联合思维| n类咖啡馆

2008年11月27日

协同思维

由David Corfield发布

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遇到彼得·弗雷德（Peter Freyd）的coalebraic特征化最近我花了一些时间试图理解余代数。其中代数对于内函子 $F： C\至C$ 是一个对象 $A类$ 属于 $C类$ 和箭头一起 $\α：F（A）至A$ ，一个联合布拉格对于 $F类$ 需要对象 $A类$ 带箭头 $\β：A到F（A）$ .

我找到了一条在我看来很有趣的路。首先我偶然发现了巴特·雅各布的书余代数导论：状态和观测的数学.这是我极力推荐的。让我给你一些金块：

代数的二重性形成了灵感和对立的源泉：代数和余代数之间存在着“仇恨-爱”的关系。（第五页）

如前所述，编程语言最终只包含一个余代数和一个代数。程序是从正在使用的编程语言中产生的代数元素（即所谓的初始代数）。每一种语言结构都对应于特定的动态，通过一个coalgebra捕获。因此，程序的行为由作用于计算机状态空间的余代数来描述。（第五页）

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代数和余代数之间有许多相似之处（或二重性），它们通常用作指导原则。但人们应该记住，代数和余代数之间也有显著差异。例如，在计算机科学环境中，代数主要用于处理有限数据元素，例如有限列表或树，使用归纳法作为主要定义和证明原则。余代数的一个关键特性是它处理潜在的无限数据元素，并使用适当的基于状态的概念和技术来处理这些对象。因此，代数是关于构造的，而余代数是关于解构的——被理解为观察和修正。（第47页）

经验法则是：数据类型是代数，基于状态的系统是余代数。但这并不总是给出明确的区分。例如，堆栈是数据类型还是有状态？然而，在许多情况下，这个经验法则是有效的：自然数是代数（正如我们即将看到的），机器是余代数。事实上，后者有一种可以观察和修改的状态。（第47-8页）

现在，正如初始代数是数学的重要组成部分一样，余代数的一个关键属性是终结性。

初始代数是特殊的，就像最后的余代数一样。初始代数（在集合中）可以被构建为所谓的项模型：它们包含所有可以从操作本身构建的东西，仅此而已。类似地，我们看到最后的余代数由仅用于观察。（第48页）

如果函子有初始代数或最终余代数，那么它与函子下的图像同构。实际上，初始代数就像函子的最小不动点，而最终余代数就像最大不动点。

取函子 $F（X）=1+A\乘以X$ ，对于固定集 $A类$ .为了寻找最小的固定点，我们尽可能少地输入。因此，我们从空集合开始构建，将任何现有的列表集转换为一个新集合，其中包括空列表和通过添加元素 $A类$ 到旧列表中。所有有限列表 $A类$ 元素是以这种方式生成的，而不是其他方式，因此这些列表构成了初始代数的元素 $F类$ 。但较大的设置由 $F类$ 即 $A类$ -流或有限和无限列表 $A类$ 元素。这实际上是最后一个联合体。

Coalgebras是关于观察的。我们可以考虑 $F类$ 观察一个实体是否包含某种东西 $A类$ -是否可检测，如果可检测 $A类$ 它会检测。观察到一些它会改变它的东西。最后的联合体包含了你可能观察到的行为的所有可能结果。你还有列表元素吗？如果没有，我们有一个有限的列表。如果总是是，我们有一个无限列表。没有其他可以检测到的行为。

现在，关于最大化的讨论让我想起了我的博士生导师唐纳德·吉利斯（Donald Gillies）编辑的一本书中的一章，书名为数学革命在《一次失败的恢复》中，赫伯特·布雷格（Herbert Breger）认为，希尔伯特将他的数学风格作为既定规范，实际上这是一种非常新颖的处理方式。显然，Finsler（以Finsler几何学闻名）推广了一种古老的数学风格，通过编写系统满足的属性列表来捕获被视为已经存在的系统，从而使系统相对于属性而言是最大的。

当谈到集合时，芬斯勒将集合系统定义为相对于某些属性而言最大的集合，而不是通过控制集合的结构、从空集合和各种结构自下而上地构建集合来担心集合理论悖论。布雷格告诉我们，到1928年，芬斯勒的方法被彻底误解了，莱因霍德·贝尔（Reinhold Baer）在一篇四页纸的论文中以不一致为由驳回了芬斯勒的集合理论。Baer证明了任何满足Finsler公理的系统都可以被推广，因此不存在最大的这样的系统。但在这样做时，他使用了与芬斯勒不同的集合形成规则。

对Zermelo、Fraenkel、Baer和其他人来说，确定属性的概念与集合的概念密不可分，其基本哲学是形成良好的定义创建对象。

芬斯勒将面临一场孤独的战斗，我们听说他仍在1969年，即他去世的前一年，写着连续体假说如何在他的集合论中仍然是开放的，在他所谓的“经典数学”中。被忽视的芬斯勒甚至没有维基百科条目，而MacTutor历史尽可能简短。

但是，没有必要为芬斯勒感到难过，因为他的想法或类似的想法后来已经初见端倪。在他的不成立集合，彼得阿克泽尔描述了发展集合论的一系列方法，该集合论不符合基础扎实的条件，即成员链必须是有限的。

如果如芬斯勒所说，这是“经典数学”，那么Aczel受到计算机科学的启发可能很奇怪：

我对非基础完备集概念的最初兴趣来源于对罗宾·米尔纳（Robin Milner）的著作的阅读，该著作与他对并发过程数学理论的发展有关。（第xix页）

另一方面，也许我们可以说，计算机科学家正在处理已经存在的系统——他们面前正在运行的程序计算机。

当然，我们在Aczel的书中听到了最大化的声音：

因此，在自然数公理系统的情况下，极值公理是数学归纳的原理，这是一个最小化公理，因为它表示在保持其他公理的真理的同时，不能从自然数域中减去任何对象。另一方面，欧几里德几何和实数的公理系统涉及完备性公理。这些是最大化公理；也就是说，它们表示，在保持其他公理的真理的同时，对象的领域不能扩大。（第106页）

Aczel提出了自己的反基础公理AFA，并将其与其他类似公理进行了讨论公理包括FAFA（芬斯勒）和SAFA（达娜·斯科特）。他注意到

令人惊讶的是，这一“成功”花了50多年的时间才实现，而Fraenkel只等了几年。值得注意的是，芬斯勒公理系统使用了集合同构的概念，这与Mirimanoff引入的概念不同。如果他使用了米里马诺夫的概念，那么由此产生的反基础公理将是我所称的斯科特的AFA。（第107页）

但这与余代数有什么关系呢？有一个项目叫做代数集合论.在他的介绍Steve Awodey写到：

AST中作为起点的新见解是，集合论模型实际上是一个适当提出的代数理论的代数，因此许多熟悉的集合论条件（如基础良好）与熟悉的代数条件（如自由）有关。

那么联盟呢？好吧，考虑从集合类类别到自身的函子，它发送一个类 $A类$ 到的子类 $A类$ 它们是集合。必须作出这一限制，否则将没有固定点。现在，这个函子的初始代数是集合类，最后的余代数是非良基集合类。这里有一篇很好的文章是Rutten和Turi的最后语义学的基础：非标准集，度量空间，偏序

所以，现在我想知道，如果我们遵循芬斯勒的理论，选择一种更为统一的数学方法，我们会有什么可能。数学中有很多代数思维，你最好去看看汤姆·伦斯特的余代数拓扑例如，包括严格的类别 $\英菲$ -范畴作为有限乘积范畴上增函数的余代数。

然后巴甫洛维奇和埃斯卡多告诉我们共导形式的微积分:

巧合通常被视为实现无限对象的一种方式。由于实数是典型的无限对象，所以当微积分以适当的方式表示时，它会渗透到共性推理中，这可能并不奇怪。令人惊讶的是，最近在计算机科学背景下发展起来的数学技术似乎对一些基本的微积分方法有了新的认识。我们介绍了一种初等微积分的共导形式化，它可以用作符号计算的工具，面向计算机代数和定理证明。到目前为止，我们已经学习了部分常微分方程和差分方程、泰勒级数、拉普拉斯变换和算子微积分的基础知识。

但是代数眨眼会阻止我们进行更多的联合思维吗？雅各布斯告诉我们

Coalgebra仍处于初级阶段。

当它长大后，人们期望它能帮助团结起来

微分方程理论与自动机和过程理论。

当我们等待的时候，我们可以享受生活的游戏以煤的形式.

发布于2008年11月27日下午4:23 UTC

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55条评论和2条回溯

主题：协同思维

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彼得·弗雷德的联合大脑特征化雷亚尔的

有趣。这是我应该试着更好地理解的。

我确实需要找一份

彼得·弗雷德（Peter J.Freyd）：路径积分、贝叶斯视觉和高斯求积真的好吗？选举人。注释Theor。计算。科学。29: (1999)

在物理学中，人们注意到全局双曲洛伦兹流形自然携带偏序集的结构（用于点 $x个$ , $年$ 我们有 $x \leq y（x \leqy）$ 当且仅当“ $年$ 在未来 $x个$ “）和通知这个基本偏序集结构记住了惊人的信息量：在基本偏序集中诱导函子的全局双曲洛伦兹流形之间的每个映射都自动是一个保角等距洛伦兹空间。

换句话说：洛伦兹流形上的偏序集结构记住了它的伪黎曼几何体的一切，除了体积密度。

从这个意义上讲，偏序集有一个顶部和底部元素，即有一个点位于所有其他点的未来，另一个点在所有其他点之前，特别是由因果子集 $\阵列{& & (1,1)\\&\nnearrow&&\nwarrow\\(1,0)&&O（运行）&&(0,1)\\&\nwarrow&&\nearrow\\&& (0,0)}\,,$ 在此基础上定义了我们洛伦兹时空上量子场论的可观测代数的共凸集。

这样的观察让一些人认为时空的所有因果子集可能都有有限的基数（因果集/因果的定义中的第三项在这里).

但无论如何，彼得·弗雷德的定理告诉我们连续体被很好地编码在偏序集语言本身中：

内函子 $复制：Posets_{t\neqb}\到Posets_{t\neq b}$ 具有不同上下元素且具有因果子集的偏序集 $O（运行）$ 并将其连接到自身 $O\mapsto O\vee O地图O$

$\阵列{& & \\&\nnearrow&&\nwarrow\\&&O（运行）&&\\&\nwarrow&&\nearrow\\&& \\&\nnearrow&&\nwarrow\\&&O&&操作\\&\nwarrow&&\nearrow\\&& }$ 具有“最大不动点”，即作为区间的最终余数 $\阵列{\向上箭头}$ 用连续体( $\simeq\mathbb{R}$ )其中的个点。

那太好了。

发布人：Urs Schreiber公司2008年11月27日下午8:29|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

是的，弗雷德的论文——路径积分、贝叶斯视觉和高斯求积真的好吗？–听起来很吸引人：

物理学家知道如何整合所有可能的路径，计算机视觉专家希望为任意场景分配概率，而数值分析师的行为就好像某些连续函数比其他函数更典型。在这三种不同的情况下，一种比传统数学基础更灵活的集成概念被引用。如果允许进入一种高度思辨的模式，例如范畴理论和计算机科学的交叉，我们可能会碰到一些解决问题的方法。

但它似乎并没有被写出来。它只占期刊的一页。

发布人：大卫·科菲尔德2008年11月28日上午9:34|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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代数或范畴集合论如中所示

范登·伯格（van den Berg），莫尔迪克（Moerdijk）：代数集合论的统一方法

听起来很吸引人，但我对它应该如何开始感到困惑：

我理解这种想法似乎是将类别视为与集合一样更基本的东西。但在说“设置”之前，我们该如何说“类别”呢？

从上述文章的第5页来看，似乎有人首先说“class”，然后说“category”，然后是“set”。是这样吗？

发布人：Urs Schreiber公司2008年11月27日晚上9:13|永久链接|对此的答复

关于：联合思考

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我不认为这个想法是将类别视为比集合更基本的东西。我认为这个想法更多的是为了阐明某些形式的模型的结构集合论（ZF），源于某种形式的初始代数。我不是这方面的专家，但以下是我对它的看法。

粗略地说，我们从“类”的环境类别开始 $C类$ 它具有足够的结构，可以解释内部一定数量的一阶逻辑，并且还具有“小幂集”函子形式的“小”概念

$P_s:C\至C$

它直观地映射了一个类 $c（c）$ 对于“小子类”类[或者我们简称为“子集”] $c（c）$ .在一些适当的假设下，证明了 $P_秒$ （这将是一个类 $五$ 同构于 $P_s（V）$ ，的所有子集的类 $五$ )扮演集合“累积层次结构”的角色，可用于精确建模ZF公理，或至少是ZF的直观版本。

[从技术上讲，“类”的类别应该是一个pretopos：它提供了足够的结构来内化一阶逻辑。这有助于我把它看作是说一定数量的集合理论操作对类来说也是完全“安全”的。见鬼，类的类别 $C类$ 也可以是拓扑，但当然我们不能太疯狂，例如，我们不能到处考虑初始代数对于幂类函子 $P： C\至C$ ，否则我们会得到一个虚构的宇宙 $v（v）$ 这样的话 $v \cong P v$ 违反了康托定理。然而，我们可以考虑一个初始代数小的-幂集函子 $P_秒$ ，因此可以说是一个宇宙或“集合”的累积层次结构，封闭于 $P_秒$ .]

总之，我个人认为，在说“类别”之前，必须先说“收藏”，但这不是要说的。相反，它使用范畴化的思想来更深入地理解形式ZF的结构，如果你愿意的话，可以解开ZF的神秘面纱，并将其作为某种形式的代数。

发布人：托德·特里布尔2008年11月28日12:31 AM|永久链接|对此的答复

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谢谢，托德。我可能对这些基础知识知之甚少，无法真正理解正在发生的事情。

我天真的印象是，要想从一开始就开始数学，就必须依靠自己的力量（德语原文：靠自己的头发；-）从不精确思维的沼泽中走出来，并以某种方式定义什么是“集合”，以及应该填满哪些公理。

在你的评论中，你似乎暗示人们可以在建立集合论之前谈论类。这是如何工作的？当我查找“类”的定义时，我发现它们是在“集合论的背景下”制定的，在那里我对它的理解可能不够好，无法理解一些细微的差异。

具体来说，你会说：

一个是从“类”的环境类别开始的 $C类$ ，具有足够的结构，可以解释内部一定数量的一阶逻辑

你能详细介绍一下这是如何工作的吗？可以去掉“classes”周围的引号吗？

假设我让你写一篇调查文章“从现代拓扑学的角度看数学基础”，你会怎么开始？

对不起，如果这些问题听起来很愚蠢。我真的很想更好地理解这一点。

我想知道的另一件事是：雅各布·卢里（Jacob Lurie）在他的“更高的拓扑理论”（Higher topos theory）中，将内部工作转化为“可访问的类别”，以避免大多数理论问题。我对此也只有一个非常粗略的理解。

发布人：Urs Schreiber公司2008年11月28日上午10:45|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

假设我让你写一篇调查文章“从现代拓扑学的角度看数学基础”，你会怎么开始？

没必要让他——他已经这样做了，随后是这.

发布人：大卫·科菲尔德2008年11月28日上午11:03|永久链接|对此的答复

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他已经这样做了，随后是这.

这些是美丽的展览。如果有任何一系列博客帖子值得作为一本书来重新介绍，那么这确实值得。

我也看了一下数学集合我想，这就是对这种方法的阐述。

我很高兴通过类别集合及其属性。我非常欣赏Todd强调的一个要点，即根据态射将集合中元素的成员资格构想为集合，可以弥补经典集合论的主要缺陷之一。

因此，如果这是问题的关键，那么集合，就像其他任何结构一样，最好根据它们所形成的类别的属性进行研究，我将遵循这一点。

但即便如此，我仍然感到有点困惑：当托德（或者我想是劳弗·罗斯布鲁）谈到应该定义集合的集合类别时，他使用了类似“给定两个态射xyz，有一个态射abc，这样我们就有了一个泛态射rst”之类的语言。

这不是循环的吗？为了说明这种语言的含义，我们不是已经需要知道集合是什么了吗？或者至少是“收藏”？

我知道必须开始在某处开始谈论数学的时候，可能会涉及到这种循环。我们需要自力更生，走出沼泽。

所以我想知道关于这个引导过程的最新想法是什么。从托德的叙述和我在劳弗·罗斯布鲁克（仅前几章）中看到的情况来看，态度是这样的对吗：

我们假设有一个“集合的幼稚概念”，我们不会试图将其公理化。我们假设“每个人都知道”说“给定这个”、“存在”和“独特存在”等话意味着什么。

使用这种语言，我们然后描述某个类别，然后声明：这是集合的类别。

我们就是这样做的吗？

发布人：Urs Schreiber公司2008年11月28日下午12:02|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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这越来越接近我对它的看法。好吧，我是这样看待它的：“集合”或“集合”这个词从来没有真正定义过（如果我们尝试过，我们肯定会遇到字典的问题，也就是说，使用其他单词定义单词必然是循环的问题）。因此，例如，当你使用“集合论模型”这样的短语时，你必须指代“集合 $五$ 以及二元关系 $\英寸$ 在 $五$ 从而满足以下公理……”。

像ZF这样的集合论所做的是提供一种形式语言，它足够丰富，可以表达数学家希望能够表达的所有东西做在实践中使用“集合”。[在我看来，从本体论问题（集合是什么）到更具操作性的问题（集合如何使用）的转变非常重要。]

应该说，像ZF这样的形式化理论不使用“集合”这样的词：它只写下一阶逻辑公式（带有一个非逻辑符号， $\英寸$ （本身没有定义，但公理化了）来表达事物的基本属性，如无限集、幂集等。（自然，这方面的好书会包括一些关于“集”的手工辅助注释，就像计算机代码与针对用户的注释交织在一起一样。）作为这一理论的背景，有一阶逻辑本身，理论的使用者必须以某种方式学习其规则，也可能有内置循环的实例，例如当人们使用“and”来讨论符号如何 $\楔子$ 作品。但问题并不太严重，因为任何名副其实的数学家都不会误解规则在实践中的作用（即使这种理解部分是潜意识的）。我们甚至可以通过巧妙地在电路中使用逻辑门来将规则计算机化。

与基于类别的集合理论相同，例如我在博客中提到的Lawvere的ETCS。一旦人们掌握了范畴的基本逻辑装置（你当然不需要像ZF那样的成熟集合理论，因为“范畴”的一阶定义非常简单：只需看看Freyd&Scedrov的书《范畴，寓言》的开头几页），你可以开始写下“集合的类别”的公理[如ETCS中]，它几乎涵盖了你想对集合进行的任何数学用途。

不必赘述这一点，但在使用范畴的一阶概念作为基于范畴的集合理论的序言之前，不需要一个完整的范畴理论（正如Lawvere和其他一些人试图写下的那样）。这样的理论将试图包括公理，这些公理涵盖了范畴的所有不同用途，并将包括存在公理，如某些函子范畴的存在，但这要求的远不止熟悉范畴的概念。

发布人：托德·特里布尔2008年11月28日下午2:41|永久链接|对此的答复

基础理论

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当[一个人]谈到应该定义集合是什么的集合的范畴时，他使用了类似“给定两个态射xyz，有一个态射abc，这样我们就有了一个泛态射rst”之类的语言。

这不是循环的吗？为了说明这种语言的含义，我们不是已经需要知道集合是什么了吗？或者至少是“收藏”？

不，绝对不是！你看到“set”和“collection”这样的单词了吗？不，你只看到像“给定”和“有[…]这样的”这样的词，它们表示一阶逻辑中的量化。也就是说，你不需要集合论（或集合论或其他），只需要逻辑。

即使对于Zermelo-Fränkel集理论来说也是如此，该理论表示“给定一和b条有c（c）这样的话一 ∈c（c）和b条 ∈c（c）（配对公理）。所以ETCS系统不比采埃孚.

在这种情况下，人们可以合理地使用“基本”一词。因此初级的集合范畴理论不需要外部集合理论，只需要一个谓词逻辑。您只需要一个逻辑来定义初级的拓扑（与格罗森迪克拓扑的早期概念相反，后者需要集合论）。也许你可以更熟悉一些初级的群论（具有“给定”这样的公理一有b条这样的话一b条=1’）并证明一些定理（例如“如果所有元素都有2阶，则交换性成立”），但其他定理则不成立（例如“一组素数阶是循环的”，这需要外部自然数算法来陈述和证明，尽管还不是成熟的集论）。事实上，ETCS并没有比这更复杂。

发布人：托比·巴特尔斯2008年11月28日晚上10:34|永久链接|对此的答复

回复：基本理论

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不，你只看到像“给定”和“有[…]这样的”这样的词，它们表示一阶逻辑中的量化。也就是说，你不需要集合论（或集合论或其他），只需要逻辑。

我明白你的意思。然而，如果我足够努力，我仍然会对此感到困惑：

当我们在这里说“有”时，我们不是真正的意思是：“在我们正在定义的集合类别的态射集合中有”。

我的意思是，例如，我们不想简单地说，“给定两个具有相同密码域的语态，它们的回缩存在”。我们想说，这在语态集合中是正确的 $集合$ .

所以ETCS和ZF一样都不是圆形的。

可以。我也许希望有那么一刻较少的圆形。但没关系。

我不想在这里成为一个麻烦，但由于我不是这些问题的专家，我有更多的问题：

从建造方式来看，现在似乎大的类别比小类别更基本：

如果我对你们的理解正确的话，我们的想法是假设类别的定义 $集合$ 集合是我们碰巧通过恩典理解的东西，如果不进入循环，就无法进一步质疑它。

鉴于此，我们接下来将定义一个小的类别是内部的类别 $集合$ 我想。

这让我感到疑惑，因为通常当我们在会议上听到有人谈论类别时，观众中的一些人会打断并问“但你的类别并不小，所以所有事情都比你建议的要复杂得多”，演讲者通常会回答“当然，但像往常一样，我会假设这些集合理论问题可以通过扩大宇宙、调用可访问的类别或玩一些其他无聊的把戏来解决”。

如果是我们“优雅地理解”的大类别和需要公理化的小类别，为什么会发生这种情况？？

（我在这里扮演魔鬼代言人的角色。我对这些问题并不感到困惑。另一方面，如果有一天我能感觉到我真的知道这些微妙的事情发生了什么，我也不会介意。）

发布人：Urs Schreiber公司2008年11月29日下午1:52|永久链接|对此的答复

回复：基本理论

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另一方面，如果有一天我能感觉到我真的知道这些微妙的事情发生了什么，我也不会介意。）

不知道这是否已经在这个帖子中提到，但你读过迈克·舒尔曼的吗范畴理论的集合论？

摘要：集合理论的大小问题在范畴理论中起着至关重要的作用，尤其是集合与真类（或小集合与大集合）之间的区别。有许多不同的方式来形式化这一点，作出何种选择会对允许哪些范畴结构产生显著影响。在这篇解释性论文中，我们总结和比较了一些这样的“范畴理论的集合理论基础”，并描述了它们对范畴理论日常使用的意义。我们假设读者有一些范畴理论的基本知识，但很少或没有形式逻辑或集合理论的经验。

发布人：布鲁斯·巴特利特，2008年11月29日下午2:18|永久链接|对此的答复

回复：基本理论

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Urs写道：

当我们在这里说“有”时，我们的真正意思是：“在集合范畴的态射集合中有我们正在定义的”。

我们“真正的意思”可能并不重要——托比在这里谈论的是形式数学，而不是心理学！

希尔伯特战略的一大优势是形式化数学是因为它让我们把“游戏规则是什么？”和“我们认为游戏意味着什么？”这两个问题分开来，这两个都很重要，但第一个问题要容易得多，所以能够分开来对待它很好。

当试图将数学形式化时，人们经常使用一阶逻辑作为建立集合论、范畴论等更复杂理论的基础。一阶逻辑是一种形式主义，它包括通常的逻辑连接词（“and”、“or”、“not”和“implies”已经足够了）、变量（使用 $\有孔虫$ 和 $\存在$ )以及无法量化的谓词。通常我们将等式作为谓词之一。最后，有一些“演绎规则”，说明我们如何证明事物。

一阶逻辑让我们写下集合论的各种公理。但是，我们也可以继续使用一阶逻辑来写下范畴理论或拓扑理论的公理，跳过集合论！

这是Lawvere的一个伟大实现：我们不需要在集合理论的基础上进行范畴理论。

遗憾的是，这种认识并没有被许多“传统”逻辑学家所接受，也就是说，那些将集合理论基础视为神圣的逻辑学家。在逻辑学家的群体中，有一场激烈的辩论，许多误解，以及一场可悲的分裂。

幸运的是，托比和托德的出现为我们带来了祝福，他们是逻辑两方面的专家：“传统”和“分类理论”方法。

发布人：约翰·贝兹2008年11月29日11:04 PM|永久链接|对此的答复

回复：基本理论

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当我们在这里说“有”时，我们的意思是：“在集合范畴的态射集合中有，我们正在定义它”。

如果你不想这样做，就不要这样。事实上，你根本不需要对集合、形态或类别有任何意义！秘密地，我们知道我们希望这些事情意味着（预期语义)，但实际的公理列表本身并没有提到这一点。你可能知道大卫·希尔伯特（David Hilbert）说过（也许是虚构的）“在所有的几何陈述中，必须可以替换单词指向,线,飞机通过桌子,椅子,啤酒杯因此，虽然我们知道这些应该是集之间的函数，这可能会激发我们选择公理，但公理本身并没有提到这个事实。你知道这一点，但你可能没有注意到，它们也没有提到这些函数应该组成一个集合的事实（如果你相信它们会这样做的话）。

顺便说一下，正如提到希尔伯特应该提醒我们的那样，我们不定义集合的类别；我们只是公理化它！

[一] 我对你们的理解都是正确的，我们的想法是假设集合的范畴集的定义是我们碰巧通过优雅理解的，如果不陷入循环，就无法进一步质疑它。

也许提出公理的人理解“优雅集”这一范畴，但我们没有理由全部的应该！关于集合，我们需要知道的是公理，不是通过优雅，而是通过法定：这些公理，现在是什么？。如果我们愿意的话，很有可能进一步质疑公理（比如，考虑一个公理是否遵循其他公理，因此是不相关的，或者公理是否实际上可能不一致，或者我们感兴趣的所有定理是否遵循较弱的公理系统，等等），当然，我们不能做的是试图证明公理对于实际的范畴集-当然，除非已经有了其他集合论（比如ZF），并且想看看这些公理（比如ETCS）是否适用于其他集合论（在这种情况下，它们确实适用）。或者，当然，如果我们有一些直观的集合概念，我们可以看看公理对此是否正确，但那就没有问题了证明.

然而，你确实需要优雅地理解一些东西：一阶经典逻辑，ETCS和ZF都使用的语言。（实际上，您可以进一步分析，在元逻辑中，只使用所谓的“负”逻辑运算符-⊤、∧、→、∀。但如果没有这些，我不知道如何继续。）

从它的构建方式来看，现在似乎大类别比小类别更基本：

不，不！

鉴于此，我想接下来我们将定义一个小类别，作为Sets内部的类别。

如果您愿意，可以这样做，只需再做一点工作，您就可以定义一个大类别，甚至可以显示“集合”是如何大而不能小。

但请告诉我：在你接受集合（ETCS公理化的集合）是定义“小”和“大”等术语的基础之前，你为什么说套餐很大！？这些术语“小”和“大”只有意义相对的按照某种规模标准，一些特定的集合理论告诉了我们它们的含义。

在你有集合论之前，特别是当你写下ETCS的公理时基本的类别的种类是元范畴：一个对象和箭头的系统，满足一个类别的公理，而不假设其中有多少，它们是否构成一个集合，甚至不假设如何陈述这些问题。（事实上，在一阶逻辑中可以陈述这样的事情，比如“正好有5个对象，每个对象都有7个自同态。”，但这并不能让你走得很远。）然后，一旦你有了算术的概念（还不需要完备的集合论），你得到了有限范畴和无限范畴的概念（以及诸如“确实有一个素数的对象，每个对象都有完全数量的自同态。”）。一旦你有了集合论，你就会得到小范畴和大范畴（甚至是可数范畴和不可数范畴）的概念。但是，除非你采用一些集合论来定义“小”和“大”，否则你的类别两者都不是。（默认情况下，我甚至使用简单的单词“category”来表示元类别，因为这是基本概念。）

这让我感到疑惑，因为通常当我们在会议上听到有人谈论类别时，观众中的一些人会打断并问“但你的类别并不小，所以所有事情都比你建议的要复杂得多”，演讲者通常会回答“当然，但像往常一样，我会假设这些集合理论问题可以通过扩大宇宙、调用可访问的类别或玩一些其他无聊的把戏来解决”。

如果演讲者只讨论了一个类别，那么他们可以简单地回答说，他们正在讨论一个元类别，并且大小的概念不适用。（但如果反对意见是类别实际上是大，那么应该有一些集合论，与之相关的类别是大的，如果演讲者使用这个，那么需要一个更复杂的答案。）

发布人：托比·巴特尔斯2008年11月29日11:26 PM|永久链接|对此的答复

回复：基本理论

感谢大家的评论。我发现它们真的很有用，尽管我对这些东西还很不适应。

发布人：James于2008年11月30日12:34 AM|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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下面是对终端余代数的一个很好的介绍来自Eugenia Cheng在CT08会议上的讲话。

（顺便说一句，我通常不会听到人们谈论‘final’而不是‘terminal’对象，除非是coalebras。我不知道这种情况是怎么发生的。以防万一有人困惑：final $=$ 终端。）

尤金妮亚的演讲是关于弱者的定义 $n个$ -Todd Trimble于1999年提出的类别。（请参见在这里或在这里或尤金妮亚的演讲，以了解详情。）托德的定义仅适用于有限的，有限的 $n个$ 然而，Eugenia和我发现通过使用末端余代数，你可以将定义扩展到 $n=英寸$ .

这是大卫或多或少提到的关于初始代数与终端余代数的一般原理的一个例子。人们通常认为内函子的初始代数是所有“有限”对象的集合，而末端余代数是所有可能无限的对象的集合。

例子内函子 $X\映射到X+1$ 属于 $\mathbf｛集｝$ 有 $\mathbb{N}$ 作为其初始代数（“有限”自然数），以及 $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ 作为它的末端余代数（“可能无限”的自然数）。

还有许多其他类似的例子。关键是，使用终端余代数可以让我们“跳到” $\英菲$ ’.

让我再举一个这个现象的例子，因为它与弗雷德连续统有关。

让 $\矩阵{C}$ 属于双点空间，我指的是拓扑空间 $X（X）$ 配备有两个不同的闭合基点 $x _-，x_+$ 。可以将任意两个双点空格楔入到一起 $X（X）$ , $Y（Y）$ 形成一个新的双点空间 $X \ V Y$ 所以有一个内函子 $X\mapsto X\vee X$ 属于 $\矩阵{C}$ .

事实一（弗雷德定理的一个版本）：它的末端余代数是空间 $[0, 1]$ 以端点为基点。

事实二（更容易）：它的初始代数是 $[0, 1]$ ，再次使用 $0$ 和 $1$ 作为基点。

所以初始代数包含 $[0, 1]$ 使用有限的二进制展开， $0.b_1 b_2\ldot b_n，$ 而末端余代数由 $[0, 1]$ 使用任何（可能无限）二进制扩展， $0.b_1 b_2\ldot。$

发布人：汤姆·伦斯特2008年11月28日12:26 AM|永久链接|对此的答复

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我们能把所有的现实都放在这里吗 $[0, 1]$ ？我看到巴甫洛维奇和普拉特刻画这个 $[0, 1)$ 区间作为两者的最终余代数

$X\到\mathbb｛N｝\乘以X，$

和

$X到1+mathbb{N}\乘以X。$

他们还推测了一个有趣的类比

归纳：算术：：归纳：分析。

看起来有些事情对雷亚尔来说肯定无法顺利进行。如上所述，Tom的二进制展开式

$0.011111... = 0.1$

问题。

普拉特和巴甫洛维奇解释了连续体在加法和乘法方面是如何非共性连续的。

发布人：大卫·科菲尔德2008年11月28日上午9:00|永久链接|对此的答复

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我们能把所有的现实都放在这里吗 $[0, 1]$ ？

这是一个有趣的问题。在一些关于自相似性的工作，我证明了任何给定的紧可度量空间都具有终端余代数特征。这可以被视为弗雷德结果的一大延伸。但是 $\mathbb{R}$ 当然，它并不紧凑。

你可以作弊。 $[0, 1]$ 与扩展实线同胚 $[-\infty，\infty]$ 在这个意义上，我们已经有了扩展实域的特征。余代数结构是什么 $[-\infty，\infty]$ ? 好吧，任何端点预留双射 $[-\infty，\infty]\到[-\infty，\infty]\vee[-\infty，\ infty]$ 可以，但也许最自然的选择是 $x个\地图\左\{\开始{对齐}-\日志（-x）\in；第一份；[-\infty，\infty]；如果x\leq为0\\\日志x\in；第二份；[-\infty，\infty]；如果x\geq为0。\结束｛对齐｝\对。$ 我不知道这个观察有多有用。

发布人：汤姆·伦斯特2008年11月28日下午3:49|永久链接|对此的答复

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关于实线的问题让我想起了自PSSL83以来一直困扰我的一件事：R（右）不仅作为拓扑空间，而且作为一个组？[0,1]的特征给出了空间L上的范畴观点¹[0,1]; 最好是对代数L（左）¹(R（右）)…

发布人：叶梦·崔2008年11月28日下午6:03|永久链接|对此的答复

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Yemon，我最近在另一次演讲中提到了 $L^1[0，1]$ （你在PSSL83上看到的那个），有人问了同样的问题：代数结构怎么样？但我完全困惑了。什么是代数结构 $我^1$ ? 它不能是逐点乘法，因为（例如）函数 $x\mapsto（x地图）\左\{\开始{对齐}1/\sqrt{x}如果x\在（0，1）中\\0否则（&O）\结束｛对齐｝\对。$ 在中 $我^1$ ，但它的点状正方形不是。

发布人：汤姆·伦斯特2008年11月29日下午8:12|永久链接|对此的答复

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你好，汤姆，
是的，你说得对L¹[0,1]不是代数wrt逐点乘积。我指的是L¹(R（右）)拥有卷积代数。也就是说，假设f和g是连续的标度值函数R（右）在紧支撑下，用卷积的一般公式定义f*g

（1）

（f*g）（t）=int_sf（s）g（-s+t）ds

然后扩展到给出L上的连续代数乘积¹(R（右）).（旁白：任何当地紧凑型豪斯道夫集团的施工工程相同G公司，所以每一个这样的G公司产生一个代数L¹（G） ●●●●。从群到代数，这几乎是一个协变函子，但不完全是，除非我们限制自己使用某种形态……）

现在：L的特征¹[0,1]作为“适当意义上的首字母”，似乎是[0,1]被描述为“适当意义下的终端”的一个逆变版本。所以我们使用的是经验法则（空格）^操作<->代数。但如果我们想看看L¹(R（右）)作为代数，这生活在一个你想成为的世界协变的在基础空间…这是我的困惑。

实际上，我刚刚想到了这个问题的变体。假设我们固定一个局部紧群G公司，现在尝试并G-丰富Banach小部件的类别，即给所有对象一个G-动作，并要求所有态射都是G-映射。我们还会得到一个初始对象吗？

（对空置人员的困惑：我问这个问题的动机可能是什么？）

发布人：叶梦·崔2008年11月30日凌晨2:03|永久链接|对此的答复

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谢谢，耶蒙。我现在明白了这个问题。不幸的是，我甚至还没有接近答案。

发布人：汤姆·伦斯特2008年12月1日上午5:27|永久链接|对此的答复

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关于我的问题彼得·弗雷德（Peter Freyd）表示，关于所有领域的联合表达实代数分析:

到目前为止【2008-DC】，还没有人发现
一个函子，其最终余数是实数。

但后来

由于一些很容易被视为深奥的原因，我们被引导到这样一个信念：封闭区间（而非整个实线）是兴趣的基本结构。

发布人：大卫·科菲尔德2009年9月1日上午11:28|永久链接|对此的答复

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只是想澄清一下：从我在分类列表上看到的1999年的旧信息来看，巴甫洛维奇和普拉特描述了这段时间 $[0, 1)$ 作为偏序集上内函子的终端余代数序数积具有 $\欧米茄$ ，也就是说，使用函子

$X\mapsto\mathbb{N}\乘以X$

但右边是字典顺序，而不是通常的产品顺序。如果使用产品顺序，那么终端余代数是指数的 $\mathbb{N}^\mathbb}N}$ （如上述示例1所示漂亮的笔记汤姆提到的尤金妮娅·程和汤姆·伦斯特的谈话）。

（顺便说一句，我无法访问巴甫洛维奇和普拉特的论文。链接正确吗？）

发布人：托德·特里布尔2008年11月28日下午5:29|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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能不能 $第页$ -adic（整数或数字）不仅可以从拓扑结构上理解，还可以从算术上理解？

发布人：大卫·科菲尔德2008年11月28日上午9:20|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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有趣的问题。这个 $第页$ -adic整数 $\帽子{\mathbb{Z} _磅}$ 对我来说，肯定有那种融合的味道；下面是关于这可能如何工作的猜测，至少是额外的。

使用共切片类别

$C=\mathbb｛Z｝\darr抗体$

通过取对象的副积来定义内函子 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\frac1{p}\mathbb}Z}$ .作为一个阿贝尔集团，这个副产品将只是推出式结构

$A\mapsto A\oplus_{\mathbb{Z}}\frac1{p}\mathbb{Z}。$

我猜想 $第页$ -adic整数是这个内函子的终端余代数。大致来说，一个余代数结构

$f： A\到A\oplus_{\mathbb{Z}}\frac1{p}\mathbb{Z}$

可用于为每个 $a中的\$ ，一股 $第页$ -基于中的数字 $\frac1{p}\mathbb{Z}mod\mathbb{Z}$ ，我希望能连贯地粘合成 $第页$ -adic整数，从而生成余代数映射

$A\to\hat{\mathbb{Z} _磅}.$

发布人：托德·特里布尔2008年11月28日下午6:52|永久链接|对此的答复

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在任何人浪费时间试图理解前面的评论之前，我最好承认它有令人尴尬的缺陷。我看看能不能修好。

发布人：托德·特里布尔2008年11月29日凌晨1:31|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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嗯，现在我已经考虑过了，我最初的想法是构建 $第页$ -作为终端余代数的adic整数看起来并没有那么糟糕。我前面所说的有一点需要修正，但大致的想法是要遵循尤金妮亚演讲笔记中引用的阿达梅克定理，并交叉手指。

所以：阿达梅克定理说，如果 $C类$ 是带有终端对象的类别 $1$ ，然后是内函子的终端余代数 $F： C\到C$ 存在，前提是

$\ldots\toF^{n+1}1\stackrel{F^n！}{\to}F^n1\toldotsF1\stackrel{！}{to}1$

存在并且 $F类$ 保存它。

再次，采取 $C类$ 成为合作伙伴 $\mathbb{Z}\darr抗体$ ，终端对象的基础阿贝尔群是零群。稍微修改一下我之前建议的，让我们取内函子

$F： \mathbb{Z}\darr Ab\to\mathbb{Z}\ darr抗体$

成为函子“沿着箭头向外推 $p\cdot-：\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ ”. （即，如果类别 $A类$ 有pushouts，那么对于任何态射 $f： x到y$ 在里面 $A类$ 下面的co-slice中有一个函子 $x个$ 到下面的联合切片 $年$ ，这里我们举一个例子。）

然后 $一层楼$ 是满溢 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} _磅$ 可以通过归纳法检查 $F^n！$ 是标准的满意感

$\马特布{Z}（Z）_{p^{n+1}}\to\mathbb{Z}（Z）_{p^n}。$

Adamek图的极限是 $第页$ -adic整数 $\帽子{\mathbb{Z}}_p$ （显然这在阿贝尔群层次上是正确的，然后我们使用简单的一般事实，即基本函子 $x\darr A\到A$ 创建限制）。

唯一需要检查的是 $F类$ 保留此限制。事实上，精确序列的推出

$0\to\mathbb{Z}\stackrel{p\cdot-}{\to}\mathbb2{Z}\to\mathbb{Z} _磅\至0$

是

$0\to\hat{\mathbb{Z}}_p\stackrel{p\cdot-}{\to}\hat}\mathbb2{Z}{_p\to\mathbb{Z} _磅\至0。$

从这个序列到

$0\到\mathbb{Z}（Z）_｛p^n｝\到\mathbb{Z}（Z）_{p^{n+1}}\to\mathbb{Z} _磅\至0$

其中第一个箭头是标准投影 $\pi_n:\hat{\mathbb{Z}}_p\to\mathbb{Z}（Z）_{p^n}$ 第三个箭头是身份 $1:\mathbb{Z} _磅\to\mathbb{Z} _磅$ .此序列形态的中间箭头，根据定义为

$F（\pi_n）：F（\hat{\mathbb{Z}}_p）到F（\mathbb{Z}（Z）_{p^n}），$

确实符合标准投影

$\pi_{n+1}:\hat{\mathbb{Z}}_p\to\mathbb{Z}（Z）_{p^{n+1}}$

我相信我们已经完成了。作为一个小小的额外奖励，可以重写整个参数来替换 $抗体$ 通过局部紧Hausdorff交换群的范畴，得到 $第页$ -adics作为一个终端联合体。

发布人：托德·特林布尔2008年11月29日下午4:50|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

酷！

发布人：汤姆·伦斯特2008年11月29日下午8:18|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

Mac Lane给出了一个p-adic的构造方法，使用了一个图的极限，我认为它与你的图的极限等价（把Z mod p^n+1降到Z mod p ^n），作为极限创建的一个例子。（Mac Lane的《职业数学家分类》（第二版）第110页底部）

发布人：Robert Furber于2008年12月4日凌晨3:01|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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没错，正是这个种子图让我开始了。从那时起，或多或少的问题是弄清楚如何将该图视为形式

$\ldots\到F^｛n+1｝1\stackrel｛F^n！｝｛\to｝F^n 1\到ldots\到F1\stackrel｛！｝｛\to｝1$

即，什么函子 $F： C\至C$ （关于哪个类别 $C类$ )我们使用这样的 $n个$ -第个投影 $\马特布{Z}（Z）_{p^{n+1}}\to\mathbb{Z}（Z）_{p^n}$ 通过应用而产生 $F类$ 到 $（n-1）$ -st投影。

不幸的是，我不知道如何在戒指类别（或类似戒指类别的东西）中做到这一点，也就是说，我不了解如何获得 $第页$ -作为终端余代数的adic整数。

然而，我打赌人们可以利用我发现的终端余代数结构来恢复环乘法

$m： \hat{\mathbb{Z}}_p\otimes\hat}\mathbb{Z}{_p\to$

通过在张量积上放置合适的余代数结构（以便 $米$ 作为唯一的余代数映射到终端余代数）。事实上有一个余代数结构关于张量积，我认为这很明显。然后检查一下 $米$ 是余代数映射，要做的一件事是检查它对余代数结论的限制

$\mathbb{Z}\otimes\mathbb}Z}\to\hat{mathbb[Z}}_p\otime\hat{mathbb{Z}}_p$

因素为

$\mathbb{Z}\otimes\mathbb}Z}\stackrel{m}{\to}\mathbb{Z}\to\hat{\tathbb{Z}_p。$

我希望这已经足够了，通过在我前一篇文章末尾提到的拓扑设置中工作，并使用统一的连续性参数以及以下事实中的整数 $第页$ -adic拓扑在 $第页$ -adic整数。嗯，我是在早上一个奇怪的时间写这篇文章的，所以我应该在清醒的时候仔细研究一下。

发布人：托德·特里布尔2008年12月4日上午10:38|永久链接|对此的答复

关于：联合思考

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这个普吕弗集团是Pontryagin的对偶 $第页$ -阿迪斯。这种对偶性是否迫使群成为初始代数？

还是这是一个形式二元性和具体二元性不一致的例子，就像劳弗尔和罗斯布鲁一样讨论.

发布人：大卫·科菲尔德2008年12月4日上午11:17|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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我相信这个论点完全对偶：函子的初始代数

$F： \mathbb{Z}\darr LCHAb\to\mathbb{Z}\ darr LCHAb$

沿着乘法推出 $p： \mathbb{Z}\到\mathbb{Z}$ 是Prüfer群，构造为

$0\到F（0）\到\ldots\到F^n（0）\stackrel{F^n！}{\到}F^{n+1}（0）\to\ldots$

事实上，Adamek定理对偶的主要假设更容易验证： $F类$ 保留这个colimit，因为它是沿着乘法向后拉的伴随 $第页$ .

我仍然不知道如何得到拓扑群 $\马特布{Q} （p）$ 属于 $第页$ -adics以某种方式作为初始代数或最终余代数（顺便注意，它是Pontryagin对自身的对偶）。

发布人：托德·特里布尔2008年12月4日下午1:03|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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人们通常认为内函子的初始代数是所有“有限”对象的集合，而末端余代数是所有可能无限的对象的集合。

如果你愿意必要地无限对象，然后使用函子F类这样的话F类（0）=0，因此不有限对象。

示例：

对于x个 ↦A类x个+1，初始代数由元素列表（有限序列）组成A类;
对于x个 ↦A类x个+1，最后的余代数由元素的流（有限或无限序列）组成A类;
对于x个 ↦A类x个，有限代数是空的；
对于x个↦A类x个，最后的余代数由元素的（无限）序列组成A类.

发布人：托比·巴特尔斯2008年11月28日11:15 PM|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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汤姆告诉关于Freyd的双点空间楔入函子：

事实一（弗雷德定理的一个版本）：它的终端余代数是空间 $[0, 1]$ 以端点为基点。

事实二（更容易）：它的初始代数是 $[0, 1]$ ，再次使用 $0$ 和 $1$ 作为基点。

现在我正好在读书第175周遇到约翰告诉我们超有限 $Ⅱ_{1}$ 因素：

从代数开始 $1\次1$ 矩阵，并将其填入 $2\乘以2$ 矩阵如下：

$x\mapsto（x地图）$

$\开始{pmatrix}x和0\\0和x\结束{pmatrix}$ 这将使跟踪加倍，因此在代数上定义一个新的跟踪 $2\乘以2$ 矩阵是普通矩阵的一半。现在继续这样做，每次将维度加倍，使用上面的公式从 $2^n\乘以2^n$ 矩阵到 $2^{n+1}\乘以2^{n+1}$ 矩阵，并对每个矩阵代数上的迹进行规范化，以便所有映射都是跟踪保护的。然后取所有这些代数的并集…最后，只要做一点工作，完成这个，得到一个冯·诺依曼代数！

可以证明冯·诺依曼代数是一个因素。很明显，投影的轨迹可以是区间中的任意分数 $[0, 1]$ 其分母是2的幂。但实际上，来自 $0$ 到 $1$ 是这个代数中某个投影的轨迹-所以我们有一个类型 $二_1$ 因素。

这就提出了一个明显的问题。是否完成的类型在Freyd的初始代数和终端余代数之间进行，与John所描述的完成“一点工作”有关吗？

发布人：大卫·科菲尔德2009年10月22日下午4:15|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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很有趣。有一些相关的讨论在这里.

发布人：汤姆·伦斯特2009年10月22日下午6:58|永久链接|对此的答复

关于：联合思考

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这个主题以前就有过，我们在物理中使用的数学在多大程度上反映了可以衡量的系统，而不是系统本身？当然，你可能想说，对于一个系统来说，没有什么比可以由它组成的测量的总和更重要的了。

在代数和归纳法教程Jacobs和Rutten给出了以下示例

有两个按钮的机器 $\langle值，下一个范围：X\到A\乘以X$ ，通过及时的自主活动……我们可以对情况进行的可能观察是这样的：在推动 $下一个$ 按钮 $n\in\mathbb{n}$ 有间隔的时间 $\alpha_1，\ldot，\alpha_n$ ，我们在 $A类$ 在一段时间后 $\β$ .

观测空间将是一个特定的终端代数。

我模糊地想知道的问题是，某些数学结构是否会成为所有可能观察结果的持有者。

我想知道在这种光线下量子系统是如何被看到的。

发布人：大卫·科菲尔德2008年11月28日上午11:31|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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我们在物理中使用的数学在多大程度上反映了可以测量的系统，而不是系统本身

[…]

我想知道在这种光线下量子系统是如何被看到的。

我还没有从余代数的角度考虑过这个问题。当我们讨论Isham-Döring和Heune-Spitters方法时#我的印象是，他们宣传的主要要点是：

物理理论是“指向的拓扑”，即拓扑 $E类$ 带有单个输出对象 $\西格玛$ 称为“状态空间”。

系统的状态是形态 $\psi：1至Sigma$ 可能的观察结果是形态 $P:\西格玛\至\欧米茄$ .真实程度 $P（P）$ 掌控国家 $\磅/平方英寸$ 由同态给出 $1\stackrel{\psi}{\to}\Sigma\stackrel{P}{\to}\Omega$ .

当然，这只是拓扑的标准基本概念，用物理术语重新表述。

发布人：Urs Schreiber公司2008年11月28日下午12:17|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

“我们在物理中使用的数学在多大程度上反映了可以测量的系统，而不是系统本身”

意思是？？非定量方面？
你如何掌握“系统本身”？？

发布人：jim stasheff于2008年11月29日晚上10:36|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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从计算机科学的角度来看，这就是黑盒的概念。也许我能找到的关于一些黑匣子工作原理的全部信息就是反复按下按钮并从集合中读取一个值 $A类$ .

如果这就是我所能知道的，我可以说我的状态空间是 $A类$ ，“动力学”由 $\浪头、浪尾$ .

发布人：大卫·科菲尔德2008年11月30日下午1:27|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

当你观察一个量子系统时，你用一个厄米算符敲击它，得到该算符本征值集的概率分布。宽泛地说，如果H是状态空间V上的厄米算符集，那么从观测的角度来看，你可以认为系统是由余代数结构X->P（X×R）描述的^H（H）其中P是指向该集合上PDF集合的函数映射集，R是对应于可能特征值的实线。（确实需要进行一些调整才能使其正确。）

我们可以将系统的“可观察状态”描述为方程X=P（X×R）的解^H（H）当两个状态相似时被认为是等价的。原始状态向量已从描述中消失，只剩下可观察的部分。这很好，因为在某种意义上，状态向量是“太多的信息”——没有任何实验能够从非平凡的物理系统中完整、无损地提取出完整的状态向量。在这种描述中，有一个概念，即观察影响状态。另一方面，原始状态向量空间V的一个好的旧元素似乎更容易处理。

发布人：丹·皮珀尼2008年11月28日9:18 PM|永久链接|对此的答复

关于：联合思考

这正是萨姆森·阿布拉姆斯基（Samson Abramsky）在余代数、Chu空间和物理系统的表示.最后一个联合体，或通用模型见第7章。

发布人：大卫·科菲尔德2009年10月23日上午9:25|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

我刚刚在arxiv上发现了这篇论文，然后直接来到这里，看看是否有其他人注意到了这一联系：-）

发布人：丹·皮珀尼2009年10月23日9:42 PM|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

试图理解余代数

我误解标题了吗？
不是用联合思考，而是
想应用coalebra pov吗？

在他们自己的仪式上，
里面有一个详尽的介绍

MR2035107（2005b:16070）迈克利斯（Michaelis），沃尔特·科斯组合布拉斯（Walter Coassociative coalebras）。《代数手册》，第3卷，587–788，荷兰北部，阿姆斯特丹，2003年。

他还写了Lie类比

发布人：jim stasheff于2008年11月29日晚上10:41|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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是的：这里讨论的“联合布拉”有着完全不同的含义。

你知道范畴学家对单子上的“代数”有一个一般概念 $T型$ ，一个对象 $x个$ 装备有形态 $\α：T x至x$ 与单子结构兼容。代数的这个概念更符合泛代数在Birkhoff和其他人的意义上。例如，给定任何“等式理论” $\数学｛T｝$ 也就是说，一组基本操作，以及从基本操作派生的操作之间以（普遍量化的）方程式形式存在的一组公理，可以创建一个单子 $T型$ 所以代数小工具的类型 $\数学{T}$ 巧合类别为 $T型$ -范畴学家意义上的代数。这样，单子理论就变成了普遍代数的一个巨大的外推。

后来，人们发现进一步推广这种代数思想是有用的。如果 $T： C\至C$ 是任何函子，不一定配备单子结构，它定义了一个 $T型$ -代数只是为了成为一个物体 $x个$ 装备有形态 $\α：T x至x$ ，受……无条件约束！信不信由你，这确实是一个有用的概念。例如，在计算机科学中，许多数据类型（例如，字母表上的列表类型 $A类$ ，或标记了叶子的二叉树 $A类$ 等）被有效地描述为初始代数超过一个函子或另一个函元。（Joachim Lambek的一个简单但显著的结果是，如果 $x个$ 是首字母 $T型$ -在这个意义上的代数，然后是代数结构 $T x至x$ 是一种同构。因此，初始代数直观上是 $T型$ .)

在各种情况下，这最后一个代数概念的对偶也很有用。这是这里讨论的余代数的概念。Lambek结果双重显示，我们有终端 $T型$ -余代数也是下的“不动点” $T型$ 事实证明，许多数学结构都可以表示为终端余代数。

发布人：托德·特里布尔2008年11月29日11:57 PM|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

我想通过标题和帖子指出的是，代数和余代数在观点上是否存在巨大差异。我报道过所谓的两分法：建设/破坏；数据类型/观测-状态修改；算术归纳/分析归纳。

我们主要在集合的（代数）范畴中进行余代数运算。我们能一路走下去吗？例如reals作为终端余代数，这发生在偏序集的范畴中。我们可以在下半部放置一些余代数，并使用部分有序的非良基集吗？

范畴的概念本身是代数的吗？如果是这样的话，会有一个联合大脑版本吗？

为什么需要更长的时间才能意识到合并？是否如布雷格所言，某种公理化风格在20世纪初盛行？

发布人：大卫·科菲尔德2008年11月30日上午9:45|永久链接|对此的答复

关于：联合思考

我只是想提一下，量子测量也承认一个自然的联合特征。更准确地说，在有限维Hilbert空间和线性映射的范畴FdHilb中，张量积为单体结构，由交换特殊匕首Frobenius共单子体（X，d，e）规范诱导的余子X（X）-：FdHilb->FdHirb的“自共轭”（在指数意义上）Eilenberg-Moore余代数，正是自共轭算子H=sum_i a_i P_i的投影谱{P_1，…，P_n}。您可以在与Dusko Pavlovic合著的题为无总和的量子测量这一结果假设了另一个结果，事实上，该结果是最近与杰米·维卡里（Jamie Vicary）于正交基的一种新描述。最近的结果在TWF 268型.

发布人：鲍勃2008年11月30日上午8:20|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

Aczel提到欧几里德几何涉及最大化公理。拿希尔伯特的完备性公理:

V.2：线路完整性。对于点、直线和平面的系统，不可能以这样的方式添加其他元素，即这样广义的系统将形成一个新的几何体，并遵守所有五组公理。换言之，如果我们认为五组公理是有效的，那么几何元素构成了一个不易扩展的系统。

我们能用盲文理解这一点吗？

发布人：大卫·科菲尔德2008年11月30日上午9:36|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

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对于革命者来说，泽梅洛公理和芬斯勒公理之间最显著的区别是芬斯勒公论的某种本体论色彩。对于保守派来说，Zermelo公理的哲学背景是一个隐含的假设，即集合不存在，除非它们可以通过公理上固定的规则从给定的集合中导出。公理3（完备性公理）特别有趣。这类似于希尔伯特的几何完备性公理。Weyl和Fraenkel故意考虑了相反的情况，即限制公理假设最小系统满足其他公理。Weyl和Fraenkel的公理显然是受到公理和定义创造对象的革命性思想的推动，而太大的集合不应存在，而Finsler的完备性公理是受到大集合无论如何都存在的保守观点的推动，因此集合论应该对其进行研究。

不同的哲学背景意味着一致性主题的不同后果。只要柏拉图对物体的解释是不言而喻的，算术和欧几里德几何的一致性就不成问题。（第258-9页）

据推测，实域是从应用于希尔伯特几何公理的完备性公理中产生的夸最大的阿基米德领域。维基百科的条目雷亚尔说

R（右）是“完整的”，即在不使其不再是阿基米德场的情况下，再也不能添加任何内容。这种完整感与从超现实主义的数字，因为该结构以包含每个有序字段（超现实）的适当类开始，然后从中选择最大的阿基米德子字段。

这里发生了什么勾心斗角的事吗？它似乎康威的比赛形成了最后的联盟。

发布人：大卫·科菲尔德2008年12月1日上午9:36|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

$支持MathML的帖子（单击以获取更多详细信息）。$

约翰·阿姆斯特朗告诉我们：

…实数 $\mathbb{R}$ 是阿基米德场类别中的终端对象。

是否存在某种阿基米德函子使实函数成为最大不动点？

在谢尔盖·朗家代数我们被告知，对于每个有序字段 $K（K）$ 以及每个子字段 $F类$ 对于诱导序，有一个最大阿基米德子域 $K（K）$ 结束 $F类$ 根据Zorn引理。

我觉得这句话行不通。

发布人：大卫·科菲尔德2008年12月1日下午1:57|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

以上未提及的余代数的另一个方面是它们与计算机程序终止概念的联系。通常，当我们谈论一个可由图灵计算的函数时，我们会想象一个图灵机器接受一个输入，一直运行到它遇到一个“暂停”指令，然后留下一个结果。我们通常认为不可计算的函数在某种意义上表现不佳。

但在许多编程语言中，编写一个程序很容易，它将一个无限的整数列表作为输入，并返回这些整数的无限列表加倍。这个程序没有终止，所以它没有定义图灵可计算函数。然而，从某种意义上说，它表现良好，无论你给它什么输入流，它都会产生定义良好的输出流。从执行精确实数运算的算法到操作系统，许多算法都采用这种形式。因此，我们需要一个新概念——一种算法的思想，它可以处理无限流，但只要您继续提供输入，它就永远不会挂起。这样的程序被认为是“有生产力的”，生产力是可计算性的双重因素。

正如David提到的，代数与数据有关。F-代数给出了一个数据结构，与之相关的是结构递归的概念，即通过子元素上的递归计算数据结构的函数，这种方法保证了有限结构的终止。因此，数据+结构递归提供了有保证的可计算性。

大卫提到，联盟与国家有关。但我发现，从无穷数据结构的角度来思考更有帮助。与递归类似的是同余递归，在这种情况下，我们用“保护递归”替换结构递归。它与前一种情况完全是两重的——codata+受保护的递归提高了效率。因此，即使程序没有终止，联合文法也提供了一种很好的方式来解释程序的良好运行。

在开放式循环（如操作系统和文字处理器）的现实世界中，我们需要的往往不是可计算性，而是生产力（绝对不是双关语）。这使得联合推理成为一个重要的话题。

发布人：丹·皮珀尼2008年12月3日9:27 PM|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

让我介绍一下你的精彩解释你在上面写的东西。

你说这里

这让我意识到，外面有一个我一无所知的整个宇宙…

一种奇怪的感觉，不是吗？就像世界上有一个你从未听说过的大区域。

发布人：大卫·科菲尔德2008年12月4日上午9:23|永久链接|对此的答复

探索宇宙共存；主题：协同思维

我同意那种感觉。然而，将共同宇宙描述为“smos”更好吗？

发布人：乔纳森·沃斯邮报2008年12月9日下午3:00|永久链接|对此的答复

主题：探索宇宙共存；主题：协同思维

哦！

我花了10分钟才弄到…

我以为你是说你是说一个阿尔·卡普的角色，Shmoo公司或平滑（Smo）-你必须在最后一个页面上搜索一点…

但至少现在我知道这是一个可替代术语!

发布人：乔恩·奥布里2009年10月22日下午8:30|永久链接|对此的答复

阅读帖子余代数模态逻辑
网络日志：n类咖啡馆
摘录：将模态逻辑和余代数的思想与建模一阶理论的方法结合起来。
已跟踪：2009年9月7日12:49 PM

阅读帖子煤块缠结
网络日志：n类咖啡馆
摘录：我现在正沉浸在行政职责的海洋中，所以为了保持清醒，我想我应该记下我的一些想法。我们在这里谈到了一个术语模型。。。
已跟踪：2011年1月25日上午11:51

主题：协同思维

这里简要提到了两个二元理性。例如，与汤普森小组的一些链接如何？

发布人：jim stasheff于2012年9月20日下午1:50|永久链接|对此的答复

主题：协同思维

$支持MathML的帖子（单击以获取更多详细信息）。$

托德在类似的情况下提出了汤普森的小组在这里.

汤姆最近提起过在这里.

有没有一些很好的通用解释来解释它的普遍性？

发布人：David Corfield，2012年9月20日下午3:16|永久链接|对此的答复

n类咖啡馆

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2008年11月27日

协同思维

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