n类咖啡馆

啊哈。谢谢你指出这一点。这是一个书目条目的蠕形附录，从这个意义上说，它是在我希望使用平滑空间类别而不是流形来工作时引入的。然后我决定用不同的方式解决我的问题。在论文准备提交给裁判之前，我必须删除参考文献和其他更改。

然而，你可能是对的。

我觉得我们应该学习迭代积分吗？

根据我的经验，陈的迭代积分是一种由严格光滑函子编码的结构$n个$-路径的类别。

“经典”迭代积分，只涉及单个1-形式的迭代

是“路径有序指数”，它描述了从1-路到李群的光滑函子$G公司$.

当我们转到更高的函子时，更多种类的$对$-形式出现在被积函数中。

从2-路到2-群的2-函子来自循环空间上1-形式的路序积分，它本身是一个迭代积分，即

在这里$A类$取作用于李代数的李代数中的值$B类$接受值，表达式应该指示集成2形式的回调的操作$B类$在环路上$\伽马射线$，同时使用1形式的路径有序指数将其连续并行传输到循环的原点。

这已经讨论过了在这里.

在这个看起来很复杂的迭代积分后面有一个很好的简单图表描述。它真正表达了在严格的2群中有许多小正方形的极限$G_2=（H至G）$这样地：

我没有这一一般性陈述的证据，但我认为正在发生的事情是：

A光滑$n个$-函子完全由其导数定义$n个$-形态。这些导数通常可以表示为$对$-表单。有限上的函子值$n个$-因此，语态是由许多小的$n个$-如上图所示，每个语态都可以描述为一些$对$-形式。

因此$n个$-有限上的函子$n个$-态射是值的乘积的“迭代”和$对$-表单。

这就像是微积分基本定理的推广$n=1$变得武断$n个$.

我觉得我们应该学习迭代积分吗？

是的，它们是好东西。但让我来概括一下为什么陈以二事物：迭代积分和光滑空间。

杰夫引述了陈对平滑空间的研究。与光滑流形的类别不同，光滑空间的类别具有pushouts。这意味着您可以轻松地编写cospans。Jeff想构建坐标系，这是光滑空间中特别漂亮的坐标系。这将是平滑空间世界中的一个快照。

Chen开发了平滑空间的类别，主要不是因为它会有所有的推出，而是因为它是笛卡尔闭合的。这意味着平滑空间中的路径空间自动成为平滑空间。这有助于Chen在最少的麻烦和混乱的情况下发展迭代积分理论。

我第一次学习迭代积分是在90年代，当时我开始研究环路量子引力。这样的积分在那里起着很大的作用，甚至在整个规范理论中，当你用“路径阶指数”（也称为“全息”）进行计算时。你可以在甘比尼和普林的书中清楚地看到这一点：

• 鲁道夫·甘比尼和豪尔赫·普林，环路、结、规范理论和量子引力，剑桥大学出版社，剑桥，1996年。

当乌尔斯和我开始研究更高规范理论时，我们需要陈的工作的两个方面！我们需要迭代积分来计算沿路径路径的2-连接的完整性……我们需要光滑空间，以确保光滑空间中的路径空间再次是光滑空间！

OTOH为陆地行星探测器和欧罗巴任务提供资金恢复原状的2006年6月。

谢谢你的消息，内森和托比恩！

在研究这篇文章时，我很难找到NASA所有不同项目的当前状态。新闻文章很容易找到，但随着形势的不断变化，很难区分最新的文章和过时的文章，许多取消或无限期推迟的NASA项目已经让他们看起来非常健康的网页…直到你看到日期。

是否有一个简单的地方来概述所有项目及其资助历史？

是的，布莱克。但如果你进一步回顾过去，看看不太学术的来源，你会看到封面故事：

乔纳森·波斯特（Jonathan V.Post），《超级社会的星际力量》（Star Power for Supersocieties），Omni，1980年4月（第一篇预测银河系中心巨大黑洞的流行文章；第一篇关于J.波斯特发明“引力波电报”的流行讨论）。

重力波电报有一个发送者将一系列编码的大小行星和小小行星扔进黑洞。一旦我们有了LISA，如果发送者在附近，我们就成为了接收者。

是否有任何关于引力SETI的早期引证？

梅西的书《奇异同源理论》提出了立体同源理论。立方体很好的一个原因是两个立方体的乘积是一个立方物，所以，如果我没记错的话，你不必担心艾伦伯格-齐尔伯类型的东西。

在gerbes领域，Cheeger-Simons群是使用立方复合体定义的，这使得对循环空间进行越界变得更加容易。如果你用简单的方法做这件事，你最终不得不分解区间的棱镜$n个$-单工进入$n+1$ $（n+1）$-简单明了，非常漂亮，但更凌乱。

大卫写道：

根据人们选择的不同形状（球状、立方体、单纯形、opetopic等），对弱n范畴的处理方法之间的关系可以说什么。？

啊，这个问题太大了！

是不是有人希望它们都被开发出来，并在某种意义上表现出等价性，因为它们都能找到最方便的应用领域？

是的，确实如此。

我试着说小的关于这个巨大的问题。

现在看来，对于每个不同类别的“形状”，人们可能会使用它们来开发$n个$-范畴-球、单形、立方体、多单形、运算域等-有一个前置范畴：球状集、单形集、立方集、多单集、运算域集等。。

因此，一个好问题是：为了成为（弱）理论的合适基础，前置范畴必须具有什么性质$n个$-类别？

早在1983年，格罗森迪克就已经解决了这一问题追赶烟囱-请参阅“建模器”的讨论。但是，我不知道有谁知道他做了什么！

最近，克莱门斯·伯杰（Clemens Berger）和丹尼斯·查尔斯·西辛斯基（Denis-Charles Cisinski）在他们关于“几何瑞迪分类”（geometric Reedy categories）的论文中，在这个问题上取得了很多进展。我看到伯杰在这个问题上做了几次精彩的演讲。

警告：找到一类可以发展弱理论的前置范畴$n个$-分类并不像我说的那么简单，因为不同的方法$n个$-类别对所涉及的“形状”的使用非常不同。伯杰和西辛斯基正在研究一种方法，重点是$n个$-群胚大于$n个$-类别。

但是，人们相信$n个$-类别最终应该带有一个“神经”的概念$n个$-类别。这将是一个简单集，它应该是一个单纯形弱集$n个$-类别。

由于单纯形集在数学中是如此基础，在不同的弱定义之间进行转换时，神经似乎是一个自然的“中枢”$n个$-类别。这有点像你在美国乘坐德尔塔航空公司（Delta Airlines）的航班：每架航班似乎都要经过亚特兰大。

但是，让这项工作发挥作用似乎需要一些非常聪明的人付出很多努力——可能需要十年或二十年的时间。

西蒙写道：

梅西的书《奇异同源理论》提出了立体同源理论。

对。有趣的是，这本书是他们在我本科第一门关于同源性的课程中使用的。

立方体很好的一个原因是，两个立方体的乘积是一个立方，所以，如果我没记错的话，你不必担心埃伦伯格-齐尔伯类型的东西。

正确的。对于那些不知道“艾伦伯格-齐尔伯类型的事物”是什么的人，让我解释一下。假设您使用simplices定义同源性。然后，要将空间乘积的同调群与其同调群的乘积联系起来，您需要将单形乘积分解为多个单形。这是艾伦伯格和齐尔伯想出的一个组合难题。

如果你对把两个单纯形的乘积分解成一堆单纯形感兴趣的话，这个问题实际上非常有趣。但是，孩子们通常在尝试做其他事情的过程中不得不面对这个问题：即计算空间乘积的同源性，比如$S^n\倍S^m$然后，Eilenberg–Zilber组合学看起来像是一个噩梦般的离题。

使用立方体而不是简单体可以避免这种情况，因为琐碎的将立方体产品分解为立方体：产品是一个立方体。因此，Massey写了一本书，采用立体方法来研究同源性。

据我所知，这是关于唯一的三次同调优于单次同调的方法。这是一个很大的优势。但是，使用simplice有更显著的优势。

一个相当小的问题是，在进行单数同源性时，您不需要用退化单形进行修改——奇迹般的是，您仍然可以得到正确的答案。对于立方体同源性，您确实需要用简并立方体进行修改。

但这个奇迹有点误导人：你真的应该通过退化的简单模型进行修改，您需要在更高级的情况下进行修改。

单纯形的一个更重要的优点是单纯形类别（包括$-1个$-单工！）是幺半群上的自由幺半群范畴。这就是bar构造的产生，我们用它来定义群、李代数、环和所有其他由monad定义的小工具的上同调。（如果你不知道酒吧的结构，请参阅我的泛代数注释.)

幸运的是，我们不需要与一形状的种类：我们可以使用立方体或单纯形，这取决于我们感兴趣的是什么。