n类咖啡馆

有几个简单的数学点。一个是一套测量零点的内部肯定是空的，如果没有，它会包含一个非平凡的长方体$（a_1，b_1）\times\cdots\times（a_n，b_n）$.另一个是相反的失败：一组可以有积极的衡量标准但内部是空的（例如无理数）。

我刚学到的是契约带正值的集合测量但内部是空的。（我一会儿举个例子。）那可能听起来像是一个立即被遗忘的技术性问题，但实际上这是一个棘手的事实在重要区别的背后。稍微夸张一下：

测量零点和空内部之间的差异是勒贝格和黎曼可积性之间的差异。

在我开始之前，这里是$\mathbb{R}$具有积极的措施，但空虚的内部。这很容易，但不是主要的这篇文章的重点，所以如果你没有心情了解细节，请跳过接下来的两段。

考虑经典的康托集，得到从$[0, 1]$通过移除中间开口$1/3$，然后拆下中间开口$1/3$每个$2$结果间隔，然后移除中间开口$1/3$每个$4$结果间隔，等等。这个不是例如，由于康托集合的测量值为零：集合在$n个$第七阶段有措施$（1-1/3）^n=（2/3）^n$，其中收敛到$0$作为$到infty$.

但我们可以调整结构：$n个$第个阶段，而不是删除中间打开$1/3$来自每个$2 ^n个$间隔，拆下中间开口$x个n$.在这里$（x_n）$是介于$0$和$1$所以出现三次“$1/3$“在上一段的第一句中成为“$x 0$”, “$x_1$“和”$x2个$”，分别表示。测量得到的类康托集是$$\prod_{n=0}^\infty（1-xn），$$如果我们选择，它是非零的$（x_n）$迅速收敛到$0$.还有我们的套装内部肯定是空的，因为$n个$第个阶段不包含间隔长度$&gt&nbsp；2^{-n}$。对于$（x_n）$，我们的集合称为胖坎托套装.

这与勒贝格和黎曼可积性有什么关系？答案在于“乔丹可测量性”的概念。的子集$\矩阵{R}^n$是打电话约旦可衡量如果其特征功能（指示器功能）是黎曼可积的。你可能会认为这叫做“黎曼”可测量性”，但显然不是。它有时被称为“Peano–Jordan”可测量性”。

关于约旦和勒贝格可测性，至少对于紧集是这样的：

紧集是Jordan可测的当且仅当其边界具有Lebesgue测量零。

一个等价的语句是紧集$A类$如果和只有$体积（A）=体积（Int A）$，其中$音量$指勒贝格测量和$国际$指内部。

但紧集的边界是紧的，并且内部是空的。所以如果每一个内部空的紧凑型集合都有0个度量单位，乔丹的可度量单位将是与勒贝格可测性相同。相反，如果Jordan可测性为与Lebesgue可测性相同，然后是每个紧集$A类$带有空的内部会满足$Vol（A）=Vol（Int A）=0$.

结论：“测度零”不同于“空内部”——即使是紧集——正是因为勒贝格可测性不同于乔丹可测性。