HoTT中的公理衔接

发布时间： 2011年11月2日 通过 迈克·舒尔曼

本文旨在提醒HoTT社区成员注意n类咖啡馆最近的一些令人兴奋的发展。

首先，一些背景。我们中的一些人（也许很多人）认为HoTT最终应该能够作为内部语言的（\infty，1）-拓扑，正如外延类型理论为普通拓扑理论提供了一种内部语言一样。基本结构已经存在：任何（\infty，1）-topos可以由一个模型类别表示，其（非循环共纤维，纤维）因式分解系统应该为标识类型建模。Peter Lumsdaine和我正在为这种模型类别中的更高归纳类型建模；统一是一个棘手的问题。

然而，我们不必等到这个解释的细节被确定后才开始使用它（\infty，1）-拓扑通过添加表示此类拓扑所具有的属性或结构的公理，类似于我们如何“综合”地进行综合微分几何或综合领域理论，而不将特定拓扑作为模型。

我想了一段时间Urs Schrieber关于有结合力的 （\infty，1）-topos将是此类开发的一个很好的候选者。内聚1-拓扑（或更一般地说，基上的内聚范畴）的概念源于Lawvere：它是一个连接的、局部连接的局部拓扑E类满足一些额外的公理。这本质上意味着在其全局截面中设置，逆图像函子（称为光盘)允许另一个左伴随词（称为\第0页)，和直接映象函子（称为\伽马射线)另一个右伴随词（称为Codisc公司)，而且光盘和（等同）Codisc公司都是完全忠实的。

直觉是E类是“空间”-具有某些“内聚”的集合，例如拓扑、光滑结构等。函子\伽马射线给出空间的基本点集；光盘使集合具有“离散内聚”；Codisc公司为其配备“混凝土衔接”；和\圆周率_0计算空间的连接组件集。

有凝聚力（\infty，1）-topos是类似的，但在世界上（\infty，1）-类别：它是一个（\infty，1）-其全局截面几何同构到的拓扑\英菲——Gpd公司（该（\infty，1）-拓扑对应于设置)是4项伴随字符串的一部分，其中逆图像函子光盘完全忠实（同方向上的另一个函子也是如此，Codisc公司). 现在最左边的伴随词是\像素（或者只是\Pi公司)，基本的\英菲-“空间”的广群体。

现在，虽然所有这些结构都在谈论一个人的关系（\infty，1）-拓扑到另一个，它的一个有用的片段可以纯粹地用在（\infty，1）-地形E类，因此也在同伦类型理论中（被视为这样一种语言的内部语言E类). 完全忠实的函子光盘和Codisc公司可以被视为装备E类具有完整的对象子范畴，分别称为离散对象和共离散对象，并且各种伴随词的存在意味着离散对象既是反射对象又是共反射对象，而共离散对象是反射对象。还有一个相容条件，它确保离散对象的范畴在规范上等价于共离散对象的类别，并且两个“全局段”函子同意模这个等价。

请注意，这些公理中没有任何内容是根据E类，断言离散对象的类别“是”\英菲——Gpd公司当然，这一事实对E类类似的“基本拓扑内部化”也被用于普通拓扑理论，例如Awodey和Kishida的解释滑轮拓扑中的一阶模态逻辑。（这表明，也许“衔接”可以被视为一种“情态”。）

总之，重点是：最近在n-Cafe上的一次讨论，导致在HoTT中形成这些公理，可以在以下评论中找到这个帖子由于乌尔斯发现，大量形式微分几何可以在内聚的（\infty，1）-拓扑（可能还添加了一些其他公理，类似于SDG），这增加了在HoTT和Coq/Agda内部将所有这些形式化的可能性。我相信乌尔斯现在正在推进这样一个项目。

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11对HoTT中的公理衔接

  1. Urs Schreiber公司 说：
    2011年11月4日04时34分

    谢谢你的帖子，迈克！

    一点评论：内聚$（infty，1）$拓扑的公理值得注意，我认为，它们不仅自然地暗示了大量形式微分几何，而且——也许主要是——它们暗示了大量的形式微分_同调。（这就是我的写.）特别是在$（infty，1）$-topos中发现的更一般的“不稳定”版本中，这要走很长的路，要结合更高的Chern-Weil理论和所有随之而来的理论。

    从某种程度上来说，人们可能认为更高的Chern-Weil理论是关于“更高规范理论”的，我喜欢将一般的$（infty，1）$-拓扑视为编码“运动学”（上同调），将内聚的$（infty，2）$-拓朴视为添加“动力学”。

    鉴于您的上述评论，我现在想了解的是，这可能与模态逻辑有关。你能详细谈谈你在这里的想法吗？

    答复
  2. 大卫·科菲尔德 说：
    2011年11月4日05:49

    一些哲学家研究了经典力学的模态内容。特别是Jeremy Butterfield在这里和在这里:

    ……分析力学给出了所有三个等级[模态参与]的许多例证：
    主体在情态上达到了极致。

    当然，杰里米很清楚物理学中的拓扑理论.

    答复
    • Urs Schreiber公司 说：
      2011年11月4日07:11

      大卫写道：“一些哲学家研究了经典力学的模态内容。尤其是杰里米·巴特菲尔德（Jeremy Butterfield）在这里和这里：”

      我的印象是Mike脑子里有更具体的东西，特别是关于衔接和模态逻辑的公理。似乎我首先需要对模态逻辑有一个很好的解释，最好是一个自然适应当前讨论性质的解释。有人有什么建议吗？

      大卫写道：“当然，杰里米很清楚拓扑理论在物理学中的作用。”

      然而，人们应该注意到，巴特菲尔德和那些现在追随他与伊沙姆共同发展的物理学拓扑理论思想的人，正在研究拓扑理论在物理学中的可能作用，这些作用与内聚拓扑的作用截然不同。或者换一种说法：劳弗尔一直在倡导拓扑理论在物理学中的作用，这与伊沙姆·伯特菲尔德（Isham-Butterfield）所建议的不同（脱节）。内聚拓扑理论是关于物理学的几何方面。

      另外，我在哪里可以找到这个博客能理解的格式命令？区块引号、内嵌数学和斜体/粗体的正确编码是什么？

      答复
  3. 迈克·舒尔曼 说：
    2011年11月4日12:38

    Urs，你可以使用任何类型的LaTeX；你只需将五个字符“latex”放在开场玩偶设计的后面。（是的，这很直观……我不知道为什么wordpress会这样做。）HoTT网站首页上有一个解释页面的链接。对于其他格式，我认为您必须使用HTML。

    史蒂夫，谢谢你的链接！我也应该链接到那篇论文；我之前确实读过它，虽然我在写这篇文章时没有想到它，但它可能潜意识地影响了凝聚力公理化的形成。不幸的是，我们不能做与你在那里所做的完全类似的事情，因为（\infty，1）-拓扑没有Lawvere-Tierney拓扑的概念。当然，它们确实有子对象分类器，但有一个左精确反射子类别（仍然是层的正确概念（\infty，1）-subtopos）不是由单态它反转了。

    然而，我认为这篇论文正是我所想到的那种“模态逻辑”。想法如下：

    • 任何左面反射子范畴（在我们的例子中是共discrete对象）都会在子对象上诱导一个“闭包操作”，这是通过将单态映射到子范畴中，然后沿反射单元拉回而获得的。这个闭包操作是拉回稳定的，因此作为“逻辑上”的操作是有意义的，也就是说，我们可以谈论“命题的闭包”。这是一种情态，我想人们可能会把它读成“这是……”。
    • 类似地，共反射子范畴（在我们的例子中，是离散对象）在子对象上诱导了一个“内部操作”，这是通过将单态域共反射到子范畴中，然后取反射对偶的图像来获得的。这不是pullback-stable，因此作为对整个类别的逻辑操作没有意义，但是（根据Awodey-Birkedal的说法），当限制为离散对象时，它是pullback stable。因此，当谈论离散对象时，我们有一个明智的方式“离散地……”；这就是我们应该如何从环境拓扑的内部逻辑恢复离散对象拓扑的内部逻辑学。
    • 共离散对象和离散对象类别之间的规范等价性意味着内部作为子对象上的操作而与闭包相邻。也就是说，“离散的P”意味着“Q”，等同于“P”意味著“离散的Q”。
    • 我不知道离散物体的反射率会给我们带来什么样的操作。

    不幸的是，Awodey-Birkedal末尾定义的模态系统使用\尖锐的对于内部和\扁平对于关闭，这与我们使用它们的方式相反。但他们观察到，内部运算符的行为与必要性运算符类似\盒子模态S4。

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    • 史蒂夫·阿沃迪 说：
      2011年11月4日16:40

      我不记得为什么我们选择这个不幸的会议\尖锐的和\扁平-也许是因为“锐化”和“展平”对象的内涵，而不是音乐顺序。

      答复
    • Urs Schreiber公司 说：
      2011年11月4日17:03

      迈克，谢谢你对模态逻辑的评论。现在我明白了。

      让我们考虑一下在衔接的背景下对这些“形式”的实际几何解释。这里可能有一个很自然的故事。

      考虑下面的例子：让内聚拓扑是光滑内聚拓扑（光滑流形范畴上的滑轮），并考虑其中的命题“n个-形式\欧米茄是封闭的”，由单态性表示
      \φ：\Omega^n_{cl}（-）\hookrightarrow\Omega ^n（-）.

      这通常不是真的。但这是真的在每个离散空间上（有点琐碎，但仍然如此）。从形式上来说，我们发现这一事实与以下事实相对应：\夏普\phi|_{\Omega^n（-）}是同构（因为已经\夏普\phi是）。

      因此，也许你建议读作“共离散真”的东西实际上应该叫做“离散真”，从几何学上来说，它的意思是：在每个离散空间上都是真的。
      （离散和共离散在这里相互作用的事实当然是它们共享函子\伽马射线.)

      我已经开始在相干拓扑.内部模态逻辑.

      但是，让我们思考更多的例子，以便更好地进一步调整解释。

      答复
  4. Urs Schreiber公司 说：
    2011年11月9日18:16

    我已经发布了第二期文章，介绍了正在进行的关于使用公理内聚来获得微分上同调理论中的结构的编码的工作。请参见

    http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/hott_cohesion_exercise_ii.html

    这些“练习”的意义之一在于，内聚的高拓扑理论/同伦类型理论提供了一种谈论微分上同调概念的方法，这些概念短得无法比拟，因此更具启发性，如果我们能成功实现这一点，那么我们将从这些结构的标准教科书公理化中得到什么。想象一下，拥有一个像[ForMath项目]这样的项目需要什么(http://wiki.portal.chalmers.se/cse/pmwiki.php/ForMath/ResearchMethodology网站)在Coq中编码光滑流形、切丛、余切丛、微分形式、de Rham超同调的概念和性质，最后定义超同调。

    但我认为，在凝聚力强的HoTT中，我们只需要几个相当基本的步骤就可以达到目的。

    当然，技巧的一部分是跳过流形的显式定义，而是找到各种微分对象的内在同伦理论特征。在第3.3节我的写结果表明，当这些抽象结构在合适的模型中实现时，它们确实复制了传统教科书中的标准结构。

    答复
  5. 迈克·舒尔曼 说：
    2011年11月30日13:45

    还有一点需要注意：经过进一步的讨论，我们意识到我们开始使用的公理太幼稚，在模型中是不正确的。可以找到一组（希望如此）修正公理的讨论，以及Coq代码的链接在这里。我认为“高等模态”的作用现在更加明确了。

    答复

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