面

AS是描述（完美）准晶最重要的概念之一，因为它们定义了结构中原子种类的密度和相对位置。准晶体结构是通过为每种化学物质指定AS的完整集合（二十面体相中的有界多面体）及其在N个-D空间。中的实际结构 $[{\bf E}_\parallel]$ 因此由cut算法生成。取决于切割的位置 $[{\bf E}_\perp]$ 得到的结构各不相同。如果Λ到处都很密集 $[{\bf E}_\perp]$ ，这些结构形成了一组密集的可枚举的局部同构结构和物理上不可区分的结构，这些结构通过相位子（局部重定时）被分析为局部波动 $[{\bf E}_\parallel]$ 在里面 $[｛\bf E｝_\perp]$ .

在我们目前的方法中，推导周期结构的AS是一个独特的概念难题。事实上，因为最终投影导致了 $[{\bf E}_\parallel]$ ，AS的概念失去了先验的自投影以来的物理相关性N个-D晶格英寸 $[{\bf E}_\perp]$ 现在是一个格子 $[左侧\右侧]$ ,即一离散集而不是稠密集如准晶情况。这消除了准晶中节点投影之间的基本一对一关系N个-D格子Λ在里面 $[｛\bf E｝_\并行]$ 和里面的那些 $[{\bf E}_\perp]$ 在周期情况下，每个投影 $[{\bf E}_\perp]$ 的节点的Λ现在与无限集点在里面 $[{\bf E}_\parallel]$ 由晶格相互推导的所有等效位置构成 $[L_\平行]$ 结构的。这些集合是平移轨道我们在前一节中介绍的。平移轨道是恢复两者之间一对一对应关系的对象 $[{\bf E}_\perp]$ 和 $[{\bf E}_\parallel]$ ：到中的每个晶格节点 $[{\bf E}_\perp]$ 在中关联且只有一个平移轨道 $[{\bf E}_\parallel]$ 和反之亦然这降低了切入的任意位移的物理意义 $[{\bf E}_\perp]$ 只有这种位移是 $[左侧\右侧]$ .

然而，在周期结构的情况下保持AS的概念是非常有用的，以便使用相同的剪切投影方法以统一的方式比较周期和准周期结构的结构特性。事实上，对于周期性的情况，任何AS都是可以接受的，只要它满足以下条件： $[{\bf E}_\parallel]$ ，切割生成的原子结构是唯一的，因此与切割轨迹的选择无关 $[{\bf E}_\perp]$ 这意味着 $[{\bf E}_\perp]$ 相同AS的覆盖 $[{\bf E}_\perp]$ 这样就不会留下任何空间（在那里定位切割将不会产生任何结构），也不会出现重叠（根据切割的位置，至少会生成两个不同的结构 $[｛\bf E｝_\perp]$ ，是否在重叠区域中）。因此，这组必须是 $[{\bf E}_\perp]$ 。满足此要求的最简单方法是使用相同的单元，形成 $[左侧\右侧]$ 是在中定义AS $[｛\bf E｝_\perp]$ 作为半开放联盟⁴ Voronoi细胞集中于 $[左侧\右侧]$ 与平移轨道相关如图4所示的结构.

图4
(一)定义具有两个平移轨道的（周期）结构的AS的典型二维示例w个₁和w个₂在中表示 $[{\bf E}_\perp]$ 带投影晶格 $[左侧\右侧]$ ：AS由两个Voronoi细胞结合而成 $[\sigma_1]$ 和 $[\sigma_2]$ （灰色）以每个平移轨道为中心。(b条)八边形瓷砖连续近似值的Voronoi单元（浅灰色）与四维凸包（蓝色）定义的常见AS的结合晶胞：随着近似顺序的增加，Voronoi细胞的结合趋向于八角瓷砖的标准as。

这一定义不仅是最自然的，而且在应用于图4所示的一系列收敛近似结构时，它还具有导致准晶通常几何形状的优点(b条). 这里，八边形相位的每一个高阶周期逼近都是通过分布在密度更大的晶格节点上的平移轨道数量的增加来描述的 $[左侧\右侧]$ 带有较小的Voronoi细胞。在无限极限下，半开的Voronoi单元的并集叠加在准晶标准平铺理论中使用的标准规范AS上。

目前对周期性结构的AS定义的直接后果是，它消除了所谓的相位子典型的准晶和不公度相：这里，AS边界的任何交叉 $[{\bf E}_\perp]$ 引入 $[{\bf E}_\parallel]$ 要么根本不改变，要么采用相同结构的全球翻译。通过检查图4所示八角瓷砖的近似结构，可以更好地理解这一点(b条)：连续近似中的空位是容易翻转瓷砖的位置，即相位子位置。

3.生成模块缺陷

定义固体中的缺陷需要首先定义选择什么作为理想完美结构的参考。在这里，基本参考是 $[{\bb Z}]$ -中的模块 $[{\bf E}_\parallel]$ 这是N个-D格子Λ因此，参考对象是Λ，对称组 $[｛\cal G｝]$ 其中是一组等距线 $[\hat{g}]$ 的N个-留出两个空间的D空间Λ和 $[{\bf E}_\parallel]$ 不变量，即那些等距线 $[\hat{g}]$ 用投影仪通勤 $[\widehat{\pi}_\parallel]$ :

$[{\cal G}=\{\hat{G}\在{\cal G}_\Lambda|\中，\hat{G}\widehat{\pi}_\parallel=\wideha{\pi}_\parallel\hat}\}]$

这个组 $[｛\cal G｝]$ 是一个超群组的 $[{\cal H}]$ 实际结构的 $[{\bf E}_\parallel]$ 以及 $[｛\cal G｝]$ 在的陪集中 $[{\cal H}]$ ,

$[{\cal G}=\cup_{i}\，\hat{g} _ i{\cal H}，]$

定义实际结构的所有可能缺陷 $[{\bb Z}]$ -模不变量。

因为 $[｛\cal G｝]$ 有格子Λ在中N个-D空间作为平移子组然而 $[{\cal H}]$ 有格子 [L_并行] 在一个d日-D子空间，平移陪集的数目是无限的⁵还有一个额外的标准（稍后讨论）是必要的，以选择那些可能存在于相邻变体之间的特定翻译边界 $[{\bf E}_\parallel]$ .

相反，定向缺陷是由陪集分解导致有限数量变量的点群。这些缺陷是双胞胎，我们可以称之为merohedral的在弗里德尔（1904）的意义上 , 1926 , 1933 )格的概念被格的概念所取代 $[{\bb Z}]$ -模块（Quiquandon等。, 2016).

3.1. 明确的示例

让我们考虑图2中所示的前两个示例。它们都是 $[{\bb Z}]$ -在构型五维欧几里德空间中，由五维晶格的规则五边形投影生成的模，其分解依据为

$[R^5=R^2_\并行（x_\并行，y_\并行）\，\oplus R^2\e_\perp（x_\perp，y_\perp）\oplusR_\增量（z_\ perp），]$

哪里 $[R_\增量]$ 是一个过多的维度，沿着主对角线的有理一维线(1,1,1,1,1).

从五维节点开始(n个₁,n个₂,n个_三,n个₄,n个₅)，我们使用通常的公式（例如，参见Duneau&Katz，1985):

$[\left\{\matrix{x_\parallel=\left（{2}\over{5}}\right）^{1/2}crx\perp=\左（{{2}\上{5}}\右）^{1/2}（n_1+n2\cos 2\varphi+n_3\cos\varphi+n_4\cos\varphi+n_5\cos 2\varphi）\cr y_\perp=\left（｛2｝\over｛5｝｝\right）^｛1/2｝（n2\sin 2\varphi-n-3\sin\varphi+n_4\sin\varphi-n5\sin 2\varphi）\hfill\cr z_\perp=｛1｝\over｛5^｛1/2｝｝｝｝（n_1+n2+n_3+n_ 4+n_5）\hfill｝\右。]$

哪里 $[\varphi=2\pi/5]$ .引入中庸之道 $[\tau=]$ (1+5^1/2)/2并观察到

$[\eqalign{&\cos\varphi=（\tau-1）/2，\sin\varphi=$

我们可以用紧凑的形式写出这些关系：

$[left\{矩阵{x\parallel={1}\over{10^{1/2}}[2n1+（h-h^素数）\tau-h]\cry_parallel=\left（{3-\tau}\over{10}}\right）^{1/2]prime]\cry_perp=\左（{3-\tau}\over{10}}\right）^{1/2}（k^\prime-k\tau）\hfill\crz_perp={{1}\over{5^{1/2}}}（n_1+h+h^\质数）\填充}\右。]$

使用变量小时=n个₂+n个₅, $[h^\prime=n_3+n_4]$ ,k个=n个_三-n个₄, $[k^\prime=n_2-n_5]$ 与二十面体准晶相（Cahn等。, 1986 ). 我们注意到 $[h+k^\质数]$ 和 $[k+h^\质数]$ 是偶数和从 $[{\bf E}_\parallel]$ 到 $[｛\bf E｝_\perp]$ 包括应用以下简单替换规则： $[h\leftrightarrow h^\prime]$ 和 $[k\rightarrow k^\prime]$ , $[-k\leftarrow k^\prime]$ .

五维超立方晶格的总对称群具有2⁵5! = 3840元素，但仅限于子组 $[{\cal G}=10mm^\prime]$ 有20个元素叶子 $[{\bf E}_\parallel]$ 不变量。这个点编组由旋转生成 $[\widehat（宽度）{C}（C）_{10}]$ 属于 $[\pi/5]$ 和镜子 $[\widehat{m}^\prime]$ 如图5所示编写对称运算的一种经济方法是使用有符号置换。例如，镜子 $[\widehat{m}^\prime]$ 如图5所示变形 $[e_1\rightarrow-e_1]$ , $[e_2\rightarrow-e_5]$ , $[e_3\右箭头-e_4]$ , $[e_4\右箭头-e_3]$ , $[e_5\右箭头-e_2]$ 或矩阵形式：

$[\widehat{m}^\prime=\{-1，-5，-4，-3，-2\}=\left（\matrix{{\overline 1}&0&0&Cr0&0&{\overrine 1}\cr0&0&{\overbine 1}&0\cr0&0&{\overline1}&0$

图5
生成点编组 $[10mm^\prime]$ 需要两个发电机：旋转 $[\widehat（宽度）{C}（C）_{10}]$ 角度的 $[\pi/5]$ 和镜子 $[\widehat{m}^\prime]$ .这个点编组有20个元素，对应于正十边形的对称性。正是五维晶格的固有对称群保持了物理空间 $[{\bf E}_\parallel]$ 不变。

3.1.1. 豆子的结构

原语单位电池bean结构的定义是由两个五维向量 $[A=（1,1，{上划线1}，{下划线1},0），\B=（1,0，{上划线1},1）]$ ，均垂直于 $[R_\增量]$ 有三个平移轨道w个₁= (0,0,0,0,0), $[w_2=（0,1，{上一行1}，0,0）]$ 和 $[w_3=（1,0，{上一行1}，0,0）]$ .二维晶格 [L_并行] 由定义

$[L-\parallel=\｛uA+v B=（u+v，u，-u-v，-u-v，v），\，u，v\ in｛\B Z｝\｝]$

在中投影 $[{\bf E}_\parallel]$ 作为

$[\left\{\矩阵{x_\parallel={{1}\over{2^{1/2}}}（\tau+1）（u+v）\cry_parallel=（{{\tau+2}\over{10}}）^{1/2]（u-v）\hfill}\right..]$

剪切矩阵 $[\widehat｛\varepsilon｝]$ 从而减少为2 ×2矩阵连接 $[R^2_\平行]$ 具有 $[R^2_\perp]$ ，一维子空间Δ在剪切作用下保持不变。使用方程式（1），经过几次代数计算，我们得到

$[\widehat{\varepsilon}=\left（矩阵{3\tau-5&0\cr0&\tau-1}\right）]$

导致

$[\left\{矩阵{x_\perp^\prime=x_\perp+（5-3\tau）x_\parallel={2-\tau}\over{10^{1/2}}}（6n1-4h+h^\prime）\cry_perp^\primer=y_perp+（1-\tau，y_parallel=（{3-\tau}over{2}}）^{1/2]k\hfill}\right..]$

中的投影晶格 $[{\bf E}_\perp]$ , $[L_\perp=\widehat{\pi}_\perp \Lambda]$ ，由三个矢量生成 $[A^\prime=（1,0,0,1,0）]$ , $[B^\prime=（1,0,1,0,0）]$ 和 $[C^\prime=（0,0，{\overline 1}，1,0）]$ :

$[\eqalign{L_\perp&=\{u A^\prime+v B^\prime+w C^\primes\cr&=（u+v，0，v-w，u+w，0），\，u，v，w\ in{\bb Z}\}.}]$

3.1.2. 蜂窝结构

这个单位电池蜂窝结构的定义为两个五维向量 [A=（0,0,1,0，{上一行1}）] 和 [B=（0,1,0，{上一行1}，0）] ，均垂直于 $[R_\增量]$ 有两个平移轨道w个₁= (0,0,0,0,0)和 $[w_2=（0,0,1，{上一行1}，0）]$ .二维晶格 [L_并行] 由定义

$[L_\parallel=\{uA+vB=（0，v，u，-v，-u），\，u，v\在{\bb Z}\}]$

在中投影 $[｛\bf E｝_\并行]$ 作为

$[\left\{\matrix{x\parallel={{1}\over{2^{1/2}}（v-u）\hfill\cry\parallel=（{3+4\tau}\over{10}}）^{1/2]（u+v）}\right。]$

剪切矩阵为

$[\widehat{\varepsilon}=\left（\matrix{-1&0\cr0&3-2\tau}\right）]$

导致

$[\left\{矩阵{x^\prime_\perp=x_\perp+x_\parallel={1}\over{10^{1/2}}[4n1-（h+h^\prime）]\hfill\cry^\prim_\perp=y\perp+（2\tau-3）y\parallel=（{7-4\tau}\over{2}}）^{1/2]（k^\primer-k）}\right..]$

中的投影晶格 $[{\bf E}_\perp]$ , $[L_\perp=\widehat{\pi}_\perp \Lambda]$ ，由三个矢量生成 $[A^\prime=（1,0,0,0.0）]$ , $[B^\prime=（0,1,0,1,0）]$ 和 $[C^\prime=（0,0,1,0,1）]$ :

$[L_\perp={uA^\prime+vB^\prime+wC^\ prime=（u，v，w，v，w），\，u，v、w\在{\bb Z}\}中。]$

3.2. 双胞胎

当前背景下的双操作是相同变体之间的定向缺陷 $[{\bb Z}]$ -模块。在上一篇论文中（Quiquandon等。, 2016)，我们建议给他们打电话merohedral的乔治·弗里德尔之后的双胞胎（弗里德尔，1926)通过将晶格的作用扩展到 $[{\bb Z}]$ -模块。

这方面的一个例子merohedral的蜂窝结构中的孪晶如图6所示(一). 它由镜像操作定义 $[\widehat{h}]$ 属于对称群10的毫米属于Λ: $[\widehat{h}=\{{\overline 2}，{\overrine 1}，}\overline5}，[\overlaine4}，2]$ 与翻译相关 [（0,0,1，{上划线1}，0）] .这个对称运算在投影下无法生存 $[｛\bf E｝_\并行]$ ：它产生一个相干孪晶，相当于旋转 $[2\pi/5]$ 如图6所示(c（c）)其中陪集分解 $[10mm ^\底漆]$ 在 $[mm^\prime]$ 给出了五个变量。根据需要，所有双胞胎都是建立在相同的模块，从而证明merohedral的双胞胎。关于bean结构陪集分解 $[10 mm^\prime]$ 在 $[m^\prime]$ 给出了图6所示的十种变体(b条). 在这里，所有十种变体都有相同和独特之处 $[{\bb Z}]$ -模块。

图6
(一)相干merohedral的蜂窝结构的孪生体：双操作 $[\widehat｛h｝=第2行、第1行、第5行、第4行、第3行]$ 是一个带有不可简化翻译部分的镜子 [t=（0,0,1，{上一行1}，0）]

; 它改变了单位电池{一= [（0,0,1,0，{上一行1}）]

,B类 =

}到 $[\{A^\质数]$ = $[A，\，B^\质数]$ = $[（{上划线1}，0,0,1,0）\}]$ 此界面与两行公共原子（用紫色绘制）完全相干，并基于用细线绘制的彭罗斯瓷砖的基本菱形。(b条), (c（c）)分解生成的孪生变体 $[10 mm^\prime]$ 上的(b条) $[m^\prime]$ （bean结构） $[10毫米=\cup_{i=0}^9\widehat{C}（C）_{10} ^i\，m^\质数]$ 和上的(c（c）) $[mm^\prime]$ （蜂窝结构） $[10毫米=\杯形_｛i=0｝^4\宽帽{C}（C）_{10} ^｛2i｝\，毫米^\素数]$ 如图所示，尽管相邻的两个孪生个体之间没有二维重合晶格，但所有界面都是完全相干的。

3.3. 翻译缺陷

如前所述，翻译缺陷由陪集分解Λ到上面 [L_并行] 并且是无限多的。为了预测可能出现的平移边界，我们需要一个额外的几何标准。一个合理的选择是在相邻的翻译变体之间寻找最大的连续性，即最大化变体的原子轨道之间的重叠。通过考虑 $[{\bf E}_\perp]$ ,即连接到有限节点集合的一组Voronoi单元w个_我晶格的 $[左侧\右侧]$ ，每个w个_我对应于中的平移轨道 $[｛\bf E｝_\并行]$ （见图7).

图7
(一)中表示的bean结构 $[{\bf E}_\perp]$ 由位于w个₁=(0,0,0,0,0),w个₂= [（0,1，{上划线1}，0,0）]

和w个_三=

; 因此，有三个最合理的翻译边界R（右）₁=w个₂-w个₁,R（右）₂=w个_三-w个₁和R（右）_三=w个_三-w个₂. (b条)蜂窝结构表示为 $[{\bf E}_\perp]$ 由位于w个₁= (0,0,0,0,0)和 $[w_2=（0,0,1，{上一行1}，0）]$ 。其最合理的翻译缺陷是边界，其特征是 [R=（0,0,1，{上一行1}，0）]

使一个平移轨道保持不变（见图8

因此，我们的策略是选择这些翻译 $[R_\perp]$ 属于 $[左侧\右侧]$ 将最大数量的Voronoi细胞叠加在一起，以生成共享最大数量平移轨道的相邻变体。例如，由于蜂窝结构由两个平移轨道定义w个₁= (0,0,0,0,0)和 $[w_2=（0,0,1，{上一行1}，0）]$ ，我们可以期望的唯一保留一个轨道不变的平移边界是由故障向量生成的边界R（右）=w个₂-w个₁= [（0,0,1，{上划线1}，0）] ，如图8所示(d日).

图8
与关联的bean结构的转换边界(一) $[R_1=w_2-w_1=（0,1，{上一行1}，0,0）]$ , (b条) $[R_2=w_3-w_1=（1,0，{上一行1}，0,0）]$ , (c（c）) $[R_3=w_3-w_2=（1，{上划线1}，0,0,0）]$ ; 在所有三种情况下，三个平移轨道上的一个（红色）在跨越边界时是不变的。(d日)蜂窝结构的唯一平移边界 $[R=w_2-w_1=（0,0,1，{上划线1}，0）=（0,1-\tau）]$ 见图7

用于参考中的平移轨道 $[{\bf E}_\perp]$ . (e（电子）)–(（f）)翻译示例 $[｛\bf R｝=（0，｛\overline 1｝，1,0,0）]$ 这可以通过引入微窗口来实现：微窗口是通过连续应用双操作其逆位移为 $[{\bf R}]$ ：打开(e（电子）)这是一个旋转小时属于 $[\pi/10]$ 然后是它的反面 $[-\pi/10]$ 和上的(（f）)这是一面镜子，用了两次。

豆子结构的情况稍微复杂一些，因为它是由三个Voronoi细胞生成的。这提供了三种可能的故障向量R（右）₁= $[w_2-w_1=（0,1，｛\overline 1｝，0,0）]$ , $[R_2=w_3-w_1=（1,0，{上一行1}，0,0）]$ 和R（右）_三= $[w_3-w_2=（1，{上划线1}，0,0,0）]$ ，如图8所示，每一个都在三个结构中保留一个平移轨道不变(一), 8(b条)和8(c（c）).

产生简单平移缺陷的另一种方法是在主晶体（microtwins）中使用成对变体的精细平板。这是通过应用双操作如前一小节所述 [（小时）] ，随后，它的逆矩阵被晶格平移所取代 $[{\bf R}]$ 属于Λ, $[（\hat{h}^{-1}|-\hat}h}^}{-1}{\bft}+{\bf R}）]$ ，导致

$[（\hat{h}^{-1}|-\hat}h}^}{-1}{\bft}+{\bf R}）（\hat{h}|{\bf-t}）=（\hat1}^{-1}\hat[h}|-\ hat{h}^{-1-}{\baf t}+{bf R{+\hat}h}^-1}{{\bf}{）=$

这如图8所示(e（电子）)和8(（f）). 连续介绍n个这样的基本板生成 $[n{\bf R}]$ 在原始水晶的两个部分之间。

3.4. 模块错位

带有故障向量的先前平移边界 $[{\bf R}]$ 属于 $[{\bb Z}]$ -模可以由Burgers向量的部分位错限定 $[{\bf B}={\bv R}]$ 这些模位错被定义为晶格的完美位错Λ，其Burgers矢量具有非零分量在里面 $[{\bf E}_\perp]$ 剪切后 $[\widehat{\varepsilon}]$ 如图9所示:

$[{\bf B}_{\perp}-\widehat{\varepsilon}{\bfB}_{\ parallel}\ne 0]$

而不是通常的位错 $[{\bf B}_\perp-\widehat{\varepsilon}{\bfB}_\parallel=0]$ .

图9
一 $[{\bb Z}]$ -模块错位是 $[{\bf E}_\perp]$ 完全错位Λ在里面N个-Burgers向量的D空间 $[{\bf B}\in\Lambda]$ 有一个非零分量 $[{\bf B}^\prime_\perp]$ 在里面 $[｛\bf E｝_\perp]$ 剪切后 $[\widehat{\varepsilon}]$ .

它们是准晶中常见位错近似值的自然延伸，与所谓的变质位错克莱因首次观察到等。(1999 ); Klein&Feuerbacher（2003）对其进行了讨论 )来自Beraha的开创性工作等。(1997 )和克莱恩等。(1997 )关于近似结构 $[\xi（\xi ^\prime）]$ -AlPdMn。利用高角度环形暗场（HAADF）对这些缺陷进行了广泛而深入的研究电子显微镜Feuerbacher及其同事（例如，参见Heggen等。, 2008 ; 费尔巴哈等。, 2008 ; Feuerbacher&Heggen，2010年). 王最近也进行了类似的极好的观察等。(2016)关于AlCuMn系十方相的近似值。所有这些观察都证明了这样一个事实，即观察到的缺陷确实与底层瓷砖有几何联系，但没有一个框架能够正确定义它们的真正含义。与N个-Engel&Trebin（2006）清楚地证明了D描述 )根据费尔巴哈及其同事的实验观察。首次尝试定义超位错N个-D框架由Gratias提出等。(2013 ). 最后，在本文中，我们希望明确强调N个-D这些缺陷的特征，用准确的名称表示模数错位而不是变质位错，信息量不大。

这些模位错在两个基本方面不同于晶体中的常见位错：

（i） Burgers矢量 $[{\bf B}]$ 是的向量Λ在里面N个-D空间，以便 $[{\bb Z}]$ -模被位错保持不变；

（ii）由于Burgers矢量 $[{\bf B}]$ 中有一个非零组件 $[{\bf E}_\perp]$ 剪切后，位错是由一个或多个位错包围的部分位错堆叠断层边界。

如图10所示有一个简单的错位 $[{\bf B}=（0,0,1，{\overline 1}，0）]$ 左边的五维表示，或等效于 $[{\bf B}=（0,0,1）]$ 在右边的三维表示中。最后一种表示清楚地显示了位错及其相关堆垛断层的三维性质。

图10
A典型 $[{\bb Z}]$ -蜂窝状结构中的模位错偶极子说明了五维晶格ΛBurgers矢量描述 $[{\bf B}=（0,0,1，{\overline 1}，0）]$ 左边的格和带Burgers向量的三维格 $[{\bf B}=（0,0，{\overline 1}）]$ 在右边。当然，这两种描述完全相同。

3.4.1. 标量位错

使用过度确定的 $[{\bb Z}]$ -模块，即什么时候 $[{\bf E}_\perp]$ 包含晶格的一个或多个有理方向Λ在我们前面的两个基于五维正五边形的例子中，引入了额外的一维周期子空间 $[R_\Delta（z_\perp）]$ 在里面 $[{\bf E}_\perp]$ .

在那里，可以发现特定位错，其Burgers矢量在Λ但是有一个零 [B_并行] 物理空间中的组件。这些奇怪的位错具有不产生形变场的显著特性，因此对任何应力场和任何其他位错都不敏感。这很容易理解，因为在平铺中，位错引入的拓扑故障通过简单地重新排列基本体而完全适应，而不发生变形。因此，我们建议将这种特殊的拓扑缺陷指定为标量位错，因为它的主要特征是Burgers向量的长度（标量性质），而不是向量本身。

为了举例说明这种有趣的情况，我们考虑图11所示的二维结构用四个矢量构建 $[{\bf V}_1]$ , $[{\bf V}_2]$ , $[{\bf V}_3]$ 和 $[{\bf V}_4]$ 这样的话 $[{\bf V}_1+{\bv V}_2+{\b V}_3+{V}_4=0]$ .构型四维欧氏空间分解为

$[R^4=R^2_\parallel（x_\parallely，y_parallel）\oplus R^2\perp（x_\ perp，y_perp）。]$

使用中四个矢量的坐标 $[｛\bf E｝_\并行]$ ,

$[\eqalign{V_1&=\left（\matrix{\cos\alpha\cr\sin\alpha}\right），\quad V_2=\lert（\matriax{\cos\alpha\sin\alpha}\right），\ quad V_3=\ left（\ matrix}-\rho\cos\beta\cr\sin\beta}\rift），\cr V_4&=\ lert（\ mattrix{-\rhoS\beta\ch\sin\beta{right）$

我们注意到 $[{\bf V}_1+{\bv V}_2+{\b V}_3+{V}_4=0]$ 强加 $[\cos\alpha=\rho\cos\beta]$ 和 $[\sin\alpha=\rho\sin\beta]$ .

图11
Burgers向量的标量位错 $[{\bf B}=（1,1,1,1）]$ 在从四维空间描述的平铺中，有一个超定模，其中四个基本向量的投影位于 $[{\bf E}_\parallel]$ 求和为零，V（V）₁+V（V）₂+V（V）_三+V（V）₄= 0，如所示(一). 周期结构见(b条); 它有晶格参数 [A=（1，{上划线1}，0,0）]

和

由六个平移轨道生成。

让(n个₁,n个₂,n个_三,n个₄)是四维格的节点Λ, ( $[x_\并行，y_并行]$ )和( $[x_\perp，y_\perp]$ )其组件分别位于， $[｛\bf E｝_\并行]$ 和 $[{\bf E}_\perp]$ 简单的代数操作导致以下转换规则由全局比例因子规范化 $[\cos\alpha]$ :

$[\left（\matrix{x_\parallel\cry_parallel\cr x_\perp\cr y_perp}\right）=\left$

具有

$[a=tan\alpha，\quad b=tan\beta。]$

因此，基本的母准周期结构是沿 [y_并行] –根据角度的相对值α和β–并定期 $[x_\并行]$ 具有一维单位-细胞参数 [B=（1,1，{上一行1}，{下一行1{）] 相关地，垂直投影沿 $[x_\perp]$ 方向和沿 $[y_\perp]$ 带周期的方向 $[\增量=]$ (1,1,1,1):

$[R^4=R_\parallel（1,1，{\overline 1}，{\Ovrline 1{）\oplus R_\parallel（y_parallel）\oprus R_\ perp（x_\perp）\op卢斯R_\ per（1,1,1）]$

获得具有二维的实际周期结构单位电池由定义 [A=（1，{上划线1}，0,0）] 和 [B=（1,1，{上一行1}，{下一行1{）] 我们沿着 $[x_\perp]$ 与成比例 $[y_\平行]$ ，从而减少 $[\hat{\varepsilon}]$ 矩阵转换为简单数字：

$[\hat{\varepsilon}=b/a=\tan\beta/\tan\alpha，]$

导致

$[\left\{矩阵{x^\prime_\perp=x_\perp-y_parallel\，b/a=（n_3-n_4）（a^2+b^2）/a\cry^\prime _\perp=y_p=n_1+n_2+n_3+n_4。\hfill}\right。]$

该结构由图11所示的六个平移轨道定义(b条),w个₁= (0,0,0,0),w个₂= (0,1,0,0), $[w_3=（0,0，{上一行1}，0）]$ , $[w_4=（0,1，{上一行1}，0）]$ $[w_5=（0,0，{上一行1}，{下一行1{）]$ 和 $[w_6=（0,1，｛\overline 1｝，｛\overline 1｝）]$ 用格子

$[L_\parallel=u A+v B=（u+v，v-u，-v，-v），\四u，v，\在{\bb Z}中。]$

引入Burgers矢量的位错 $[{\bf B}=（1,1,1,1）]$ 中有零分量的 $[{\bf E}_\parallel]$ 导致图12中红色的点缺陷这是由四行翻译错误限定的。因为位错不会引起变形，所以这四个断层矢量R（右）_我定义为网格的任何平移，如图12所示，全局几何一致性为

$[eqalign{&R_1+R_2+R_3+R_4\cr&=（1+u+v，1+v-u，1-v，1-v），u，v\在{\bb Z}.}]$

图12中提出了一个简单的解决方案，沉重的深红色箭头，是要选择的R（右）₁=R（右）₂=R（右）_三=R（右）₄= (1,0,0,0)导致u个= 2和v（v）= 1在前面的表达式中。这表明，每个边界都与沿投影移动六个Voronoi单元有关(1,0,0,0)方向，即1/4长度为(1,1,1,1)方向。这一移动保持了六个不变Voronoi细胞中的四个，因此在平移边界的每个交叉点上，六个形成结构的细胞中有四个平移轨道是不变的（见图12). 这使得这些边界非常连贯：所有边界都是由原始瓷砖的局部连贯重新分布构成的，没有额外的外部形状。

图12
(一)图7的结构

(b条)在中投影 $[{\bf E}_\perp]$ 由定义原子表面位于 $[{\bf E}_\perp]$ 六个平移轨道中的一个。(b条)Burgers矢量 $[{\bf B}=（1,1,1,1）]$ 包含在中 $[{\bf E}_\perp]$ 因此，无论瓷砖在物理空间中的位置如何，都不会产生任何变形，如图所示。缺陷（红色）位于四个平移边界的交点处，每个平移边界保留构成结构的六个轨道中的四个轨道。

4.结论

我们已经看到，那些原子在非平凡表面上是长程有序的合金 $[{\bb Z}]$ -模块除了周期性间隔外，还可以包含对应于内部对称操作的新的原始缺陷 $[{\bb Z}]$ -由于周期性而丢失的模块。这些缺陷是孪晶、平移缺陷和位错，我们称之为模位错，以区别于标准晶格位错，并表现为由几个平移断层中的一个约束的部分位错。我们已经看到，对于超定模的情况，特定位错可以存在，而Burgers矢量在物理空间中的分量为零。这些位错，我们称之为标量位错，位于平移缺陷的交点处，由一组无变形的局部重定时很好地描述。

脚注

¹ $[{\bb Z}]$ -模是格的自然延伸。一 $[{\bb Z}]$ -秩模N个在里面 $[{\bb R}^d]$ 具有 $[d\，\lt\，N]$ 是布景吗 $[\Im]（我）$ 中的个点 $[{\bb R}^d]$ 这样的话 $[\Im:=]$ $[\{\lambda=n_1 e_1+n_2 e_2+\ldots+n_n e_n]$ 具有 $[n_1，n_2，\ldots，n_n\in{\bb Z}\}]$ 其中N个向量e（电子）_我在算术上是独立的(即的非零整数组合N个向量给出空向量）：（i）任意 $[{\bb Z}]$ -秩模N个在里面 $[{\bb R}^d]$ 是晶格的（无理）投影 $[{\bb Z}^N]$ 在里面 $[{\bb R}^N]$ ; （ii）a $[{\bb Z}]$ -秩模N个在里面 $[{\bb R}^d]$ [（N，gt，d）] 在中形成可枚举的稠密点集 $[｛\b R｝^d]$ 或在的非空子空间中 $[{\bb R}^d]$ ; （iii）如果d日=N个这个 $[{\bb Z}]$ -模块通常是一个格子 $[{\bb Z}^N]$ .

²这种使用五维超立方晶格而不是通常的四维根晶格的技术使得五边形对称显式化，并且所有代数操作都更加容易；这类似于在六方晶系中使用四个指数。

^三平移轨道w个_我是以下等量点的集合 $[\omega_i]$ 由翻译生成 [L_并行] : $[W_i=\{\omega_i+\lambda_\parallel，\，\lambda_\paralle\在L_parallel\}]$ 无论点对称性结构的。

⁴Voronoi细胞形成与晶格相关的标准瓷砖 $[左侧\右侧]$ ：如果切割通过两个相邻单元之间的边界，必须决定从两个单元中选择一个；因为沃罗诺伊细胞总是居中的，我们将as定义为半开放细胞，即包括边界并排除其相反部分，如线段[一,b条[对于一维情况。

⁵这与以下事实相对应： $[｛\bf E｝_\并行]$ 周期结构的晶格定义了一组离散的点，而 $[{\bb Z}]$ -模块定义了密集的点集。

致谢

作者非常感谢S.Lartigue Korinek、F.Mompiou、R.Portier和W.Hornfeck进行了许多有益和富有成效的讨论。这项工作是在ANR METADIS 13-BS04-0005项目的财务支持下完成的。

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