n类咖啡馆

他们同意小数点后41位，但他们不一样！

$$\开始{数组}{rcl}\显示样式{\int_0^\infty\cos（2x）\prod_{n=1}^\inffy\cos\left（\frac{x}{n}\right）dx}&=&0.3926990816987241548078304229099378605246454…\\\\\显示样式{\frac\pi8}&=&0.3926990816987241548078304229099378605246461\\\结束{数组}$$

所以，我们一群人试图弄清楚到底发生了什么。

Jaded非数学专家告诉我们这只是一个巧合，那么有什么可以解释的呢？但当然，如此接近的协议不太可能是“巧合”。也许是这样，但你这种态度在数学上永远不会有任何进展。

我们想起了著名的余弦Borwein积分

$$\显示样式{int_0^\infty 2\cos（x）\prod_{n=0}^{n}\frac{\sin（x/（2n+1））}{x/（2 n+1）}\，d x}$$

这等于$\压裂{\pi}{2}$对于$N个$小于等于55，但不适用于更大的$N个$:

$$\显示样式{int_0^\infty 2\cos（x）\prod_{n=0}^{56}\frac{\sin（x/（2n+1））}{x/（2 n+1）}\，d x \；\大约\；\；\裂缝{\pi}{2}-2.3324\cdot 10^{-138}}$$

但确实如此肖恩·O他真正破解了这个问题，证明了我们正在努力解决的积分实际上可以简化为$N=\英寸$余弦Borwein积分的版本，即

$$\displaystyle｛\int_0^\infty 2\cos（x）\prod_｛n=0｝^｛\infty｝\frac｛\sin（x/（2n+1））｝｛x/（2n+1）｝\，d x｝$$

关键是这样。使用Weierstrass因子分解

$$\frac｛\sin x｝｛x｝=\prod_｛n=1｝^\infty\left（1-\ frac｛x^2｝｛\pi^2 n^2｝\right）$$

$$\cos x=\prod_{n=0}^\infty\左（1-\frac{4x^2}{\pi^2（2n+1）^2}\右）$$

让你展示

$$\prod_{n=1}^\infty\cos\left（\frac{x}{n}\right）=\prod_}n=0}^\infty\frac}\sin（2x/（2n+1））}{2x/$$

因此

$$\显示样式{\int_0^\infty\cos（2x）\prod_{n=1}^\inffy\cos\left（\frac{x}{n}\right）\；d x}型=\显示样式{int_0^\infty\cos（2x）\prod_{n=0}^\inffy\frac{\sin（2x/（2n+1））}{2x/$$

然后，更改右侧的变量会得到

$$\显示样式{\int_0^\infty\cos（2x）\prod_{n=1}^\inffy\cos\left（\frac{x}{n}\right）\；d x}型=\压裂{1}{4}\显示样式{int_0^\infty 2\cos（x）\prod_{n=0}^\inffty\frac{\sin（x/（2n+1））}{x/（2 n+1）}dx}$$

所以，展示一下

$$\显示样式{int_0^\infty\cos（2x）\prod_{n=1}^\inffy\cos\left（\frac{x}{n}\right）dx}$$

微观上小于$\压裂{\pi}{8}$相当于表明

$$\显示样式{int_0^\infty 2\cos（x）\prod_{n=0}^\inffty\frac{\sin（x/（2n+1））}{x/（2 n+1）}dx}$$

微观上小于$\压裂{\pi}{2}$.

这为解决这个谜制定了一个明确的策略！人们理解为什么余弦Borwein积分

$$\显示样式{int_0^\infty 2\cos（x）\prod_{n=0}^{n}\frac{\sin（x/（2n+1））}{x/（2 n+1）}\，d x}$$

等于$\压裂{\pi}{2}$对于$N个$高达$55$然后下降到略低的位置$\压裂{\pi}{2}$。一旦你看了正确类型的电影，机制就很清楚了。它非常直观。Greg Egan在这里以Hanspeter Schmid的想法为基础，用动画解释了这一点：

• 约翰·贝兹，最终失败的模式,方位角2018年9月20日。

或者您可以观看此视频，其中包含一个简单但相关的示例：

• 3蓝色1棕色，研究人员认为这是一个错误（Borwein积分）.

所以，我们只需要表明$N到+$，余弦Borwein积分的值不会下降太多！它只下降了一点点：大约$7\乘以10^{-43}$.

唉，这似乎不容易展示。至少我还不知道怎么做。但是，在分析中，一个看似完全神秘的问题现在变成了一件烦琐的事情：估计有多少

$$\显示样式{int_0^\infty 2\cos（x）\prod_{n=0}^{n}\frac{\sin（x/（2n+1））}{x/（2 n+1）}\，d x}$$

每次增加都会下降$N个$一点。

此时，如果你足够博学，你可能会尖叫：“但这是众所周知的！”

你说得对！我们发现这个东西很有趣，但它不是新的。当我在MathOverflow上发布这篇文章时，我偶然看到一篇文章，其中提到了对这件事的讨论：

• Eric W.Weisstein，无穷余弦积积分，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。

原来博文和他的朋友们已经研究过了。这里有一点：

• J.M.Borwein、D.H.Bailey、V.Kapoor和E.W.Weisstein，实验数学中的十道题,阿默尔。数学。每月 113(2006), 481–509.

在这本书中还有很多内容：

• J.M.Borwein、D.H.Bailey和R.Girgensohn，数学实验：发现的计算途径，马萨诸塞州韦尔斯利，A K Peters，2004年。

实际上积分

$$\显示样式{int_0^\infty 2\cos（x）\prod_{n=0}^{\infty}\frac{\sin（x/（2n+1））}{x/（2-n+1）}\，dx}$$

是伯纳德·马雷斯在17岁时发现的。显然，他提出了一个挑战，即证明其小于$\压裂{\pi}{4}$Borwein和其他人对此进行了深入研究，并找出了解决方法。

但仍有工作要做！

据我所知，已知的证据表明

$$\显示样式{\frac{\pi}{8}-\int_0^\infty\cos（2x）\prod_{n=1}^\inffy\cos\left（\frac{x}{n}\right）dx}\；\大约\；7.4073\cdot 10^{-43}$$

所有这些都涉及大量的暴力计算。有没有一种更具概念性的方式来理解这种差异，至少是近似的？那里是一个明确的概念性证明

$$\显示样式{\frac{\pi}{8}-\int_0^\infty\cos（2x）\prod_{n=1}^\inffy\cos\left（\frac{x}{n}\right）dx}\&gt；\；\；0$$

就是这样格雷格·伊根在我的博客文章中解释道。但我们能得到一个明确的证据吗

$$\显示样式{\frac{\pi}{8}-\int_0^\infty\cos（2x）\prod_{n=1}^\inffy\cos\left（\frac{x}{n}\right）dx}\&lt；\；\；C类$$

对于一些小常数$C类$，说吧$10^{-40}$还是这样？

有人可以说，在我们这样做之前，奥德·马加利特是对的：这里有一个公开的问题。证明某事是真实的并不成问题。理解上的问题为什么？这是真的。