n类咖啡馆

大卫写道：

为什么要引用恐吓语？

吉姆·多兰真的很讨厌我为他说话。但我再次重申：

可能是因为Jim在评论中没有给出他的最受欢迎的“学说”定义这与Lawvere最初将“学说”定义为类别猫，也不同于后来将“学说”定义为2类类别。我想他是想警告我们，最好的定义有些悬而未决。

这篇帖子中有很多路通向吉姆。有零碎的东西散落在各种各样的网上。除了你的学说，这是吉姆的代数几何，托德的在托德·特林布尔（Todd Trimble）中与詹姆斯·多兰（James Dolan）的对话笔记和Alex的亚历克斯·霍夫农的教义我也看到了杰弗里·莫顿评论关于集团化和塔纳卡重建。

我忘记了HDA二例如。，

$代表（U（n））$自由连通对称2-$H^{\ast}$-偶数对象上的代数$x$尺寸的$n个$.

我们能恢复吗$A类$达到等效值$FinProd（A，套装）$?

我会等待专家们的回答，但这不是我的例子3中的结果吗？也就是说，如果你在2类范畴中选取具有所有极限和共点的态射，以及具有保留极限的函子、过滤共点和正则表态射？这就是我收集的.

还有一些有趣的材料是关于确定一个概念，以及研究从托德开始的不同学说中理论是如何变化的在这里.

我有一个答案。对！由二元集的幂给出的Lawvere理论（作为$翅片$)与Lawvere三元素集的幂理论具有相同的模型。因为它们都有相同的柯西完成式（参见讨论在这里).

当然，有限极限理论逃脱了这种命运，因为有限完备范畴是柯西完备的。

我可以提供一些非常重复的方式，其中的答案是“是”。

在塔纳卡重建中，我们不仅要处理一类表示，还要处理一个潜在的或健忘的函子。在大多数同义反复的公式中，我们处理所有表示的范畴及其底层函子

$$U： 将^G设置为Set。$$

这是有代表性的：$U=集合^G（G，-）$一个Yoneda引理参数给出了自同态的幺半群$内多（U）$与的幺半群同构$G公司$-设置贴图$G至G$，并且这个幺半群同构于$G公司$作为一个团队。这样我们就恢复了$G公司$从$U型$.

对于Lawvere理论的模型类别$T型$，我们又有一个健忘函子

$$U： Mod（T）\设置$$

也可以表示为$法[1]$，免费$T型$-一个生成器上的代数。这一次我们没有形成自同态幺半群，而是在$U型$谁的$n个$-ary操作是

$$Endo（U）[n]=\hom（U^n，U）$$

还有这里$T型$是同构的（作为Lawvere理论）$内多（U）$同样，这是通过Yoneda引理参数（例如。，$U^n（U ^n）$由自由代数表示$F【n】$).

这里必须有一个非常一般的教义故事。将学说的对象（在吉姆的意义上）视为“理论”，在一种情况下，“理论”是群或幺半群，在另一种情况中，它们是劳弗尔理论。在这些情况下，该理论是从模型范畴上的基本函子的“自同态理论”中恢复出来的。

可能会认为这些情况是轻微的作弊，因为我们一直专注于“单分类理论”，在那里我们只处理一个潜在的函子$U型$这起到了一种“普遍性”的作用，它使我们能够立足于理论。但有一个技巧可以让我们处理多分类Lawvere理论，我们可以将多个通用分类打包$U_s:Mod（T）\设置$（涵盖一系列类别$S公司$)作为单函子$U： Mod（T）\设置/S$（其中一个角色是$设置/S$这是一个自由类别，其中包含由离散类别生成的小产品$S公司$–这不仅是有限代数理论的良好环境，也是各种无穷理论的良好条件。）

我很快就要离开了，但我想回到加布里埃尔·乌尔默的二元性（以及其他）。

为了进一步说明托德刚才所说的塔纳卡重建基本上只是Yoneda引理的论点：

Yoneda-aspect的详细信息在条目的开头塔纳卡重建。当我考虑$（\infty，1）$-塔纳卡二元性。尽管这个论点很简单也很有用，但我不知道它在任何地方都有明确的表述，除了在这里$n个$实验室入口。（如果你知道推荐人，请告诉我。）

但请注意，大多数被称为塔纳卡对偶在文献中确实包含了第二步，这不仅仅是一般的抽象：

塔纳卡二元性有一个一般抽象和具体的方面。一般抽象的说法是代数/群$A类$可从fiber函子的所有模块/表示的类别中重构。这是一个纯粹的一般抽象Yoneda论点。具体的说，在好的情况下，它可以从可二元化的（有限维）模，即使它本身不是有限维的。

更准确地说…

（详见条目）。

但反过来说，这意味着，如果我们满足于观察一种Tannaka对偶全部的因此，仅就Yoneda方面而言，该论点具有广泛的普遍性。特别是，它立即概括为代数∞理论上的∞代数。在高范畴理论中的Tannaka对偶提到了两个应用：Tannaka对偶$（\infty，1）$-置换表示及其应用凝聚∞拓扑中的Galois理论.