霍特书
Mike Shulman发布
几个月来，你们中的许多人都听说过关于这本书的传言。我很高兴地报告，它现在已经出来了！
在链接上，你可以下载屏幕、电子阅读器或打印机的电子版本，并从lulu.com订购平装本和精装本抄送BY-SA获得许可，这尤其意味着它将始终免费提供。
那么这本书是从哪里来的？正如序言中所说，我们并没有着手写一本书。这一切都始于去年秋天，当时Peter Aczel提议成立一个工作组非正式类型理论.我提到过这个想法之前问题是，类型理论通常是一个非常正式的系统（甚至可以在计算机证明助手中实现），而数学家习惯于使用非正式的“数学英语”（或法语、俄语等）。通常的隐含假设是数学英语能够在ZFC等集合理论基础上进行形式化，这就需要对数学英语中我们能说什么和不能说什么有各种约定。非正式类型理论的目标是为数学英语的一个版本开发惯例，该版本的“隐含基础”是类型理论——具体来说，同伦类型理论。
非正式类型理论工作组开了几次会，进行了一些很好的讨论，但过了一会儿，我们意识到我们需要一些东西来集中讨论。因此，我们开始了一个项目，在非正式数学英语中写下我们最近在同伦类型理论方面的一些结果，并给这个项目一些连贯性（以及解决统一约定的激励），我们认为我们正在写的是书中的章节。最终，我们注意到，一本真正的书开始成型，这样的书可能非常有价值，既可以作为特殊年份进展的“报告”，也可以作为对该领域新手的介绍，而不需要他们了解或学习任何形式化的类型理论。因此，HoTT书。
由于其起源，本书中的一些材料已经在其他地方出版，而其中一些在IAS项目之前是HoTT社区的“常识”，但可能没有在任何地方被记录下来（可能除了在计算机校对助理中）。另一方面，大量的材料是新的，可能会由负责人在其他地方出版（或者，在少数情况下，在本书写作期间在其他地方出版）。使后者成为可能是我们选择许可证的原因之一。
我想强调的是，这本书是专门为那些不了解任何类型理论，任何计算机科学，甚至任何同伦理论！如果你正在阅读这个博客，你很可能是在预定的受众中。所以你应该去看看！
也就是说，类型理论可能很难向数学观众解释。在本书的前几章中，我们尽了最大努力为“工作数学家”介绍了类型理论，但我确信，对于许多读者来说，这仍然会令人困惑。我们需要您的反馈！我们将根据读者的反馈，在滚动的基础上发布“bug fix”增强功能，最终可能会有一个正式的第二版。告诉我们什么让人困惑，你在哪里迷路，哪里有错别字，哪里数学有错等等。我们希望你打开一个github问题但也可以在HoTT博客上发表评论。当然，我们也很高兴讨论书中的内容。
为了激发你的兴趣，我将以这本书的注释目录结束这篇文章。
类型理论本章简要介绍了不具有任何同位特征的相依类型理论。它首先概述了作为数学基础的类型理论与集合理论的区别（受到以下讨论的影响这和这)，然后介绍类型宇宙、依赖类型（在书中我们称之为类型族),-抽象、归纳和递归，以及作为类型的命题。它还为本书的其余部分建立了注释和约定。
同伦型理论本章介绍了关于类型理论的同伦观点，其中“等式证明”被视为空间中的路径或-广群。它还为类型理论增加了函数可拓性和单价公理，后者是同伦类型理论的主要创新之一。最后，解释了如何使用各种类型的路径进行“计算”，并证明了许多类型都具有通用属性。
集合与逻辑。本章首先定义一类类型，称为套它没有“更高的同伦”，因此其行为基本上类似于ETCS（结构）集合理论中的集合。然后讨论同伦类型理论中逻辑的各个方面，引入“纯粹命题”(-截断类型）和相应的命题截断，以及排除中间律、选择公理和命题调整公理的陈述（在本书的其余部分中，我们不需要大量使用这些公理）。
等效项本章研究了几种等价方法，以良好的方式定义“类型等价”的概念。它还证明了关于等价性的一些有用的一般事实，并且单价公理隐含了函数可拓性公理。
归纳。本章为我们的类型理论增加了感应式，其中包括第1章中作为特殊情况的大多数类型成型操作。它证明了（通过一个足够普遍的例子，即Martin-Löf的-类型），归纳类型可以等价地刻画为多项式内函子的同伦初始代数，并简要描述归纳类型的几个推广，如归纳族、归纳归纳类型和归纳递归类型。
更高的感应类型除单价外，HIT是同伦类型理论最重要的新方面，它允许我们构造高维“空间”，如球体和圆环；执行同伦结构，如悬吊、截断、定位和同伦结肠炎；并生成各种自由代数结构。本章通过许多例子介绍它们。
同伦-类型本章研究了-类型，包括集合（0-类型）、纯粹命题(-类型）和可压缩类型(-类型）作为特殊情况。它定义了-使用更高归纳类型的截断操作，并构造(-已连接，-截断）类型上的正交分解系统。最后简要讨论了更一般的“模式”。
同伦理论。在这里，我们终于开始获得回报。结合较高的归纳类型和单价，我们计算,、和构造长精确序列和Hopf分解，并证明了Freudenthal悬浮定理和van Kampen定理。我们还证明了怀特海定理适用于-任何有限的类型观察到它的一般形式可以被视为一个基本公理（“怀特海原则”），类似于被排除在外的中间或选择。本章包含了去年冬天和春天完成的许多新工作。
范畴理论。我在博客上介绍了本章的内容已经基本思想是，如果我们适当地定义“范畴”，要求它们满足单价公理的“局部”版本，那么在范畴中对象同构和范畴等价的情况下，所有证明和构造都将自动保持不变。特别是，等价类别变得相等。
集合论本章首先证明“集合”（定义见第3章）实际上满足ETCS的公理（或其构造性版本，取决于我们是否假设排除中间和选择）。然后，它研究了传统“集合论”中的一些主题，如基数和序数，发现它们的行为与经典版本基本相同，但由于单价性，它们略有改进。最后，在同伦类型理论中构建了一个ZF类型的集合理论模型，使用更高的归纳类型来建模累积层次。
实数本章探讨实数的两个定义。首先是Dedekind实域，其行为与预期一致（构造性和预测性的模问题）。然后是Cauchy reals，对于它，我们可以使用更高的诱导诱导类型来改进通常的构造处理。如果我们假设排除中间值，那么这两个定义都是一致的，并且表现得像我们都熟悉的实数。最后，它描绘了另一个更高的归纳归纳定义：康威的超现实数字。
有关HoTT书的更多博客，请参阅官方公告栏作者Steve Awodey，他讨论了“非规范化”的范式，以及这个帖子作者安德烈·鲍尔（Andrej Bauer），讨论了写这本书的社会技术方面（这是一种新的、令人着迷的经历）。
发布于2013年6月20日下午7:30 UTC
