n类咖啡馆

背景让$A=\｛A_1，\ldots，A_m\｝$是有限的公制空间。这个相似矩阵 $Z_A（Z _ A）$属于$A类$是$m\倍m$矩阵$（e^{-d（a_i，a_j）}）{i，j}$.如果$Z_A（Z _ A）$是可逆的，我们定义量级（或基数）$A类$是所有的总和$平方米$条目$Z_A^{-1}$.

（有已知成为相似矩阵不为可逆的。震级可以被合理地定义为弱者假设而非可逆性$Z_A（Z _ A）$; 但它并不总是被定义的。）

有限度量空间$A类$是正定的如果$Z_A（Z _ A）$是肯定的明确：也就是说，$\mathbf{c}^t Z_A\mathbf}\geq 0$为所有人$\mathbf{c}\in\矩阵{R}^m$，仅当$\mathbf{c}=\tathbf{0}$.阳性由于各种原因，确定性是一个重要属性：参见在这里,在这里,在这里或此处（第12-14、23-25页）. 本质上：度量空间的大小可以表现为奇怪的方式，但如果限制为正定空格，则不会。积极的一面确定空间是“非奇怪”的空间。

特别是，由于正定矩阵是可逆的，所以任何正定矩阵定空间有一个明确的量值。

关于$\矩阵{R}^n$。对于$n\in\mathbb{n}$和$p\in[1，\infty）$，让$\单元格p^n$表示$\矩阵{R}^n$配备公制来自$\ell_p公司$-规范$\垂直\cdot\Vert_p$，作为度量空间：因此，$$d（\mathbf{a}，\mathbf2{b}）=\Vert\mathbf}b}-\mathbf{a}\Vert_p&nbsp&nbsp；其中&nbsp；\垂直\mathbf{x}\Vert_p=\左（\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right）^{1/p}。$$“出租车”指标($p=1$)相处得很好震级（最终是因为它来自于类别）。我早就知道$\单元格_1^n$是正定的。特别是，每个有限子空间$\单元格_1^n$定义明确。

但当我在研讨会上这么说时，没有人在意！每个人都想知道的是欧几里德度量是否也是如此，$p=2$。如果这是真的对于$p=1$和$p=2$，关于$第1页第2页$？

这个问题证明了$\单元格p^n$对所有人来说都是肯定的$n\in\mathbb{n}$和$第[1，2]页$.

（有充分的理由相信这是错误的，当$第二页$.)

接下来$\单元格p^n$定义明确震级。特别地：

的每个有限子空间$\矩阵{R}^n$，使用欧几里德度量定义明确的震级.

因此，我输了对西蒙·威勒顿的小额赌注.

解决方案这里有一个4步的证明大纲。如果你想要更多信息，您可以阅读详细版本我写的。（一些）分析家会将其中的大部分视为标准。我认为证明中最难或最不标准的部分是由于马克·梅克斯。接下来我会提到其他主要贡献者沿着。告诉我我是不是忘了你！

第一步：找到与分析的联系结果是这个自20世纪20年代或30年代以来，人们一直在分析中研究问题的类型。钥匙概念是“正定函数”。David Corfield和叶梦·崔是第一个指出这一点的人。当然，直到你知道术语你不知道该查什么，所以这类信息至关重要。

A函数$f： \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$是正定的如果用于全部的$m\in\mathbb{N}$和$\mathbf{x}^1，\ldot，\mathbf}x}^m\in\矩阵{R}^n$，的$m\倍m$矩阵$（f（\mathbf{x}^i-\mathbf{x}^j））{i，j}（j}）$是肯定的半成品确定（即，$\和{i，j=1}^mcif（\mathbf{x}^i-\mathbf{x}^j）cj\geq 0$为所有人$\mathbf{c}\in\矩阵{R}^m$). 它是严格正定如果这个矩阵是积极的一定的.

正如你所见，这里有一个术语灾难。分析师朋友告诉我，许多分析家称一个实数为“正”$\geq 0$.（我认为只有法国人这样做了。）以上的术语大概是从这一传统中来的，到目前为止，这些术语已经根深蒂固。我会打电话给实数积极的如果是的话$\大于0$.

总之，在这种语言中，问题是：

问题，版本2:  显示每个$n\in（英寸）\mathbb{N}$和$p\在[1，2]中$，实值函数$\mathbf{x}\mapstoe ^｛-\Vert\mathbf｛x｝\Vert_p｝$在$\矩阵{R}^n$是严格正定的。

第二步：利用傅里叶变换的能量 我们想证明某些事物是严格正定的。以下内容足够的条件将为我们做到这一点：

让$f： \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$是连续的、有界的、可积的功能。如果傅里叶变换$（f）$那么到处都是积极的$（f）$是严格正定。

这一结果似乎是霍尔格·温德兰（Holger Wendland）在一篇论文中得出的打开正定函数和径向函数的光滑性.大卫·斯派尔也发现了这方面的大部分证据(1,2). 这与谐波分析中众所周知的结果有关，博克纳定理, 但那是关于不-严格肯定确定性，这是大多数人所关注的历史上。

因此，问题归结为：

问题，版本3： 为显示$n\in\mathbb{n}$和$p\in[1，2]$，函数$\mathbf{x}\mapstoe^{-\Vert\mathbf}x}\Vert_p}$在$\矩阵{R}^n$到处都有正傅里叶变换。

如果你只关心欧几里德度量，你可以在末尾停止阅读对于傅里叶变换$\mathbf{x}\mapstoe^{-\Vert\mathbf{x}\Vert_2}$可以明确计算（Stein和Weiss，欧氏空间上的傅里叶分析简介, 第6页），到处都是积极的。

第3步：拧松$\单元格p$-规范 这一步和下一步是由于马克·梅克斯, 通过数学溢出.部分论点来自书中凸几何中的傅里叶分析通过亚历山大·科尔多布斯基.

我们必须考虑函数的傅里叶变换$$\mathbf{x}\地图e^{-\Vert\mathbf{x}\Vert_p}=e^{-（|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p）^{1/p}}$$在$\矩阵{R}^n$如果是这样的话$（1/p）$如果没有动力，生活就会更简单，因为我们只有指数的乘积。它是这里-但在某种意义上，这一步展示了如何实现消失。

我们将看到函数$$\开始{矩阵}（0，\infty）和\到&（0，\ infty\\\tau&\mapsto&e^{-\tau^{1/p}}\结束{矩阵}$$可以用更方便的方式重新表达。事实上，它是“无限的”形式函数的非负系数线性组合$\τ\mapsto e ^{-t\tau}$也就是说，存在一个有限的非负测度$\亩$在$（0，\infty）$这样所有人$\套\gt 0$,$$e^{-\tau^{1/p}}=\int_0^\输入e^{-t\tau}d\mu（t）。$$这个$（1/p）$权力消失了！

对于cognoscenti，这是通过观察函数$\陶\映射到e^{-\tau^{1/p}}$是完全单调,然后应用伯恩斯坦定理.

（科尔多布斯基在书中称之为“著名的伯恩斯坦定理”任何人都会把一个定理描述为“著名的”，我想会有一个派对荣誉，用彩带和气球。）

第四步：把它们放在一起 早些时候，我们将问题简化为：$n\in\mathbb{n}$和$第页\在[1,2]中$，函数的傅里叶变换$\mathbf{x}\mapstoe^{-\Vert\mathbf{x}\Vert_p}$在$\矩阵{R}^n$到处都是积极的。

上一步显示了如何重新表达$e^{-\Vert\mathbf{x}\Vert_p}$以更方便的方式。

现在：计算傅里叶变换$\mathbf｛x｝\mapstoe^{-\Vert\mathbf{x}\Vert_p}$通过使用这种重新表达。关注您的鼻子，问题归结为：

问题，版本4： 显示函数的傅里叶变换$z\映射到^{-|z|^p}$在$\mathbb{R}$到处都是积极的。

我们有傅里叶变换的公式吗$z\映射到^{-|z|^p}$? 不，显然不是，除非$p=1$或$p=2$但是科尔多布斯基书中的引理2.27告诉我们，它确实到处都是积极的，这就是我们需要知道的全部。