n类咖啡馆

我们是不是在秘密地说，只有一种方法可以将有限维实向量空间变成紧凑的Hausdorff拓扑$\mathbb{R}$-模块，其中$\mathbb{R}$给定了它的离散拓扑吗？

这很奇怪但很有趣！

我认为你无法得到有限维向量空间$\mathbb{R}$紧凑型Hausdorff（除了$\{0\}$)! 紧凑型Hausdorff是这样的

$$霍姆（V，S^1）$$

通过蓬特里亚金二元性，其中$五$是一个离散向量空间。最小的非零示例是$V=\mathbb{R}$，并且已经$Hom（\mathbb{R}，S^1）$具有不可数维的向量空间$\mathbb{R}$.

很难或不可能想象这个紧凑的空间，但它是连续统乘积中的一个封闭子空间$序号^1$:

$$Hom（\mathbb{R}，S^1）\hookrightarrow\prod_{R\in\mathbb{R}}S^1$$

似乎为了使向量空间紧凑，向量空间结构必须在多个（连续多个）维度上“涂抹”。

顺便说一句，我以为我听到的是迈克·巴尔（Mike Barr）说了你提到的关于蓬特里亚金二元性的话，但他当时是在和别人说话，而不是我，我的记忆可能在耍花招。我们应该查一下这些东西。

托德写道：

我认为你无法得到有限维向量空间$\mathbb{R}$紧凑型Hausdorff（除了$\{0\}$)! 紧凑型Hausdorff是这样的

$$霍姆（V，S^1）$$

通过Pontryagin对偶，其中$五$是一个离散向量空间。最小的非零示例是$V=\mathbb{R}$，并且已经$Hom（\mathbb｛R｝，S^1）$具有不可数维的向量空间$\mathbb{R}$.

很难或不可能想象这个紧凑的空间，但它是连续统乘积中的一个封闭子空间$序号^1$:

$$Hom（\mathbb{R}，S^1）\hookrightarrow\prod_{R\in\mathbb{R}}S^1$$

哦，对了，我明白了。

我想买一个产品就足够了$第页$在哈默尔基础上$\mathbb{R}$作为向量空间$\mathbb{Q}$这大大简化了事情，并使这个小工具更容易可视化。

这个小工具与玻尔紧化属于$\mathbb{R}$? 它闻起来有点相似……但玻尔的紧凑化取决于$\mathbb{R}$，通常被认为不是离散的。

关于玻尔紧化离散的拓扑群$\mathbb{R}$？

我想，在哈默尔基础上取r的乘积就足够了$\mathbb{R}$作为向量空间$\mathbb{Q}$这大大简化了事情，并使这个小工具更容易可视化。

的确如此，因为正如我们从凯文·巴扎德（Kevin Buzzard）的那封有趣的信（第273周结束时转载）中所知$\mathbb{Q}$是弱小的群体$\mathbb｛A｝/\mathbb｛Q｝$，阿黛勒集团$\mathbb{Q}$除以其对角嵌入子群$\mathbb{Q}$所以离散群的Pontryagin对偶$\mathbb{R}$只是连续统的笛卡尔乘积$\mathbb{A}/\mathbb}Q}$.

恐怕我对玻尔压缩不太了解。但是的，这个离散的对偶$\mathbb{R}$是通常的玻尔紧化吗$\mathbb{R}$。如果$G公司$是任何（假设局部紧Hausdorff）拓扑阿贝尔群，并且$G’$是庞特里亚金对偶的吗$玻尔（G）$作为$（G'，dis）'$括号内的内容是$G’$通过离散拓扑重新极化。

我只是想把这个写出来。让我们定义一下$玻尔（G）$正如我们在上一段中所做的那样。首先，我们得到地图

$$i： 到玻尔（G）$$

只需应用逆变函子$\高（-，S^1）$到连续同态

$$id：（G'，dis）\到G'$$

（如果$G公司$是局部紧Hausdorff，我们有一个正则同构$G\cong\hom（G'，S^1）$). 这张地图$i： 到玻尔（G）$是epi，因为$id：（G'，dis）\到G'$是单声道和函子

$$\hom（-，S^1）：LCHAb^｛op｝\到LCHAb$$

是等价的。

假设给定一个连续同态$f： G至K$紧阿贝尔群$K（K）$.然后$K’$是离散的，所以

$$f'：K'至G'$$

因素唯一通过$id：（G'，dis）\到G'$即。，$f’$等于形式的组合

$$K'\stackrel{\phi}{\to}（G'，dis）\stackrel{id}{\toS}G'$$

现在通过蓬特里亚金二元性，$f=f''$等于这个复合物的对偶，即

$$玻尔（G）$$

确实如此$\φ'$是我们想要的对您链接到的维基百科文章中提到的玻尔压缩所需的通用属性的扩展。这是唯一的此类扩展，因为$i： 到玻尔（G）$是epi。

我认为即使我们放弃这样的假设，所有这些都没有太大变化$G公司$是本地紧凑型豪斯多夫，但我现在有点累，现在不想去看看。

约翰写道：

我想买一个产品就足够了$第页$在哈默尔基础上$\mathbb{R}$作为向量空间$\mathbb{Q}$.

我不再相信这一点。最近，我倾向于半夜醒来，对当天发生的事情多想些毫无意义的想法；有时我会想到数学，这时我会注意到我在这个博客上过于仓促的猜测中犯下的错误。

我一直在想一个群同态$$f:\mathbb{R}\到S^1$$是由其哈默尔基础上的值决定的，即$\mathbb{R}$作为上的不可数维向量空间$\mathbb{Q}$。我仍然认为对于群同态来说是这样的$$f： \mathbb{R}\到\mathbb{R}$$但问题是$$f:\mathbb{R}\到S^1$$是那个吗$序号^1$有扭转：如果我们知道$f（x）$对一些人来说$x\in\mathbb{R}$，我们知道$f（2倍）$但不是，比如说，$f（x/2）$，因为这可能是两个一致的选择。

因此，要确定$（f）$我认为我们需要知道它的价值，而不是基于哈默尔$\mathbb{R}$上的向量空间$\mathbb{Q}$，但在一组发电机上$\mathbb{R}$作为一个$\矩阵{Z}$-模块。（对。）我认为我们可以通过哈默尔基础得到这个结果$x_\α$然后使用数字$x_\α/n$对于$n=1,2，。。。$或者，如果我们希望“更高效”，我们可以使用$x_\alpha/p^n$对于$第页$素数和$n=0,1,2，。。。。$

以下是迈克尔·巴尔的相关论文：

• 迈克尔·巴尔，拓扑阿贝尔群的对偶性.

他构造了一类包含LCA群范畴的拓扑阿贝尔群，它是以圆为对偶对象的*-自治的。

这是他通过电子邮件发给我的一条评论。他允许我在此处发布：

我看了你提到的网站。它似乎已经把联盟抛在了后面。关于$检查^op$（假设这与字段的向量空间相反）。如果场是有限的，那么它就是紧向量空间。更一般地说，它由“线性紧”向量空间组成。Lefschetz可能在80年前定义了它们，以试图使空间的上同调理论对偶于同调。该定义是闭线性子空间上的有限交性质，但其特征是域的笛卡尔幂。这假设字段是离散的。紧凑性不起作用，因为即使在无限域上的一维空间中也不可能存在紧凑拓扑。

你可以继续构建一个*-自治范畴，遵循我为阿贝尔群所走的相同路径。您可以将局部线性紧空间定义为线性紧nbd为0的空间，但向量空间的结构太多，以至于它只是离散空间和线性紧空间的乘积。（必须知道局部紧阿贝尔群是紧群、离散群和有限维实向量空间的乘积。）采用相同的策略，即从可以嵌入局部线性紧空间乘积的空间开始，然后是具有给定线性泛函集的最大拓扑，你得到了一个自治范畴，它扩展了局部线性紧范畴的对偶性。

还有人应该解释，拟簇是在乘积和子对象（但不是同态映象）下闭合的簇的子范畴。在以下情况下$顶部^op$，它实际上是一个以单个Horn子句为特征的子变体。毫不奇怪，所有的变化都是框架。

最后一句话是针对这条评论作者：David Corfield。