n类咖啡馆

 

二进制数字的平均值

让我们从一些非常简单和无结构的东西开始。修复一组$X（X）$.是否有任何有意义的方式分配给每个功能$$f： X\到\{0，1\}$$a“平均值”$\μ（f）\in\{0，1\}$?

这取决于意思是什么。当然是常数的平均值函数应该是常数，所以第一个公理是：

a。如果$（f）$具有常量值$秒$然后$\μ（f）=s$（其中$秒\英寸\{0, 1\}$)

平均值通常是线性的，所以我们现在想说‘$\μ（f+g）=\mu（f）+\mu（g）$’. 我们不一定要把二进制数字加在一起（自$1+1=2$)，但如果$（f）$和$克$有脱节支架。因此，第二条也是最后一条公理是：

b。如果$f、 g:X\到\{0，1\}$而且没有$x中的x$对于其中$f（x）=g（x）=1$然后$\mu（f+g）=\亩（f）+\亩（g）$.

A类意思是在$X（X）$是一个函数$\mu:\{0，1\}^X\到\{0、1\}$令人满意的这两条公理。

这个概念有很多等价的公式。

例如，$\{0,1\}$是布尔代数，所以$\{0，1\}^X$也是，你可以等效地代替b条表面上更有力的公理$\亩$保留整个布尔代数结构：$$\开始{对齐}f\leq g&\implies\mu（f）\leq\mu（g）\\\mu（f\vee g）&=\mu（f）\vee\mu（g）\\\mu（f\wedge g）&=mu（f）\wedge\mu（g）\\\mu（1-f）&=1-\mu（f）\结束｛对齐｝$$哪里$\vee=最大值$和$\楔形=最小$.

或者，您可以从集成切换到度量。也许很不幸这封信$\亩$通常用于表示平均值和度量值，但我认为这种巧合的好处。对于子集$Y（Y）$属于$X（X）$，我会写信的$\亩（Y）$意思是$\μ（\chi_Y）$，其中$\chi_Y（_Y）$是特征函数属于$Y（Y）$.书写$P（P）$对于powerset，$\亩$然后变成地图$P（X）到{0，1\}$.公理一然后说$\mu（\emptyset）=0$和$\亩（X）=1$和公理b条可以说是包含排除原则：$$\mu（Y\cup Z）=\mu（Y）+\mu$$($Y、 Z\子结构X$). 这样一个$\亩$也称为估价.

或者，由于平均值被限制在$\{0, 1\}$，你也可以只需记录这些子集$Y \子序列X$对于其中$\μ（Y）=1$.让我们写$$\数学{U}=\{Y\subseteq X:\mu（Y）=1\}，$$然后说一个子集$Y\子结构X$是大的如果$Y\英寸\数学{U}$、和小的如果$X\设置负Y\在\mathcal{U}中$.公理一和b条则等于：

• 的每个子集$X（X）$要么大要么小，但不是两者都有
• 小集合的每个子集都很小
• 小集合的有限并集是小的。

一套$\数学{U}$的子集$X（X）$用这三个属性称为超滤器在$X（X）$因此，平均值与超滤器。

在我将描述的所有三种情况中，基本问题是：

存在非平凡手段吗？

在目前的情况下，“非平凡”的含义如下。每个人都有$x中的x$，微不足道的卑鄙$\亩$由提供$$\μ（f）=f（x）。$$如果你想$（f）$作为函数$X\到\{0，1\}$，这是评估$x个$。如果你正在考虑$（f）$作为产品集的一个元素$\{0，1\}^X=\{0，1\}\次\{0，2\}\次数\cdot$，它投射到$x个$第个因素。关于$\亩$作为一种度量，它是点度量，或Dirac delta，在$x个$.关于$\亩$作为一个超滤器，它是主超滤器在$x个$：子集是大的，当且仅当它包含$x个$.

这是一个很容易证明的练习$X（X）$是有限的，这些是只有意味着。什么时候？$X（X）$是无限的，情况更有趣。那里是非平凡的手段，但你不能构建任何：你必须引用某种形式的选择公理。（我将自始至终假设Choice。）所以这个问题的答案是：

如果没有$X（X）$是有限的；是，如果$X（X）$是无限的。

可接受的群体

现在让我们试着做同样的事，但要付出$X（X）$一个群体的结构。这个mean应该在以下意义上尊重群体结构。鉴于$x\英寸X（X）$，写入$$\开始{对齐}\tau_x:x&\到&x\\y&\mapsto&x年\结束｛对齐｝$$左转$X（X）$.那么我们需要

c。 $\mu（f\circ\tau_x）=\mu（f）$，对于所有人$f： X\到\{0，1\}$和$x中的x$.

从度量的角度考虑，这表示子集的度量是与每个翻译的度量相同。

但有一个即时的问题。例如，采取$X=\mathbf｛Z｝$，我们有$$\mu（2\mathbf｛Z｝）=\mu（1+2\mathbf｛Z｝）$$-偶数和奇数具有同样的措施。但是$2\mathbf{Z}$和$1+2\mathbf{Z}$是$\矩阵{Z}$，具有度量值$1$.所以$2\mu（2\mathbf{Z}）=1$同样，$n\mu（n\mathbf{Z}）=1$对于任何正整数$n个$，如果$X（X）$是有限的订单组$n个$然后$n（x）=1$为所有人$x中的x$所有这些如果平均值被限制在$\{0, 1\}$.

因此，我们通过允许$\亩$接受价值观实际间隔$[0, 1]$准确地说：a意思是在一个组上$X（X）$是一个功能$$\mu:\{0，1\}^X\到[0，1]$$满足公理一,b条和c（c）。组是易控制的如果它至少承认一个意思。（没有“琐碎”指被排除在外。）

“顺从”这个词是一种双关语。在普通英语中，这个词的意思是“愿意”或“易于合作”。但是说出来了大声（至少在我看来）听起来像是“很有意义”。

（你可能认为应该有单独的定义左边顺从的和可接受的权利，因为上述定义。但两者是等价的。任何组$X（X）$是同构的相反$X^{op}$，与乘法相反的相同集合。因此$X（X）$是顺从的iff$X^{op}$是顺从的。另一方面，$X^{op}$是顺从的iff$X（X）$完全可以接受。）

顺从群理论深入研究.有无数种等效的方式来陈述这个定义亲密而迷人链接到代数、拓扑和分析的各种主题。在这里我只想说几句简单的话。

每个有限群都是顺从的。事实上，有限的群体：这是明显意义上的平均值。

每个阿贝尔群都是顺从的。就我而言，这一点都不明显知道了。如果你以前没有见过，我鼓励你停下来思考一下关于你如何证明这一点的几分钟$\矩阵{Z}$是顺从的：怎么会你定义了一个平均值还是一个度量？

…

根据上面的参数，需要设置度量，以便$n\mathbf{Z}$具有度量值$1/n个$。比如说，所有素数的集合$\mathbf｛Z｝$? 你可以想象它可能有尺寸$0$，自素数越来越稀疏，但这还不太清楚。

“构造”度量的标准方法使用概念Fölner序列.这是一个非破坏性的定义。除此之外，它还包括选择非负责人的片场超滤$\矩阵{N}$-换句话说，在$\矩阵{N}$，在上面第一部分的意义上。

那只是$\矩阵{Z}$.显示这一点每一个阿贝尔群是顺从的通常情况下，似乎可以通过自举的方式来证明$\mathbf｛Z｝$到有限生成的阿贝尔群，从那里到所有阿贝尔群。在有一点我试图发现证据是否可以简化取得了一些进展，多亏了很好MathOverflow的用户.

两个或多个元素上的自由群为不易控制的。真是令人愉快练习来展示这一点。

有些团体的地位众所周知是未知的。这是为了汤普森集团$F类$.关于这个问题的两篇论文去年被判入狱：其中一人声称可以证明$F类$是顺从的，而另一个声称证明事实并非如此。Danny Calegari有一个杰出的博客帖子关于这件事。我们也讨论了一下在咖啡馆.

因此，在第二种情况下，手段的存在是非常实质性的问题。

阿罗定理

到目前为止，我们已经讨论了数字。现在我们要讨论手段结构.给定一组$C类$以及上的一系列组结构$C类$，什么是平均群结构？给定上的一组拓扑$C类$,什么是平均拓扑？

这听起来可能很疯狂。但也有一些这是一个合理的问题。阿罗的定理与总订单有关。

这是描述阿罗定理的标准方法。在一个选举，有一个有限集合$X（X）$选民和有限集$C类$属于候选人。每个投票者在$C类$。结果选举也将是一个全面的秩序$C类$.是否有合理的制度根据投票决定结果？阿罗定理说“不”。这是一个非常强大的“不”，因为“合理”一词的解释是戏剧性的慷慨大方。

当我们定义“合理”时无论是选民之间还是选民与选民之间，都不会对平等做出太多让步候选人。也许男性的选票比女性或政府的选票更重要利用其权力操纵系统，使其受益。但不需要什么应该受到谴责。也许选民是委员会的成员主席有决定性的一票，因此并非所有选民都是平等的。或者也许投票是关于宪法改革的各种选择，该制度优先考虑现状。

你可以找到很多关于阿罗定理的解释，但是下面是一个我以前从未见过，用直截了当的语言。

修复有限集$X（X）$（选民）和$C类$（候选人）。给定一组$A类$, 写$T（A）$对于上的总订单集$A类$.A型意思是或投票制度对于$X（X）$和$C类$是一个函数$$\mu:T（C）^X\到T（C$$满足公理我和ii（ii）如下所示。

写起来很方便$X=\｛1，\ldots，n \｝$，因此元素$T（C）^X=T（C”^n$可以写成$$（\leq_1，\ldots，\leq_n）$$其中每个$\列克_i$是集合中的总订单$C类$的候选人。

订单总数具有以下键属性：when您在上选择总订单$A类$，您还可以在上隐式选择总订单每个子集$A类$对于任何子集$B \子条款A$，在那里是限制地图$T（A）至T（B）$。这使得$T型$变成函子$$T： P（C）^{op}\设置，$$哪里$P（C）$是的功率集$C类$，按包含顺序排列。

第一条公理：

i、。 $\亩$延伸至自然转化$$\开始{对齐}&\stackrel{T（-）^n}{\到}&\\P（C）^{op}&\向下箭头\mu_\bullet设置（&S）\\&\stackrel{T\quad}{\to}&\结束｛对齐｝$$

换句话说，这是一种自然的转变$\mu_\项目符号：T（-）^n\至T$谁的$C类$-组件是$\mu:T（C）^n\到T（C）$。这不难证明可以在大多数这样的扩展。（使用以下事实：的子集$C类$可以扩展到上的总订单$C类$本身。）

但这是怎么回事意思是? 在其传统表述中，这一公理以独立性不相关的备选方案（虽然在我看来，这是一个很棒的名字很难超越西尔维斯特的惯性定律.)假设有三名候选人参加选举：$C={a，b，C\}$.出于某种原因，选举必须重新进行，选民必须相同和相同的候选人。在两次选举之间，候选人$一$和$b条$什么都不做，只是候选人$c（c）$令人发指声明。结果是，在第二次选举中，没有选民改变他们的关于是否$一$比$b条$，但一些选民改变了他们的关于…的意见$c（c）$无关替代方案的独立性表明结果，$一$和$b条$放置在同一个位置订购两次。（候选人$c（c）$是“不相关的替代方案”。）

简而言之：公理说投票制度与限制为候选人的子集。这就是为什么它要做一些事情自然。

有一个典型的自然变换$$\开始{对齐}&\stackrel{T（-）^n}{\到}&\\P（C）^｛op｝&&\向上箭头\增量集（&S）\\&\stackrel{T\quad}{\to}&\结束｛对齐｝$$-对角线。它的组件$\增量_A:T（A）\到T（B）^n$在$A \子结构C类$发送$\T（A）中的leq\$到$T（A）^n中的（\leq，\ldots，\leq）$.

第二条公理：如果每个人都按照相同的顺序排列候选人，那么选举结果也将候选人按顺序排列。即：

ii、。 $\mu_\bullet\circ\Delta=1_T$.

这不是大多数投票系统的公理化阿罗定理的陈述，但除非我错了，它是等价的。

有一些琐碎的手段或投票制度：独裁。对于任何$x\英寸X=\{1，\ldot，n\}$，这是一个平均值$\亩$由提供$$\mu（\leq_1，\ldots，\leq_n）=\leq_x。$$相应的自然转化$\mu_\项目符号$是$x个$第个投影，显然是$\三角洲$.

存在非平凡手段吗？

如果只有两个候选人，是的。例如，选择任意百分比$第页&gt；0$、和宣布第一位候选人为获胜者$\通用电气公司第页$百分比选民的意见。但除此之外，没有：

定理（箭头）让$X（X）$和$C类$是有限集$|X |&gt&nbsp；0$和$|C|&gt&nbsp；2$.然后，对$X（X）$和$C类$是微不足道的。

我把这解释为一个关于投票的定理，这是最常见的解释。但我对此有一些保留意见。

第一个是阿罗定理在某种程度上是，太强大。如果你和街上的人谈论什么是公平投票制度，他们可能会期望所有选民都有平等的发言权候选人受到平等对待。所有这些都不属于阿罗定理。它是定性的，而不是定量的。

现在，这里是有趣的投票理论的数量方面，例如Condorcet的悖论假设有三个候选人，$一$,$b条$和$c（c）$、和三名选民，$1$,$2$和$三$，投票如下：$$\开始{对齐}1:&a&gt；b&gt；c\\2:&b&gt；c&gt；一个\\3:&c&gt；a&gt；b。\结束｛对齐｝$$大多数选民认为$一$在上面$b条$，所以最终结果也应该如此。但是此外，大多数选民认为$b条$在上面$c（c）$大多数选民认为$c（c）$在上面$一$.所以结果应该放$一$在上面$b条$在上面$c（c）$在上面$一$.祖特阿洛斯！显然，唯一公平的结果排名$一$,$b条$和$c（c）$同样，一个不可用的选项：结果必须是总订单。

但这个困难与阿罗定理无关，因为那里的假设不要求任何形式的数字公平；他们不要求大多数人的意见占了上风。

第二个保留意见是，真正的投票系统很少适合假设。

输入是不切实际的：作为一名选民，我从未需要候选人名单上的总顺序。要么我只是在盒子，或者我已经在方框中写数字-但总有选择将一些框留空。在后一种情况下，它是子集这组候选人中的一个。我相信有真实的情况你确实对所有候选人进行了总体排序，但这绝不是唯一的可能。

输出也是不切实际的。在大多数政治选举中，预定数量$k个$的候选人将当选，其余的不会。（经常$k=1$.）所需的只是一种公平的决定方式谁在上面$k个$候选人是。没有必要提出订单关系。

后记：投票系统和丰富的类别

人们对寻找好的投票系统的问题进行了深入的研究。例如，快速浏览揭示了一系列与阿罗有关的不可能性定理：吉巴德-萨特思韦特定理,这个达根-施瓦茨定理,这个霍姆斯特罗姆定理, … . 我对这一切一无所知。但也许会有一些东西通过考虑结构方式获得。

我想如何投票？不是通过强加一个完整的命令。那里可能有几个候选人我想接近榜首，还有一些我什么都不知道，我积极反对并想接近底部。对于一些成对的候选人我对谁更好有自己的看法；对一些人来说，我会说他们差不多；对于一些人来说，我所知不多，无法进行比较。所以我想要是强加一个先决条件。（A）预先订购是反身及物动词关系；它是部分订单，如果$a \leq b \leq a$暗示$a=b$.)

在上述均值或投票制的定义中，我们只使用了一个关键属性总阶数：集合上的总阶数在上产生总阶数每一个子集，以函数的方式。预订单也具有此键属性。所以我们可以替换总阶函子$T型$由预序函子$O（运行）$贯穿始终，并再次询问：

不平凡的手段存在吗？

像往常一样，我不得不说“琐碎”是什么意思。每个非空的都有子集$K\subseteq X公司$（我喜欢将其视为阴谋集团) 中庸$\mu_K:O（C）^n\到O（C）$定义如下。让$（\leq_1，\ldots，\leq_n）\在O（C）^n中$，然后写入$$\leq=\mu_K（\leq_1，\ldots，\leq_n）。$$然后$$k中的a\leqb\quad\text{iff}\quada\leq_kb\quad_text{for-all}\quadk\。$$把这些叫做琐碎的意味着。他们可能不是那个琐碎的：例如，其中$K=X$在各个方面都是公平的，但在很大程度上它很可能将离散（反链）顺序放在候选人，使其毫无用处。

猜想1对于$|C|&gt&nbsp；2$，每个平均值都是微不足道的。

（如果有无穷多$n=|X|$在选民中，有很多指通过在上选择非平凡的过滤器获得$X（X）$; 但我们认为$X（X）$是有限的。）

猜想2猜测1已经解决。

这东西做得很好！

但这仍然不是真正地我多么希望能够投票。我不仅如此希望能够预先安排候选人；我想说怎样许多的比起那个候选人，我更喜欢这个候选人。将我的有序集可视化为哈斯图，我想在边上画出长度。

例如，英国有一个白人最高党称为英国国民党。如果有我要参加的选举中的BNP候选人，我不仅想这样说图底部的候选者：我想指定一个长度$\英菲$到所有的边，一直到下顶点。（我认为如果那样的话可能性是存在的，远右翼政党在选举。大多数人都会对他们产生强烈的反感由投票系统考虑，目前只允许我们忽略）

所以，对于每一对$（a、b）$对于候选人，我指定一个非否定的实数$d（a，b）$，指定我的偏好$一$到$b条$就是说，我把设置$C类$候选人的法律意义上的指标：函数$$d： C\次C\到[0，\infty]$$令人满意的$d（a，a）=0$和$d（a，b）+d（b，c）\geq d（a、c）$.

集合上的度量决定了每个子集上的度量。所以我们可以定义“平均”以通常的方式，模仿总订单的情况。我们可以问再一次：

存在非平凡手段吗？

答案是肯定的！在每一个我能想到的单词的意义。在选举中，每个选民选择一个上的公制$C类$.书写$M（C）$对于上的一组度量$C类$，这给出了一个元素$$M（C）^n中的（d_1，\ldots，d_n）。$$现在定义$d\单位：M（C）$通过$$d（a，b）=\frac{1}{n}（d1（a，b）+\cdots+dn（a，c））。$$还有什么比这更公平的呢？

当然，这有点开玩笑。在真正的选举中，不是每个人成功地输入X一个盒子；因此，有人可能会说，指望每个公民都指定一项法律是太过分了公制。你可以想象候选人选举后的第二天，站在那里说“好吧，选民们已经衡量了我们。现在：谁能成为总统？”

但忽略这一点…

……这里的理论实际上是关于丰富的类别。预订单是在二元序集中丰富的范畴$0&lt；1$.公制空间（在这个广义上）是在有序集合中丰富的范畴$([0,\infty]，\geq）$在这两种情况下，一些单体范畴$\矩阵{V}$已经是固定，每个选民选择一个$\矩阵{V}$-上的类别结构$C类$（作为对象集）。丰富的类别具有关键属性：$\矩阵{V}$-集合上的类别结构决定了$\矩阵{V}$-类别每个子集上的结构。

那么，让我们$\数学函数｛V｝$是一个单体类。修复有限集$X=\{1，\ldot，n \}$（选民）和$C类$（候选人）。

给定一组$A类$，写入$E（A）$的一套$\矩阵{V}$-对象集上的范畴结构$A类$.然后$E类$是函子$$E： P（C）^{op}\设置$$以一种自然的方式。

对角函子$\增量：\mathbf{V}\到\mathbf{V}^n$是松懈的（事实上，严格）单线形，所以归纳出一个函子$\mathbf{V}&ndash；分类\to\mathbf{V}^n&ndash；猫$.A型$\矩阵{V}^n$-集合上的范畴结构$A类$只是一个$n个$-的元组$\矩阵{V}$-上的类别结构$A类$，所以有一个诱导自然转型$$\开始{对齐}&\stackrel{E（-）^n}{\到}&\\P（C）^{op}&\向上箭头\增量集（&S）\\&\stackrel{E\quad}{\to}&\结束｛对齐｝$$A类意思是对于$X（X）$和$C类$是天然的转型$\μ：E（-）^n\到E$这样的话$\μ\ circ\Δ=1_E$.

对于上面的两个例子——序和度量空间——我都使用了按照以下方法构建方法。假设我们有一个松弛的单体函子$$m： \mathbf{V}^n\to\mathbf{V}$$这样的话$m\circ\delta=1_\mathbf{V}$然后，就像函子一样$\三角洲$诱发了自然转化$\三角洲$，函子$米$诱导自然转化$\mu:E（-）^n至E$.功能性给予$\mu\circ\Delta=1_E$：所以$\亩$是一个平均值。

什么时候？$\mathbf{V}=（0&lt；1）$，这样一个$米$是一个滤波器在$X（X）$（就像超滤，但没有公理，即每个子集要么很大，要么小）。例如，每个子集$K\subseteq X公司$确定过滤器$m_K（_K）$：a子集$Y\子集X$较大（即。$m_K（\chi_X）=1$)若（iff）$是\supseteq K$.得出的平均值是“阴谋集团”的平均值$\mu_K（_K）$上述定义。

（使用有限性$X（X）$，您可以显示这些是只有过滤器在$X（X）$但这并不能排除有其他方法的可能性在$X（X）$，不是这样产生的。这是推测1。）

什么时候？$\mathbf｛V｝=[0，\infty]$，这样一个$米$是一个订单预留功能$m： [0，\infty]^n\到[0，\ infty]$令人满意的$$m（x_1，\ldot，x_n）+m（y_1，\ ldot，y_n）\通用电气公司m（x_1+y_1，\ldot，x_n+y_n）$$和$m（x，\ldots，x）=x$.得出的平均值$\亩$由提供$$\mu（d_1，\ldots，d_n）=d$$哪里$$d（a，b）=m$$($a、 b\以C表示$). 其中包括$米$s是不等式为相等，它们正是通常实数中的加权平均值感觉：形式的功能$$m： （x_1，\ldots，x_n）\mapsto p_1 x_1+\cdots+p_n x_n$$哪里$p_i\geq 0$和$\sum_i p_i=1$.以及其中这些是标准平均值，具有$p_i=1/n$这就形成了公平的投票制度$\亩$如上所述。

我不知道你会如何取集合、向量空间或其他流行的丰富类别的对象$\矩阵{V}$.