n类咖啡馆

关于：本周数学物理发现（第282周）

关于：本周数学物理发现（第282周）

在以“你可能认为它是一个三维子空间…”开头的行中，它后来说

“其中[a]括号至少出现一次。”

关于：本周数学物理发现（第282周）

关于：本周数学物理发现（第282周）

（嗯，这篇文章中没有nLab的链接，我怎么了？）

我克服了：

$n个$-辛流形.

我的术语（见末尾的讨论）。稍微关闭：

0-辛流形=辛流形

1-辛流形=泊松流形

2-辛流形=Courant代数体

关于：本周数学物理发现（第282周）

乌尔斯写道：

我渴望完全理解这种模式，并将其与辛群胚和辛群胚的模式相适应$\英菲$-群胚。

我也是！我的学生克里斯·罗杰斯（Chris Rogers）似乎正在成为分类经典力学的专家，他很快就会就这个主题发表一篇新论文，这可能会让你满意。

以下人员的在场Yael Fregier公司UCR似乎正在加速我们的进步！我必须写一些关于我们所学内容的本周调查结果。

关于：本周数学物理发现（第282周）

在第212周我说：

这个想法的核心是：如果$L（左）$是李群的李代数$G公司$,$U和L$由左变量微分算子组成$G公司$还有一张地图$左上至左下$将任何微分算子发送到其“符号”。这是向量空间的同构，甚至是余代数的同构。

这只是证据的草图，但如果你知道符号微分算子。$U和L$由李群上的左变微分算子组成$G公司$，同时$S L系列$由它们的符号组成。$L（左）$它本身由上的一阶左变微分算子组成$G公司$!

真正的问题是，与PBW定理的普通教科书证明不同，后者涉及到选择有序基$x _ i$属于$L（左）$并编写$U和L$作为一种独特的线性组合元素的形式$x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}$使用的特殊情况菱形引理，符号映射显然是基础独立的！所以，我们得到一个规范的同构。

这种证明适用于有限维实李代数或复李代数，尽管这种规范同构的存在可能是完全普遍的。

关于：本周数学物理发现（第282周）

谢谢，大卫！是的，在经历了一场严格的偷懒之后，我的精神又回来了。我修正了你指出的错误，并添加了你关于第一类有符号与无符号斯特林数的评论。

关于“逆三角矩阵”的所有内容可能都与Möbius反演或其某些推广有关，所以在这两者之间的关系中可能还有更多需要理解的地方$Assoc公司$,$通信$以及两种斯特林数。

关于：本周数学物理发现（第282周）

谢谢你，詹姆斯，我很高兴你喜欢《282周》。你——或者这里的任何人——知道以前有没有人写过斯特灵数在轻歌剧《Assoc》过滤中的作用吗？我哪儿都没见过。

我认为ab+ba生成的子域的结构是一个公开的问题。

以下是我所知道的，来自第192周:

人们还说：要理解Jordan代数，请从结合代数，看看你能用1和操作

X o Y=XY+YX

这看起来很相似；唯一的区别是一个符号！但它是很难找到此操作必须满足的所有身份。实际上，如果你不介意的话，我想我会换成更常见的使用的归一化

X o Y=（XY+YX）/2

其中两个身份是显而易见的：

1 o X=X

X o Y=Y o X

下一个不太明显：

X o（（X o X）o Y）=（X o X）o（X o Y）

在这一点上，帕斯科尔·乔丹放弃了寻找更多，并制作了这些他对我们现在称之为“乔丹代数”的定义：

12） Pascual Jordan，Ueber eine Klasse nichtassociator超复杂纳克尔·阿尔盖布伦。格式。威斯。戈廷根（1932），569-575。

他在思考量子理论的基础时写下了这篇论文，因为希尔伯特空间上的有界自共轭算子表示可观察到的，它们在乘积ab+ba下闭合。

后来，他与尤金·维格纳和约翰·冯·诺依曼一起将“形式真实”的有限维Jordan代数，意思是只有当每一项都为零时，XoX形式的项之和才为零。这个条件在量子力学中是合理的，因为可以观察到比如X和X是“积极的”。这也导致了一个很好的分类，我在“第162周".

有趣的是，这些形式上真实的Jordan代数之一没有位于结合代数中：“例外的Jordan代数”，它由所有带有八角项的3x3 hermitian矩阵组成。

这个代数有很多好的性质，它起着一个神秘的作用在弦论和其他一些物理理论中的作用。这是我对Jordan代数感兴趣的主要原因，但我已经说过很多了关于这一点；现在我想专注于其他事情。

即：乔丹找到所有身份了吗？

更准确地说：如果我们设置X o Y=（XY+YX）/2，所有恒等式在每一个结合代数中都可以通过这种运算得到满足从上述3中可以看出，这个操作在每个插槽中都是线性的？

这一直是一个悬而未决的问题，直到1966年查尔斯·格伦尼发现答案是不.

这有点像塔斯基的“高中代数问题”，其中塔克西问所有涉及加法、乘法的恒等式自然数为正数的指数运算学习我们在高中学过的。这也是答案是不-请参阅“第172周"

了解详细信息。当我听说这件事时，我真的很震惊！格伦尼的结果不那么令人震惊，因为Jordan代数更少很熟悉…乔丹的身份已经很奇怪了，所以也许我们应该会有其他奇怪的身份。

借助于“Jordan三重产品”

{X，Y，Z}=（X o Y）o Z+（Y o Z）o X-（Z o X）o Y

它在这里：

2{{Y，{X，Z，X}，Y}，Z，XoY}-{Y，}X，{Z，XoY，Z}，X}Y}-2{XoY，Z，{X，{Y，Z

呸！这让你想知道格伦尼是怎么找到这个的，为什么。

我不知道全部情况，我知道，但格伦尼是著名代数学家、Jordan代数专家Nathan Jacobson。我是当然，这很好地解释了这一点。他在这里发表了他的研究结果：

13） C.M.Glennie，一些在特殊约旦有效的身份代数，但不是所有的Jordan代数，Pacific J.Math。16(1966), 47-59.

这个身份是唯一的额外身份吗？

嗯，恐怕这篇论文的标题泄露了这一点：除了上述8级身份，格伦尼也发现了另一个。事实上事实证明无限地许多无法派生的恒等式使用Jordan代数运算。

据我所知，整个故事是在20世纪80年代才被发现的。让我引用默里·布雷纳的话。如果你知道我们追求的身份被称为“s-身份”，因为它们包含“特殊的”Jordan代数：那些来自结合代数。下面是：

埃菲姆·泽尔马诺夫（Efim Zelmanov）在1994年苏黎世数学家在伯恩赛德问题上的工作在群论中。在此之前，他已经解决了一些最重要的Jordan代数理论中的开放问题。特别是他证明了Glennie的身份在以下意义：如果G是Glennie生成的T理想集X上自由Jordan代数FJ（X）中的恒等式（其中X具有至少3个元素），则所有S-恒等式的理想S（X）为准不可逆模G（其齐次分量为零模G）[……]粗略地说，这意味着所有其他s恒等式可以通过代入Glennie得到恒等式，生成理想，提取n次根，并进行总结。

这有点技术性，但基本上意味着您需要扩展您的在格伦尼的身份给其他人留下深刻印象之前，我们有很多技巧。有关详细信息，请参见定理6.7：

14） Kevin McCrimmon，二次Jordan的Zelmanov素定理代数，Jour。藻类。76 (1982), 297-326.

我从布雷姆纳的一次演讲中得到了上面的一句话：

15） Murray Bremner，使用线性代数发现定义Lie和Jordan代数的恒等式，可在http://math.usask.ca/~bremner/research/coloquia/calgarynew.pdf

现在，Jordan三重产品

{X，Y，Z}=（X o Y）o Z+（Y o Z）o X-（Z o X）o Y

乍一看，可能和格伦尼的身份一样奇怪，但它不是！要理解这一点，思考“歌剧”是有帮助的。

等等…

关于：本周数学物理发现（第282周）

我想托比你确实在约翰的陈述中发现了一个错误，但我不同意你对这个错误的解释。

对于我们确实想要乘以元素的论点$\hbar\以A表示$是不一对一。

我们想考虑$A=A_0[[\hbar]]$作为幂级数的环$\乙型肝炎病毒$接地环上方$A_0（0）$.

在该环中，$\乙型肝炎病毒$不可逆。当然，当你看环同态时$A_0\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$具有普通内核的，则这些$\乙型肝炎病毒$到中的可逆元素$\mathbb{R}$但这真的是一个不同的问题。

但如果我们真的假设$A类$是幂级数环$\乙型肝炎病毒$，然后约翰需要的论点终于通过了：然后它确实从

$$\hbar\{x，y\}=-\hbar\}y，x\}$$

在里面$A=A_0[[\hbar]]$那个

$$\{x，y\}=-\{y，x\}$$

在里面$A_0（0）$.

关于：本周数学物理发现（第282周）

托比写道：

在我看来，这件事没有“如果”；它是总是在现实中是正确的。

是的，但我不是在谈论现实，普朗克常数$小时$是一个固定的非零数字。我说的是理论$小时$是一个变量，出现在我们的方程中。

从理论上讲，假装我们有自由调整$小时$，并接受限制$h至0$得到经典力学。但这只是一个骗局。实际上，我们能做的是使其他量——具有作用单位的量——非常大的.

例如，假设我们使用量子力学来研究两个粒子通过平方反比力定律相互作用，我们想看看会发生什么$h至0$然后，我们应该做的是以适当的方式放大所有位置、速度和质量-确保所有带有作用单位的量乘以$k个$，并出租$k\到\输入$.

例如，我们可以先看一个氢原子，然后看地球围绕太阳转。

现在问题来了。如果$小时$是可逆的，那么你所说的一切$空调A$是真的，但还有更多：$空调A$是微不足道的！

对，这就是为什么我小心翼翼地避免这么说$小时$是可逆的-甚至是一个数字，一旦我开始滚动。相反，我说我们有一个结合代数$A类$包含中心元素$小时$具有乘以的属性$小时$是一对一的，并且

$$xy-yx=h\{x，y\}$$

对于某些元素$\{x，y\}$.

通常我们所做的是假设代数$A类$实际上是一个代数$\mathbb{C}[h]$，或者可能在中的解析函数环上$小时$，其中$小时$是一些变量。这确保了$小时$是一对一的，但是$小时$是不可逆的。

这相当于假设我们的公式——$A类$-是多项式或解析函数$小时$.

而这又相当于假设实际上当我们用行动单位来衡量所有的量时，我们的物理问题的答案表现得非常好。

关于：本周数学物理发现（第282周）

劳伦特写道：

我看到了一个关于PBW的好参考的问题，它给出了两个之间的余代数同构$U（L）$和$S（左）$我的“圣经”是米尔诺·穆尔，关于Hopf代数的结构，定理5.16。

我看过那张经典的报纸，但我没有把它放在枕头下面。是吉姆·斯塔谢夫写的之间的同构$U（L）$和$S（左）$是“更容易到达联盟那边”。你（或任何人）能告诉我怎么做到这一点吗？

如果你喜欢李群、微分算子和分布，那么詹姆斯·多兰描述的方法是很容易实现的——但也必须有一种纯粹的（协同）代数方法，它可以在其他领域处理李代数。也许这只是对詹姆斯想法的一种更具代数意义的重新表述？或者可能是基于这样的想法$U（L）$就像一个变形量化$S（左）$?

现在有一个问题要问你：在操作过的Assoc中，空间$关联（_n）$具有对称组的操作$S_n（_n）$; 它实际上是正则表示。同样，$我（^k）$是一个$S_n（_n）$-模块。我知道分解的很好描述$我^1$在不规则表示中，它是琐碎表示的补充$我^{n-1}$Lie子模，例如Young tableaux（具有“主索引”的那些）$\等于1 \pmod n$). 你知道关于$我（^k）$，或$我^k/I^{k+1}$，对于的其他值$k个$?

不，但这听起来像是一个有趣的问题——我相信斯特林数字是一个巨大的暗示。

我不知道“主要指数”是什么意思，但这可能也是一个线索。

对称群的自然出现（可约）表示$S_n（_n）$维数等于$n-k个$周期？此表示应为$关联（n）\cap I^k/I^{k+1}$-洛朗问题的答案。

取直接总和，其中$k个$来自$0$到$n-1个$，我们应该得到$S_n（_n）$.

当然$S_n（_n）$是来自$n个$-方框Young图，每个图的多重性等于其尺寸。

所以，我猜答案是：来自$n个$-方框Young图具有$n-k个$排，每一个的多重性都等于它的维数。

我猜测的一个原因是，这种Young图与置换的共轭类是1-1对应的$n-k个$循环。

我很容易犯一些错误，比如搞混了$k个$和$n-k个$或混淆列和行。