n类咖啡馆

现在我们如何描述反射或共反射子类别内部? 在显而易见的方法中，我们只需说明属于子类别意味着什么，再加上对作为反射器/共反射器的类型进行操作，以及满足适当通用属性的单位/单位。在反思的情况下，这意味着我们有类似于以下公理的东西。

• $A\colon类型\vdash inRsc（A）\colon Prop$。这说明对于任何类型$A类$，我们有一个提议$英寸Rsc（A）$（表示断言$A类$位于我们假定的反射子类别中）。
• $A\冒号类型\vdash\sharp A\冒名类型$这说明了任何$A类$，我们有另一种类型$\锐利A$（它反映到子类别中）。
• $A\colon类型\vdash inRsc（\sharp A）$这说明了任何$A类$，类型$\锐利A$在子类别中。
• $A\colon类型\vdash\eta_A\colon A\to \sharp A$。这说明了$A类$，我们有一张地图$\eta_A\冒号A\到\夏普A$.
• $A、 B\冒号类型，inRsc（B）\vdash等于（\lambda g.\；g\circ\eta_A）$这表明，对于任何类型$A类$和$B类$，其中$B类$在子类别中，使用预编译$\埃塔_A$得出以下等式$B^{\夏普A}$和$B^A公司$.

然而，假设我们的类型理论依赖类型，以这种方式对内部逻辑中指定的类型进行的操作实际上给了我们更多而不仅仅是对对象的操作$H（H）$（这就是我们想要的）。这是因为我们在类型理论中的任何操作都可以自动应用于上下文因此，我们不仅可以对每种类型都这么说$A类$，我们有一种类型$\锐利A$，我们也可以说，对于任何依赖类型$$x\colon A\vdash P（x）\colon类型$$我们有另一种依赖类型$$x\colon A\vdash\sharp P（x）\colon类型。$$由于依赖类型超过$A类$表示切片类别中的对象$H/A公司$，一种理论操作$\尖锐的$实际上给了我们对每一个切片类别的操作$H（H）$一旦你意识到如果“广义元素$A类$在阶段$U型$“表示态射$U到A$，则为“阶段类别的广义对象”$U型$“只能表示切片类别的对象$H/U（主机）$.

此外，对切片类别的此操作与pullback交换，因为$\锐P$沿着$f\冒号B\至A$和$\尖锐的$-拉回的图像$P（P）$沿着$（f）$都由相同的依赖类型表示：$y\colon B\vdash\sharp P（f（y））\colon类型$。如果我们另外添加了一些公理，这些公理似乎表示此操作是反射或共反射（正如我在上面对反射所做的那样），那么我们实际上是在描述每个切片类别的反射或共折射子类别，对于这些子类别，（共）反射器与拉回进行交换–（co）反射亚振动的共结构域纤维化.

那么，我们如何消除这些额外的数据，并回到讨论反射或共反射子类别$H（H）$本身？在共反射的情况下，我们相当沉沦（稍后我会回到那个情况），但在反射的情况中，反射子类别和反射子类别之间有着密切的关系。

1. 每一个反射子范畴（受某些伴随-反馈-理论-y条件的制约）都会产生一个因子分解系统 $（东、中）$，其中$E类$是由反射器反转的地图类别$\尖锐的$，反射子类别用$M/1号机组$。以这种方式从反射子类别中产生的因子分解系统正是那些$E类$满足三取二（当然，在这种情况下，反射子类别是在$E类$); 这些被称为反射因子分解系统.

2. 每个因子分解系统$（东、中）$产生了一个拉回式的切片类别反射子类别系统：$高/x$是$男/女$，带有$（东、中）$-因式分解是反射。反射子类别的下拉稳定系统$C^x\子结构H/x$正是在以下情况下由因子分解系统产生的$M（M）$，态射类$f\冒号x\到y$它们是的对象$C^x公司$，在合成下关闭。当分解系统本身为可拉回的.

3. 当一个反射因子分解系统对应的反射子范畴具有左面反射器时，该系统是精确稳定的。

下面给出了一些很好的参考资料来学习这些东西本页因此，我们有一个夹杂物图：$$\阵列{\文本{反射子类别}&\to&\text{因子分解系统}&\to&\text}反射子类系统}\\\上箭头&&\上箭头&&\上箭头\\\text{lex-reflective subcategories}&\to&\text{稳定因式分解系统}&\to-\text{reflectivesubcibrations}}$$回想一下，天真的内部公理看起来好像是在描述一个反射子类别，实际上是在描述反射子振动。因此，我们可以对其进行扩充，以实际描述词汇反射的通过实施进一步的公理确保$M（M）$在合成下关闭，并且$E类$满足三分之二的要求。

事实证明，在内部$M（M）$由形态构成$P至A$表示依赖类型的$x\colon A\vdash P（x）\colon类型$对于其中$\对于所有x，inRsc（P（x））$从中可以证明$M（M）$在内部，当类型$英寸Rsc（B）$在相依和下闭合：

$$inRsc（A），\对于所有x.inRsc（P（x））\vdash inRsc\left（\sum_{x\colon A}P（x）\right）$$

同样，$E类$可以被内在地描述为表示从属类型的语态$x\colon A\vdash P（x）\colon类型$每个$\锐P（x）$是可收缩的。可以从中证明$E类$对于任何映射，仅当内部满足三分之二$f\冒号A\至B$哪里$\锐利A$和$\锐利B$是可收缩的$\尖锐的$所有同伦纤维$（f）$.

$$isContr（\sharp A）、isContr$$

最后一个条件是这样说的特例$\锋利的$保留撤退，从中可以在内部证明$\尖锐的$保留所有回拉&也就是说，反射镜是lex。然而，事实上，即使没有后两个条件，反射子振动的概念也有一定程度的词汇性。因为由于反射器与拉回相通，所以它们的右邻接也是如此：包含纤维状子类别和从属产品。这尤其意味着$M/1号机组$是一个指数理想，因此$\尖锐的$必须保留有限乘积。

从属和下子范畴的闭包是一个比较神秘的条件。然而，它承认了一个非常令人满意的改写。请注意，公理断言的普遍属性的一个结果是$\埃塔_A$我们可以通过它来考虑：

• $f\冒号A\至B，inRsc（B）\将事实（f）\冒号A \至B$这说明如果$B类$在子类别中，并且$f\冒号A\至B$，然后我们有另一张地图$事实（f）冒号A到B$.
• $f\colon A\to B，inRsc（B），A \colon A \vdash事实（f）（eta_A（A））=f$这是说$A、 B类$和$（f）$如上所述，以及任何$a\冒号a$，我们有$事实（f）（eta_A（A））=f$.

这看起来很像归纳定义类型的“消除规则”，这是类型理论中的一个常见概念。通常，当类型$T型$是由某些构造函数归纳定义的，这意味着我们有各种方法来构造$T型$（可能将其他元素作为输入$T型$)而且如果我们有其他类型$B类$以及构造元素的类似方法$B类$，有来自的指定映射$T型$到$B类$保留构造函数。例如，自然数是由两个构造函数归纳定义的$0\colon\mathbb{N}$和$s\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$.

在这里，我们似乎有点这么说$\锐利A$归纳定义为$\eta_A\冒号A\到\夏普A$加上某种模糊的“锐度”。特别是，它有一个消除器表示，如果$B类$具有类似的构造函数$f\冒号A\至B$以及相同类型的“锐度”（即，$英寸Rsc（B）$)，则我们有一个指定的映射$事实（f）冒号A到B$保留构造函数$\埃塔_A$（显然，“保持清晰度”是一个空洞的条件，这是有意义的，因为我们的子类别已满）。

然而，在从属类型理论中，归纳类型通常也会出现依赖消除器，其中目标类型$B类$允许取决于电感类型$T型$例如，对于自然数，这个消除器表示给定一个从属类型$n\colon\mathbb{n}\vdash B（n）\colon类型$与元素一起$z_B\冒号B（0）$并且对于每个$n个$手术$s_B\冒号B（n）\到B（s（n））$，我们有一个特定的部分$f\冒号\表示所有n，B（n）$这样的话$f（0）=z_B$和$s_B（f（n））=f（s（n）$依赖消除器的一个值是，它们允许我们通过将依赖消除器使用到等式/路径类型中，来证明由非依赖消除器指定的态射的唯一性（直到等式，即，同伦论中的路径）。

自然依赖消除器$\尖锐的$将是以下内容。假设$a\colon\sharp a\vdash B（a）$是依赖于的类型$\锐利A$假设我们有一个部分$对于所有a、B（eta_a（a））$结束$A类$，假设$\对于所有x\冒号\锐A，单位为Rsc（B（x））$。然后我们有一个特定的部分$事实（f）\冒号\所有x\冒号\sharp A，B（x）$，因此$\事实（f）（eta_A（A））=f（A）$为所有人$a\冒号a$.

这是一个可爱的事实：反射性的亚振动$\尖锐的$具有从属消除器当且仅当$英寸Rsc$对象在相依和下是封闭的，即它是一个因式分解系统。如果我们在和下有闭包，那么我们可以使用非依赖消除器来定义映射$A\to\sum_{x\colon\sharp A}B（x）$轻推它，使其成为$B类$; 相反，我们可以定义$\eta_{\Sigma_x B（x）}$使用从属消除器。此外，如果我们假设子范畴在等式/路径类型下是封闭的，那么依赖消除器不仅意味着非依赖消除剂（这是显而易见的），而且还意味着它的普适属性（通过将其消去为等式类型）。

这给出了一种非常典型的理论思考风格$\锋利的$，这对于证明尖锐物体的情况也非常方便。我们可以在Coq中编写方便的策略，自动应用依赖消除器及其计算规则，将所有内容简化为关于未锐化对象的语句。从某种意义上说，这意味着我们有一种更高类别的模式：作用于物体和命题的物体。这应该不会太令人惊讶；我们知道1-topos的词汇反射子范畴等价于Lawvere-Tierney拓扑这是一种作用于命题的传统情态。在同伦类型理论中，我们需要使用作用于对象的更高模态，因为不是每个子模态-$（\infty，1）$-topos是一个拓扑定位.

我希望上述内容已使您确信共离散对象在内部逻辑中承认一个非常好且方便的公理化。不幸的是，离散对象不要承认有这么好的描述，因为当我们想将反射性双重化为共反射性时，内部逻辑不允许我们将切片类别双重化为co-slices。我不知道任何构造共反射的振动不足。

然而，若我们有共离散对象，那个么它们为我们提供了处理离散对象的解决方案！也就是说，我们已经有了类别$秒$坐在里面$H（H）$作为共离散对象，使用函子$U形H到S$由反射器表示$\尖锐的$因此，我们可以在$秒$“”关于$H（H）$“仍然留在里面$H（H）$如果我们所有的谈话都是在共现对象中进行的。

这种方法的主要参与者是$\锐利型$.在这里$类型$是类型的（或者更确切地说是a）类型，它表示对象分类器在范畴理论中。你可以把它想象成某种Grothendieck宇宙；但请记住，我们希望它满足单价公理因此，$\锐利型$是的对象$秒$潜在的$类型$–我们可以将其视为“物体的外部空间$H（H）$“–包含回$H（H）$作为一个离散对象。的功能$\尖锐的$（以及它保存产品的事实）意味着对类型的任何操作，这在类型理论中由$类型$，在上产生相应的“外部化”函数$\锐利型$例如，internal-hom，它采用两种类型A类和B类并给出了函数类型A->B，由函数表示$类型\；\时间\；类型\到类型$，因此给出了一个函数$\锐化类型\；\时间\；\锐化类型\到\锐化类型$.

不过，还是缺少了一些东西。功能$\尖锐类型\；\时间\；\sharp类型\to-sharp类型$是内部hom操作的外部化，它接受以下两个对象$H（H）$给了我们第三个对象$H（H）$然而，我们真正想要的（为了谈论$H（H）$“外部”）是指外部的hom，它携带两个物体$H（H）$给了我们一个对象$秒$! 因此我们需要手术$\锐化类型\到类型$从某种意义上说，它“逃离”了外部世界，它应该是$\尖锐的$自身（因为外部hom是$U型$应用于内部孔）。

神奇的是，我们有这样一个手术。回想一下对象分类器$类型$附带一个通用地图 $\widetilde{Type}\到类型$，其中每一张（小）地图都是以一种基本上独特的方式拉回的。函子$\尖锐的$应用于此可以为我们提供地图$\sharp\widetilde{Type}\to\sharp类型$，因此有一个分类图$escape\colon\sharp Type\转换为Type$这是一个粘贴回拉方块的简单练习$\尖锐的$保留回拉，以显示复合$$类型\ xrightarrow｛\eta_｛Type｝｝\ sharp类型\ xrightarrow｛escape｝类型$$相当于$\锐角\冒号类型\到类型$自身。因此，逃跑实际上是“sharp的一个版本”，它让我们定义外部hom $\锐化类型\；\时间\；\锐化类型\到类型$通过将“externalized internal-hom”与逃跑.

这工作得非常好。特别是，它使我们能够用运算的形式来表达离散对象的核心反射器$\扁平\冒号\尖型\到\尖型$，陈述它的普遍属性，并证明它的有用之处。当然，这比单纯的内部工作要麻烦得多，但随着练习的增多，我们会写出更有用的策略，也会变得更容易。此外，还可以很容易地断言离散对象也是反思的，带反射器$\Pi公司$保留有限乘积，从而获得内聚的原始期望公理化$（\infty，1）$-地形。我现在满意的公理化可以找到在这里.

最后，让我说一下如果我们没有共晶体对象，我们可以做什么。从以下位置记住最后一次有一种通用的方法添加通过构造烤饼关于（lex）函子$U形H到S$因此，如果我们想使用内部逻辑讨论这样一个函子，我们可以首先构造它的scone，其中包含$秒$作为codiscrete对象的lex反射子类别。

此外，烤饼也包含$H（H）$作为一个lex反射子范畴，这两个子范畴是互补的开放子范畴和封闭子范畴。（开放子主题由子终端对象决定$P（P）$，其反射器为$A\maps到A^P$; 互补闭合副足的反射器$A类$两个突出部分的推出$A\倍P$.）最后，任何具有互补的开闭子命题对的拓扑都可以作为函子从一个到另一个的scone。因此，如果我们将上述两个词汇反射子范畴公理化，并规定它们是互补的开放和封闭子命题，我们将有一个内部逻辑来讨论拓扑之间的任意法函子。如果我们进一步要求共现对象（封闭子主题中的对象）带有匹配的离散对象，这就相当于要求$U型$有lex左伴随词；因此，我们有了一种内部语言来讨论任意几何形态。