数学的艺术
John Baez发布
下面是对我的学生在分类和物理方面所做工作的一个简单介绍：
•索菲·赫布登，数学艺术：数学的一个图形分支可以帮助物理学家得出关于量子引力和时间本质的新结论.
它是由基础问题研究所提出的，或FQXi公司这是一个为以下难题的创新研究提供资金的组织
时间的本质是什么？
物理学中最终可能发生什么？
和
为什么“基础问题研究所”的首字母缩写中有一个“X”？
不久前，他们给了我一笔补助金，帮助我的三个研究生：韦尔塔,克里斯·罗杰斯和克里斯托弗·沃克。它带来了巨大的不同！他们可以写很多论文，参加很多会议，并且进步更快，而不是一直担任助教。他们今年春天都要毕业了，他们需要工作。你应该雇用他们。
不幸的是，用简单的术语来描述他们的工作有点困难。
幸运的是，索菲·赫布登的文章做得很好！你如何向高中后就没学过数学的人解释分类？这听起来可能不可能，但这篇文章做到了。
但是，如果你懂一些数学，你可能会想看到更多的技术细节：没有细节，我们的工作听起来可能像是没有实质内容的胡说八道。所以：让我描述一下我们在FQXi拨款的帮助下撰写的论文。对于大多数人来说，我将包括链接，不仅指向报纸本身，还指向关于他们的对话n个-品类咖啡馆。
一个好的起点是物理学、拓扑、逻辑和计算：罗塞塔石碑，概述了范畴理论如何统一我们对四门学科中“系统和过程”的描述。这是作者迈克留下来还有我，它出现在鲍勃·科克的卷中物理学的新结构.
在分类之后n个-类别-这是事情发生的地方真正地很有趣。对于如何n个-类别出现在物理中，试试看史前n个-范畴物理学通过亚伦·劳达和我。这将出现在深层美：数学创新与量子世界潜在可理解性的探索汉斯·哈沃森（Hans Halvorson）编辑的一本书。这本书和鲍勃·科克（Bob Coecke）的书都应该是对物理学中使用的类别的很好的介绍。
我们可以反复“分类”熟悉的数学概念，并通过将集合替换为类别、2类等来获得新的数学概念。在物理学中，这往往与提高维数有关，例如从粒子理论发展到弦理论、2膜理论等。由于对称性在物理学中非常重要，我们用“李代数”的概念从数学上描述对称性，对这个概念进行分类特别有趣。这给出了“李2-代数”的概念。我们也可以对“辛流形”的概念进行分类，辛流形是一种点描述粒子状态的空间。事实证明，分类辛流形或“2-辛流形”可以用来描述弦的状态。正如任何辛流形都给出了一个可观测的李代数一样，2-完备流形也给出了可观测的李2-代数！亚历克斯·霍夫农,克里斯·罗杰斯我写了一篇论文阐述了这些观点：分类辛几何与经典弦.
物理学中最著名的李代数——所谓的“简单”李代数——都可以扩展到李2-代数，而后者在我们描述弦的对称性时就会出现。Chris和我写了一篇论文，展示了如何从2-完全几何中得到这些Lie 2-代数：分类辛几何与弦李2-代数.
后来，克里斯进一步对这些想法进行了分类，大致表明n个-plectic流形给出Lien个-代数，在他的论文中L（左）∞-多辛几何中的代数.英寸2-丛几何、Courant代数体和分类预量子化，然后他开始描述如何量化由2-辛流形描述的经典系统。在他的论文中，他将继续研究2-plectic流形的量子化。
然后有韦尔塔他非常喜欢基本粒子物理学。我们首先为数学家写了一篇粒子物理简介，大统一理论代数但我们的真正目标是理解赋范除法代数——实数、复数、四元数和八元数——在分类物理的超对称版本中的重要性。在除法代数与超对称I，我们回顾了赋范除法代数是如何产生一个包含旋量和向量的方程的，该方程对于3、4、6和10维时空中的超弦至关重要。在除法代数与超对称II我们为尺寸为4、5、7和11的超2膜开发了一个类似的故事。正如你可能听说过的，10维和11维在弦论和M理论中特别有趣——在这些情况下八元数出现！
这与分类有什么关系？好的，这些包含旋量和向量的方程是“共循环条件”，这意味着它们产生了“Lie 2-超代数”，扩展了通常的时空超对称性的3、4、6和10维，而“Lie 3-超代数”在4、5、7和11维也做了同样的事情。在他的论文中，John正在研究相应的“李2-超群”和“李3-超群”。
约翰和我还写了一些论文来帮助解释这些想法：高规范理论邀请函以及一篇关于八元数的温和说明性文章，将出现在科学美国人.
到目前为止，大多数论文都认为这是理所当然的。但使用分类来寻找一种“纯粹离散”的物理方法也很诱人。一种方法是使用群胚（所有形态同构的类别）作为数字的替代。亚历克斯·霍夫农，克里斯托弗·沃克我写了一篇论文，基于这个想法发展线性代数：高维代数VII：群化在这篇文章中，我们简要介绍了如何使用这个想法来对某些被称为“Hecke代数”和“Hall代数”的代数小工具进行分类。这些小工具在简单李代数的研究中非常重要。我们将在接下来的两篇HDA论文中对其进行更详细的研究。有关HDA8的预览，请参阅Alex Hoffnung的论文赫克二分类克里斯托弗·沃克正在写关于分类霍尔代数的论文，其中一些工作将成为HDA9。
除了HDA8、HDA9和其他一些遗留项目外，我还转到了其他项目。因此，我想指出上述工作中的一个大漏洞，我永远不会填补，希望其他人会填补。
也就是说：把连续统视为理所当然的工作链和探索以纯粹离散的方式做数学的工作链之间存在差距！
幸运的是，有一个明显的地方可以开始弥合这一差距。
一方面，我们可以对任何简单李代数进行分类，得到一个李2-代数。这项工作使用实数，或至少有理数，到处都是。另一方面，我们可以取对应于这个李代数的量子群。在量子群中有一个很重要的部分，叫做霍尔代数，我们知道如何在不提及有理数的情况下对其进行分类：我们可以使用群胚来代替。这些关系如何？它们确实是密切相关的：毕竟，李2-代数和量子群都是这个游戏中另一个玩家的近亲，即中心扩展循环群！但最好能澄清这种关系，并将其简化。我认为我们还没有弄清数学的底细，更不用说它对物理的可能影响了。
我应该补充一点，其他人其他对量子群进行分类的方法，其中一些方法适用于整个量子群。这里的一些相关名字包括卡日丹、卢斯提格、弗伦克尔、索格尔、斯特罗佩尔、霍瓦诺夫、劳达、鲁奎尔和韦伯斯特——我能想到更多，所以我向其他人道歉。这项工作非常重要，它必须掌握我所问问题的许多关键。但对我来说，唉，这似乎仍然是复杂而神秘的。我相信，这大部分是由于我的无知。但我仍然认为，这项工作将受益于头脑简单的人，他们在看复杂的公式或定义时会问“为什么？”
最后，你看，这一切都会变得非常明显…
发布时间：2010年10月22日凌晨4:01 UTC
