运输、无函子和n-函子下降的局部跃迁| n-类咖啡馆

2006年12月8日

迁移、无函子和n-函子下降的局部跃迁

Urs Schreiber发布

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正在讨论中在这里我们发现，我们需要统一使用本文标题中的术语。这是我对正在发生的事情的看法。请随时添加您的评论，并纠正我需要纠正的地方。

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符号是这里的一个问题。在下文中，我将冒昧地使用我自己的ideosyncratic符号，这是我一直在这里讨论的符号。

因此，在我看来，问题如下：

我们有一个域名 $n个$ -类别

(1)

P_n（X）

和一个密码子

(2)

T型

我们想谈谈 $n个$ -函子

(3)

\矩阵{tra}:P_n（X）\到T

而不是实际这么做。相反，我们希望假设我们能够处理 $\数学{tra}$ “本地”。这意味着我们假设一个态射

(4)

p:p_n（U）到p_n

假设我们知道 $\数学{tra}$ 向后拉 $对$ 是。

或者甚至不完全是这样。但请考虑一下，我将很快讨论如何忘记 $\数学{tra}$ 所有这些都不会真正丢失信息。

所以，总的来说，我们现在在本地 $P_n（U）$ ，甚至可能不接受值 $T型$ 不再。相反，可能存在一个态射

(5)

i:T'\至T

和我们的局部函子取值 $T’$ :

(6)

\马特姆{tra}_U：P_n（U）\到T'\,.

如果你愿意，你可以考虑 $T’=T$ 和 $i=\mathrm{Id}_T$ 在以下所有方面。但我声称你会想允许非身份 $我$ 最终。

好吧，这么说 $\数学{tra}$ 局部看起来像是在接受值 $T’$ 就是说有一个等价物

(7)

\阵列{P_n（U）和堆栈｛P｝｛\to｝和P_n（X）\\\马特姆{tra}_U\向下箭头\；\；&\sim\向下箭头t&\;\;\向下箭头\数学{tra}\\T'&\stackrel{i}{\to}&T}\,.

这个等价物是局部平凡化我们的 $n个$ -函子。更准确地说，为了强调其中的假设，我说这是一个 $对$ -本地 $我$ -轻视.

（我认为，更广泛地说，我们可能想削弱等效性 $t吨$ 到一个特殊两用附加。我们在这个设置中所做的一切都可以通过假设这里存在特殊的双义性来完成。我谈到的应用程序中，这种放松的本地琐事概念在在2d上质量功能测试：从箭头到磁盘.)

好的，很好。但我们可能会发现，在全球范围内 $\数学{tra}$ 只是不能作为一个具体的对象，但我们可以通过了解它的本地版本来重建它 $\马特姆{tra}_U$ 以及一些编码在平凡化态射中的数据 $t吨$ .

正如我在中详细讨论的那样运输、日常化、过渡我们可以证明，给定一个 $对$ -本地 $我$ -如上所述的琐碎化得到以下数据。

让 $（P_n（U））^{[n]}$ 成为 $（n-1）$ -折叠回拉 $P_n（U）$ 沿着它本身。如果 $U到X$ 是的封面 $X（X）$ ，这只相当于 $（n-1）$ -折叠补丁的交点。

我们得到的数据是：

关于双交叉点的等价性

（8）

g:p_1^*\mathrm{tra}_U\至p_2^*\mathrm{tra}_U\,.

关于三交的等价性

(9)

f:p{23}^*g\循环p{12}^*g \到p{13}^*

关于四交的等价性

(10)

\阵列{p_2^*\数学{tra}_U&\stackrel{p_{23}^*g}{\to}&p_3^*\mathrm{tra}_U\\p_{12}^*g\uparrow\；\；&\近排&\;\;\向下箭头p{34}^*g\\p_1^*\mathrm{tra}_U&\stackrel{p{14}^*g}{\到}&p_4^*\数学{tra}_U}\;\;\;\西马克\;\;\;\阵列{第2页^*\mathrm{tra}_U&\stackrel{p_{23}^*g}{\to}&p_3^*\mathrm{tra}_U\\p_{12}^*g\uparrow\；\；&\西罗&\;\;\向下箭头p{34}^*g\\p_1^*\mathrm{tra}_U&\stackrel{p{14}^*g}{\到}&p_4 ^*\mathrm{tra}_U}

等等。

（在最后一张图中，三角形应该由相应的 $（f）$ 第条）

这个，我叫过渡数据我的原件 $n个$ -函子 $\数学{tra}$ 罗斯街会称之为下降数据，我想。比较第2页和第3页，共页

罗斯街
下降理论

定义为5英寸TraTriTra公司如果你愿意的话。

注意全局定义 $\数学{tra}$ 不再出现在任何地方。只有本地 $\马特姆{tra}_U$ dos和它的回调之间的大量形态，所有这些都可以从局部平凡化中获得 $t吨$ 如果给了一个。

但是，这就是重点，即使没有 $t吨$ 是从开始的，没有全局定义 $\数学{tra}$ ，我们可以如上所述考虑过渡数据。事实上，这就是为什么这一切好主意，在适当的情况下，我们可以重建从转换数据中全局定义 $\数学{tra}$ .

如果是这样，我们已经证明了 $对$ -本地 $我$ -微不足道的 $n个$ -函子构成 $n个$ -堆栈.一个 $n个$ -堆栈，共 $问$ 上的 $X（X）$ 换句话说，就是 $问$ s打开 $X（X）$ 和胶粘的一样 $问$ 上的 $U型$ ，其中 $U到X$ 是一个封面。

更严格地说，我们有一个 $n个$ -下降数据类别

-它的对象是 $n个$ -如上所示，用过渡变形着色的单纯形

-它的形态是 $n个$ -简单。这里有两种方法可以看到相同的明显结构。对于 $n=2个$ 我把它拼出来了TraTriTra公司这与罗斯·斯特尔（Ross Street）在其更高血统理论中使用的方法相同。

在列出几个示例之前，我现在将尝试说明什么是anafunctor，以及上面是如何描述的，因为 $n=1$ 与算符有关。

在中定义了非函子

M.Makkai先生
避免一般范畴理论中的选择公理
《纯粹与应用代数杂志》，第108卷，第2期，1996年4月22日，第109-173页（65）
.ps（磅）从M.Makkai的现场
anafun1.pdf格式（标题和内容）
anafun2.pdf格式（引言）
anafun3.pdf格式（正文）

定义（麦凯先生）对于 $A类$ 和 $B类$ 两个类别，一个 算符

(11)

F:A\至B

从 $A类$ 到 $B类$ 是一个跨度

(12)

\阵列{|F|&\stackrel{F_1}{\到}&B\\F_0\向下箭头\；\；\\A类}

具有 $表格_0$ 对对象和态射满射，并且使得 $A类$ 具有具有给定源和目标对象的最多一个预图像。

所以，用文字来说，不是直接从 $A类$ 到 $B类$ 我们有点决心 $A类$ 依据 $|F类|$ 然后从 $|F类|$ 到 $B类$ .

现在我将尝试说明如何从 $对$ -本地 $我$ -1-函子的转移数据我们以规范的方式获得了一个函子。

事实上，我已经在在 $n个$ -运输：通用过渡，尽管是针对这种情况 $n=2$ （当然包括案例 $n=1$ 我们现在限制在。）

也就是说，从给定的封面

(13)

p:p_1（U）至p_1

我们可以组成类别

(14)

P_1（U ^\项目符号）

属于转移广群中的路。它的态射是根据 $P_1（U）$ 以及中任意两个对象之间的唯一态射 $P_1（U）$ 用相同的投影，除以一个明显的等价关系。

这通常配备有投影

（15）

\阵列{P_1（U ^\项目符号）\\\向下箭头\\P_1（X）}

如果你仔细想想，上面提到的关系正是这样的，它们确保了 $P_1（X）$ 具有具有指定端点的唯一提升。

（我想我现在明白了，这正是拉回图（109）中的内容

托比·巴特尔斯
高规范理论I：2-束
数学。CT/0410328号

也实现了。）

那么，任何 $对$ -局部过渡数据（下降数据） $（\mathrm{tra}_U，克）$ 规范地定义函子

(16)

（\mathrm{tra}_U，g）：P_1（U ^\项目符号）\到T\,.

总之，从给定的 $对$ -局部转移数据（下降数据）我们构造了一个函子

(17)

（\mathrm{tra}_U，g）：P_1（X）\至T

由跨度给出

(18)

\阵列{P_1（U^\bullet）和\stackrel{（\mathrm{tra}_U，g）}{\到}&T\\\向下箭头\\P_1（X）}\,.

相反，我认为每个函子都可以被解释为 $对$ -给定1-函子的局部转移数据 $对$ .

示例：

最自然的例子是通过 $X（X）$ 成为一个平滑的空间 $U到X$ 是一次沉没 $P_n（X）$ 有平滑的概念 $n个$ -中的路径 $X（X）$ ，让 $p:p_n（U）到p_n$ 是上的明显诱导态射 $n个$ -让眼前的一切都平顺。

那么剩下要改变的就是态射 $i:T'\至T$ .只需选择不同的 $我$ 我们重新获得了一个由著名建筑组成的动物园。

对于 $G公司$ 任何普通的李群和

(19)

i=\mathrm{Id}_{\西格玛（G）}

的类别 $对$ -本地 $我$ -转换数据与 $G公司$ -描述局部平凡化的循环 $G公司$ -束连接打开时 $X（X）$ 这是一个简单的练习。

对于 $G_2型$ 严格Lie-2群

(20)

i=\mathrm{Id}_{\西格玛（G_2）}

的类别 $对$ -本地 $我$ -转换数据与 $二氧化硫$ -描述椰子地方化的 $二氧化硫$ -2束带有“假扁平”连接。这是约翰和我在论文中讨论的例子#.给出了一个大大简化的证明在这里.

有一种相当明显的方法可以将这一点从结构2-群推广到结构2-群结构2-广群由此产生的共循环数据是Igor Bakovic讨论的数据#（不过，他不讨论关系）。

假平面约束解除如下：

对于 $二氧化硫$ 严格Lie-2群和 $\材料{INN}（G_2）$ 它的3-群内自同构与for

(21)

i=\数学｛Id｝_{\Sigma（\mathrm{INN}（G_2））}

的类别 $对$ -本地 $我$ -转换数据与 $二氧化硫$ -描述当地琐碎事物的椰子 $二氧化硫$ -2个任意连接的捆绑包，重现Breen-Messing发现的数据。证明已给出在这里.

这只是一个特例，但值得一提的是：

对于 $G_n=\西格玛^n（U（1））$ 这个 $n个$ -折叠悬挂 $U（1）$ 和

(22)

i=\mathrm{Id}_{\西格玛^n（U（1））}

的类别 $对$ -本地 $我$ -转换数据与指定自行车.我证明了这一点 $n=2$ 在这里我声称，很明显，该声明适用于所有人 $n个$ （但我还没有写下证据）。

在所有这些例子中 $i=\mathrm{Id}$ 身份。所以所有这些例子都应该对应于算符。

但是，我声称，因为 $n\gt 1$ 拥有非平凡的东西是有用的 $我$ .标识 $我$ 总是给我们一辆自行车完全局部平凡化”. 但我们经常想这样做当地预隔离.

例如：将gerbe局部平凡化会产生如下结果过渡丛也称为束gerbe。只有当我们反过来也在本地将这个过渡包淡化时，我们才能回到上面提到的Deligne循环。

所以，对于

(23)

i：\西格玛（\西格玛（\mathbb｛C｝^\times））\stackrel{\subset}{\to}\西格玛（1d\mathrm{兽医}_\mathbb{C}）

正则包含，2-范畴 $对$ -本地 $我$ -转换数据在规范上同构于带连接的线束gerbes.证据是在这里.

事实上，我们应该从包含链的角度思考

(24)

\西格玛（\Sigma（\mathbb{C}^\次）\stackrel{\subset}{\to}\西格玛（1d\mathrm{兽医}_\mathbb{C}）\stackrel{\subset}{\to}\mathrm{Bim}（\mathrm｛视频｝_\mathbb｛C｝）

这显然使线团gerbes成为1级线路2束.讨论了这一方面在这里.

这有一个明显的概括。对于 $H（H）$ 任何普通团体 $H\mathrm{比托}$ 单体范畴 $H（H）$ -比特数，对于规范包含

(25)

i:\Sigma（\mathrm{AUT}（H））\stackrel{\subset}{\to}\Sigma-（H\mathrm{BiTor}）

的2类 $对$ -本地 $我$ -转换数据在规范上同构于带连接的主（非贝叶斯）双联格贝斯如Aschieri-Jurčo（在物体上）所定义。同样，只要我们只与两个组合作，这种联系就是“假平”的。证据是在这里.

一般来说，如果我们采取 $我$ 成为一名表示的 $n个$ -组

(26)

i:\西格玛（G_n）\到n\mathrm{Vect}

我们得到一个相关 $n个$ -捆绑。

上述对线团gerbes的讨论可以理解为以下典型表示的一个例子 $\西格玛（U（1））$ 在 $\mathrm{Bim}（\tathrm{Vect}）\subset 2\mathrm}Vect}$ 对此进行了解释在这里.

对于3-束和2-gerbes，人们会考虑更长的共域内含物链，对应于更多的局部平凡化步骤：2-gerbe有一个过渡1-gerbe，它有一个具有过渡函数的过渡束。

例如，与一维相关的夹杂物链向量3-束我已经讨论过了在这里.

所有这些例子都假设过渡态是等价的。相反，如果我们考虑转换数据（算符）并要求转换只是特殊的双元附加词，那么我们就从经典输运( $n个$ -连接线束）至量子输运（进化/传播 $n个$ -维量子场论）。

例如，包含

(27)

i=\mathrm{Id}_{\Sigma（\mathrm{Vect}）}

而要求转换只是特殊的双连接，则会产生本地数据，即Fukuma-Hosono-Kawai状态和模型二维拓扑场理论。我讨论过这个在这里.

二维有理共形场理论本质上就是内化在模张量范畴中的拓扑场理论 $C类$ 比 $\马特姆{兽医}$ 相应地

(28)

i:\Sigma（C）\stackrel{\subset}{\to}\mathrm{Bim}（C）\stackrel{/subset}}{\to}\数学{TwBim}（C）

可以理解为在FRS描述有理共形场论。我说的这个在这里和在这里.

现在到此为止。我会满足于解决所有这些下降数据的例子 $n个$ -函子作为 $n个$ -算符.可能是“广义的” $n个$ -算符。请让我知道这是否是合理使用术语。

下面的评论部分讨论了关于这个主题的更多注释，如下所示：

无函子的形态

关于构成反函子的态射时所遇到的特殊性的一个注记。与进行比较托比的评论下面。

关于无函子和变换

关于函数与具有转移数据的函数如何等价的注记根据2-函子的转移数据定义2-函子。本质上是对我所写内容的重新表述过渡和普遍过渡之前，现在着眼于anafunctor的语言。

发布于2006年12月8日上午5:45 UTC

此条目的TrackBack URL:https://golem.ph.utexas.edu/cgi-bin/MT-3.0/dxy-tb.fcgi/1069

51条评论和19条反馈

Re:输运的局部跃迁、反函子和n-函子的下降

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在他关于反函子的文章中，M.Makkai用术语描述了几乎所有的东西两个等效定义。唯一的例外是非函子的态射，这在其他的more中没有出现跨度方面的优雅定义。

我想以更优雅的跨度形式理解它们的形态构成。

我知道托比·巴特尔（Toby Bartels）在他的论文中，甚至在内部都写下了这一点。但为了我自己的利益，我想看到相关结构去掉复杂性写下所有内化的东西。

在我今天剩下的一点时间里，我想出了这.

如果托比或其他任何人能迅速检查我写下的反函子的态射组成是否正确，是否符合标准定义，我将不胜感激。

谢谢！

发布人：乌尔2006年12月8日下午4:52|永久链接|对此的答复

关于：迁移、无函子和n-函子下降的局部跃迁

我这里漏掉了一些东西——可能是一个不言而喻的假设。在示例$A=P_1（X）$中，我们有一个带值的函子
类别。定义3似乎主要取决于X，而sigma似乎是
________从X到|G|。

发布人：jim stasheff于2006年12月9日凌晨3:01|永久链接|对此的答复

关于：迁移、无函子和n-函子下降的局部跃迁

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我在这里遗漏了一些东西[…]

哦，谢谢。我写过 $X（X）$ 应该写在哪里 $A类$ .

发布人：乌尔2006年12月9日下午12:54|永久链接|对此的答复

Re:输运的局部跃迁、反函子和n-函子的下降

是的，没错。（最后一页的线性图末尾有一个打字错误，但这很明显。）

请注意，我和Makkai都不允许我们讨论σ（因此也不是t吨). 这是因为您需要选择公理来证明（严格）函子σ的存在，即使这样它也不会是光滑的。（或者换言之，只有当选择公理在空间范畴中成立时，它才存在于严格的空间和函子范畴中。）这可能是Makkai不包含这个定义版本的原因之一。

现在，我们可以包括最后一页顶部图表中的所有内容除了用于地图t吨然后我们可以这样说，因为函子的性质|F类|×_X（X）|G公司| ×_X（X）|H（H）|至|F类| ×_X（X）|H（H）|是对对象和态射的一个满射（或者更一般地说是覆盖），我们想要的函子之间仍然存在一个自然变换（正如你所指出的，它不再有|G公司|）。事实上，这正是我论文（第三版）中图（118）后面的句子的意思。

我现在无法阅读Makkai，因为我在这台机器上没有PostScript阅读器（而且它的硬盘已满到爆炸点），所以我无法给出一个明智的理由来解释Makkai为什么没有做出同样的论点。但我确信他知道怎么做。

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月10日1:24 AM|永久链接|对此的答复

非函子的态射

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非常感谢Jim Stasheff和Toby Bartels指出了拼写错误！我想我现在已经更正了，更正的文件是在这里.

托比写道：

请注意，我和Makkai都不允许我们讨论 $\西格玛$ （因此也不是 $t吨$ ). 这是因为你需要选择公理[…]

这可能是Makkai不包含此定义版本的原因之一。

好的，我理解。或者至少是这个想法。因为我画的图表应该只是Makkai在上面所做的事情的翻译第15页当他说

[…]与任何 $位于|G|X；$

我不知道该如何选择 $t吨$ 做不涉及选择公理。我想答案隐含在你的（托比）图表（118）事实上，正如你所写

事实上，这正是我论文（第三版）中图（118）后面的句子的意思。

我需要考虑一下。

发布人：乌尔2006年12月11日上午10:54|永久链接|对此的答复

Re:非函子的态射

我不知道该如何选择t吨做不涉及选择公理。

但是t吨只是集合中的一个元素（已知被占用）。你不需要选择单身！

3.（iii）中的图（以自己的方式）与你在无函子的形态中的图具有相同的观点。但它是逐点进行的，不需要全局选择函数。

总体情况如下：A类,B类、和C类设置，让（f）是来自A类到B类，并让克是来自的函数A类到C类。假设要定义一个函数小时从B类到C类这样三角形就会相互转换。可以（使用Choice）选择一个节（f）的'（f），然后让小时是的复合物（f）'和克在某些情况下，可以证明此组合独立于所选的截面。这就是你要做的。

或者，可以查看每个元素x个属于B类并考虑如何克(年)变化如下年随纤维变化（f）结束x个在某些情况下，可以证明克(年)独立于年，只要（f）(年)已修复。然后可以定义小时(x个)将成为克(年)对于任何年结束x个这就是Makkai所做的；它不需要Choice，但它明确引用了元素。

最后，我们可以考虑（f），它是笛卡尔平方的子集A类（会员制——理论上，它由成对会员组成(年,z（z）)这样的话（f）(年) =（f）(z（z）). 但它是由一个普遍属性定义的；范畴理论家将其包含映射称为“核对”。）从这个内核到A类在某些情况下，可以证明其复合材料克都是平等的。在这种情况下，集合论的一个定理是小时根据需要存在。这个定理是这样的不需要选择；事实上，它坚持住了任何类别，只要（f）是一个正则满射，并且有一个核对。这就是我所做的。

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月11日晚上10:30|永久链接|对此的答复

Re:反函子的态射

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在这种情况下，集合论的一个定理是，一个唯一的函数h如所愿地存在。

那很好。你有没有想过把论文中相应的结构从1类提升到2类？

发布人：乌尔2006年12月12日上午10:15|永久链接|对此的答复

关于：迁移、无函子和n-函子下降的局部跃迁

这看起来很合理。至于检查错误，我只查看了对函数的引用；但从粗略的直觉来看，我喜欢这一切。

然而，我想强调一点：算符应该被视为标准类别（或至少是内部类别）之间的同构概念。你可以使用（严格）函子只有如果选择公理在您的上下文类别中成立。（特别是，Mac Lane和Eilenberg能够在他们最初对函子的定义中摆脱这一点，因为他们在集合类别中使用了Choice。）因此，Makkai最初写这篇论文是因为他想考虑Choice在集合类别失败的可能性，我使用了一个算符，因为我是在光滑流形的范畴中工作的，而Choice肯定失败了。（顺便提一句，选择的确切说法是，每个封面都有一个部分；你需要用封面是什么的概念来装备这个类别，甚至可以讨论什么是算符。在集合的类别中，封面是一个满射；在光滑流形的范畴中，可能最好让覆盖是满射浸没，尽管我的论文需要一个满射局部微分同构，幸运的是，它产生了一个等价的2范畴。）

因此，当考虑某些血统数据是否定义类别之间的同构时，它们定义一个安娜函子。

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月10日凌晨1:41|永久链接|对此的答复

关于：迁移、无函子和n-函子下降的局部跃迁

顺便说一下，如果你对Makkai关于饱和的算符，我很确信这些是（在李群胚的上下文中）Hilsum–Skandalis形态，这是相当成熟的。所以李群理论学家可能做得很正确。

发布者：托比·巴特尔斯2006年12月10日凌晨1:49|永久链接|对此的答复

关于：迁移、无函子和n-函子下降的局部跃迁

我对函数中关于“span”的任何*概念性*注释感兴趣
与“roof”（例如alg top中的倒置等效项）相比/
同伦理论。

发布人：jim stasheff，2006年12月10日下午7:25|永久链接|对此的答复

关于：迁移、无函子和n-函子下降的局部跃迁

我对任何东西都感兴趣概念的评论函子中的span与alg-top/同伦理论中的反转等价物中使用的roof的比较。

据我所知，“span”只是（初等）范畴理论中的一个通用术语，用于描述一对具有公共域的态射。我不知道“屋顶”是什么意思。

我认为同伦之前所考虑的空间之间的态射的正确概念不是一个（连续的）映射，也不是这样的同伦等价类（如果要使用ω群胚，那么这是一个无用的步骤），而是一个跨度，它的第一条腿在所有同伦群上诱导同构。这相关吗？

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月11日凌晨3:35|永久链接|对此的答复

跨度和屋顶

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我对函子中的“span”与alg-top/同伦理论中的“roof”相比的任何概念性评论都感兴趣。

据我所知，“span”只是（初等）范畴理论中的一个通用术语，用于描述一对具有公共域的态射。我不知道“屋顶”是什么意思。

我猜吉姆·斯塔舍夫（Jim Stasheff）指的是“屋顶”在本地化（环定位的多对象版本）。

例如，参见第19-20页这.

因此，“屋顶”在特定的上下文中是“跨度”。

发布人：urs公司2006年12月11日下午1:19|永久链接|对此的答复

2-算符？

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那么有关于2-算符?

考虑到我上面写的所有关于仿函子如何像仿函子的下降数据的内容，我想我知道2-仿函子应该是什么。但有人谈论过2-仿函元吗？

我之所以对我们讨论的非函子的态射合成感兴趣的一个原因在上面对于2-算符，模拟问题是束gerbes理论中的一个老问题：

生活在不同的满射淹没环境中的丛沙鼠之间的态射是什么 $Y（Y）$ ?

有一些建议的解决方案，如丹尼·史蒂文森的论文，但最好能有一个大致的了解。

也就是说，正如我试图指出的，一个bundle gerbe只不过是一个应该被称为2-anafunctor的东西。丛格点的形态对应于这两个2-无函子的（伪）自然变换，以及不同格点上形态的微妙之处 $Y（Y）$ 正好符合我们讨论的微妙之处在上面.

发布人：乌尔2006年12月11日上午11:09|永久链接|对此的答复

回复：2-算符？

[A] bundle-gerbe只不过是一个2-算符。

在某些情况下，束不是应该称为算符的东西。具体来说，校长G公司捆绑在一起B类只不过是的（绝对）离散群胚中的一个函子B类到单对象广群G公司更一般地说，一个函子（至少是适当饱和的？）H（H）到G公司定义了H（H）本金(H（H）,G公司)双包线（即Hilsum–Skandalis形态）。

既然捆绑gerbe只不过是一个应该被称为2捆绑的东西，你似乎走上了正轨！

发布者：托比·巴特尔斯2006年12月11日晚上10:38|永久链接|对此的答复

回复：2-算符？

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[A] bundle-gerbe只不过是一个2-算符。

在某些情况下，束不是应该称为算符的东西。

这两种说法略有不同。如果“是”的意思是比“等于”更强的东西，那么我们应该这样说

反函子（在群中有值）是主束的转移函数（可能有连接）。

对于捆绑gerbes也是如此。一束gerbe是不是2束（至少不在基本空间上）-它是2束的“过渡2功能”。

很抱歉对此吹毛求疵，但这正是我们开始讨论的关键所在。

中的anafunctor类别 $P_1（X）$ 到 $\西格玛（G）$ 是规范同构到“微分”范畴 $G公司$ -1-循环“开 $X（X）$ 并且它（仅且非规范地）等价于 $G公司$ -束（在总空间的意义上 $B类$ 带投影 $B至X$ 等），连接打开 $X（X）$ .

当然，最终我们不需要关心任何超越等价性的东西，也许这就是你已经在做的。但我认为，就目前而言，当我们关注一个函子细节的特殊性时，值得指出的是，这里的游戏中的一些等价物实际上是同构，而其他等价物则不是。

更一般地说，一个函子（至少是适当饱和的？） $H（H）$ 到 $G公司$ 定义了 $H（H）$ 主要的 $（高、中）$ bibundle（即Hilsum-Skandalis态射）。

有趣！让我看看我是否理解：

对我来说，一个 $（小时，克）$ -打开圣经 $X（X）$ 对于 $H（H）$ 和 $G公司$ 具有的组 $G公司$ 作用于 $H（H）$ ，构成群的交叉模，是一个函子

(1)

g:\mathrm{Disc}（X）到（H\到g）

从离散范畴 $X（X）$ 到 $（H至G）$ ，其中 $（H至G）$ 表示与上述交叉模相对应的2-群，此处视为单纯群胚（即不使用单体结构）。

换句话说，这是 $H（H）$ -具有特殊属性的bundle，其图像在地图下 $t:H\至G$ 是一个琐碎的 $G公司$ -cocycle（具有固定的平凡化）。

这大概是你说“ $H（H）$ -本金 $（高、中）$ -bibundle“？

Hilsum-Skandalis态射

我必须查一下。在Henriques&Metzelder中找到了一个定义：无效球形物的呈现第7页：

定义2.6.让 $G公司$ 和 $H（H）$ 成为光滑群胚。A类（Hilsum-Skandalis）态射从 $G公司$ 到 $H（H）$ 由歧管组成 $P（P）$ ，个地图 $s_P:P\至G_0$ , $t_P:P\至H_0$ ,的左动作 $G公司$ 在 $P（P）$ 使用底图 $s_P（s_P）$ ，正确的操作 $H（H）$ 在 $P（P）$ 带底座地图 $温度（TP）$ ，以便：

(1) $s_P（_P）$ 是 $H（H）$ -不变的， $温度（TP）$ 是 $G公司$ -不变量；

（2）的行为 $G公司$ 和 $H（H）$ 在 $P（P）$ 兼容：给定 $在p中$ , $（gp）h=g（ph）$ ;

(3) $s_P:P\至G_0$ ，作为 $H（H）$ -与底图捆绑 $温度（TP）$ ，是负责人。我们经常会滥用符号并简单地用以下方法表示这种态射 $P（P）$ .

发布人：乌尔2006年12月12日上午10:02|永久链接|对此的答复

回复：2-算符？

亨利克·梅策尔德

（请注意，（1）和（2）使其成为双束花，而（3）使其变成双束花H（H）负责人）

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月14日凌晨1:51|永久链接|对此的答复

回复：2-算符？

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亨利克·梅策尔德

（请注意，（1）和（2）使其成为双束花，而（3）使其变成双束花 $H（H）$ 负责人）

可以。所以从道德上讲，Hilsum-Skandalis态射对于群胚来说就像双模对于代数一样。它是一个类群双扭器.

唯一微妙的是，对于一个双模，我们只需要兼容的左右动作，对于一个双模托索此外，我们希望要求这两项行动中的一项成为主要行动。（如果 $H=G$ ，但不需要。）

因此，通过协等式构造，HS-态应该有一个或多或少明显的组合，两个平行HS态之间的2-态应该是与左右动作兼容的任何群胚束同态。

很不错的。这正接近我想问的一个问题：算符和亵渎者?

Makkai在介绍中提到安娜函子暗指赞成的意见仿函子有丝分裂其中包括后期和前期。

到目前为止，我还没有真正理解这个类比！

但考虑到你声称那是一个饱和的在李群的上下文中，一个函子是Hilsum-Skandalis态射，并且这种态射似乎只不过是一个位函子，因此类似于上的函子 $H\times G^\mathrm{op}$ ，现在看起来好像

饱和anafunctor是profunctor

还是这样？我需要考虑更多。

发布人：乌尔2006年12月14日上午11:21|永久链接|对此的答复

回复：2-算符？

但是，假设你声称饱和无函子在李群的上下文中是Hilsum-Skandalis态射。

我不确定这是不是真正地真的。但事实是这样的。

发布者：托比·巴特尔斯2006年12月14日11:22 PM|永久链接|对此的答复

回复：2-算符？

算符和假言符之间的关系是什么？

一方面，只有饱和的算符才能这样描述为profunctor。另一方面，只有可表示的profunctor定义了anafunctor。然而，根据等价性，可以公平地说，算符与可代表的亵渎者。（这是因为每一个函子都是自然同构的饱和函子，这是考虑到组合的，给出了双范畴的等价性。）

因此，H-S态射对应于饱和无函子的思想类似于函子的可表示性对应于丛的公理。我不确定这是不是真的，但应该是这样的。

到目前为止，我还没有真正理解这个类比！

据我所知，这并不意味着比“pro”和“ana”可以一起出现来描述同一主题的不同变体更精确。

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月14日下午11:39|永久链接|对此的答复

回复：2-算符？

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我有一个建议 $n个$ -的anafunctor应为.Explicit $n=2$ 用一个相当简单的概括 $n个$ .

我的建议是 $n个$ -算符是从 $n个$ -在我称之为“泛跃迁”的构造下具有跃迁数据的函子#–一定程度的推挤。

为了使其有意义，它应该简化为Makkai对 $n=1$ 。确实如此。我在这里写了一个简短的注释：

关于反函子和转换.

欢迎发表意见。本质上，我只是重申我在别处写的关于“ $n个$ -运输”，但现在尝试直接接触仿函数语言。

发布人：乌尔2006年12月12日下午2:40|永久链接|对此的答复

回复：2-算符？

关于非函子和变换。

好的。我需要考虑一下。

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月14日凌晨1:52|永久链接|对此的答复

回复：2-算符？

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关于非函子和变换。

好的。我需要考虑一下。

我现在纠正了在标记一些图表时的一些有趣错误。很抱歉。但我想你还是有了主意。

发布人：乌尔2006年12月14日下午2:12|永久链接|对此的答复

遗忘结构，记住选择

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我讨厌自己在这里连续写下第四条评论，但请记住，情况可能会更糟：我可能正在写一个新条目！；-）

无论如何：既然我们在理解彼此的术语方面取得了一些进展，我想更详细地听听托比和/或约翰对我处理这个问题的方式的看法。

似乎我一直在隐式地使用一个函子，将它们（最初，在我的论文中）称为“Tech路径群胚”上的函子，（后来）称为覆盖的转移群胚中的路径上的函元。

但我一直认为，这些函子可能是通过“局部平凡化”一个全局定义的函子而获得的，也就是说，它是在域上定义的，而不仅仅是在域的满射上。

当然，正如我们在不同时期都强调过的那样，“全球定义的”事物通常本身并不是直接意义上的连续/平滑。

在反函子的语言中，我认为我采用的语言如下，我对任何人对该策略的评论都很感兴趣：

而环境类别如 $\mathrm{顶部}$ 或 $抄送$ 没有每个满态的部分（“选择公理失败”），有一个健忘的函子 $\数学{集合}$ 如果我们允许自己在裸集上使用选择公理（我愿意这样做），那么在应用该函子之后，部分确实存在。

例如，对于 $A类$ 一些领域和 $|F|\至A$ 一些满射，都在我们的环境类别中，我们通常没有任何部分

(1)

s:A\至|F|

但一旦我们忘记了额外的结构（例如拓扑或平滑结构），我们就会这样做。

这允许考虑上的函子 $A类$ ，不属于我们的环境类别。而不是通过内部 $\mathrm{顶部}$ 或至 $抄送$ ，我认为给他们配备一个平滑的结构通过指定这一点以及如何将其拉回 $|F类|$ 等效（内部仅为 $\数学{集合}$ )到函子（on $|F类|$ )这是连续的/平滑的，因为它存在于内部 $\mathrm{顶部}$ / $抄送$ .

在我看来，这似乎放大了存在的一个算符的性质，但这只是在Makkai定义它们的方式中隐含的，而在Toby定义它们的方法中更不明显（事实上，这是如此隐含，以至于我直到最近才完全忽略它）：这是与下降数据。

顾名思义，这正是沿着灌水区下降的过程

(2)

\阵列{|F类|\\\向下箭头\\A类}\,,

表示楼上的实体就像楼下的什么东西被拖上来了。

这很重要，不是吗？例如，在我看来，这就是Makkai给出的算符精确定义的正当理由：

有人可能会问，为什么我们确切地要求一个函子是一个具有额外性质的跨度，即左腿的满射具有指定源和目标的唯一升力。

这是关键的一点。我预计，一旦有人试图谈论 $n个$ -算符：我们必须弄清楚这个条件的真正含义。

我认为，它真正的意思是，周围有某种血统属性。对于 $n=1$ 这恰好是在codiscrete类别中编码的。

发布人：乌尔2006年12月11日下午5:38|永久链接|对此的答复

主题：遗忘结构，记住选择

乌尔斯写道：

…更不明显的是托比对他们的定义…

好的，托比，你必须在准备发表论文时解决这个问题。谈论血统！

发布人：约翰·贝兹2006年12月28日上午8:06|永久链接|对此的答复

阅读帖子迁移、无函子和n-函子下降的局部跃迁
网络日志：n类咖啡馆
摘录：n函子的过渡数据或下降数据的概念和示例。
跟踪：2006年12月12日下午3:00

迈克尔·麦凯关于算符的文本

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在某些系统上，Michael Makkai网站上提供的postscript文件无法正确显示。自从有人问起我，我现在已经将PS文件转换为PDF文件，这些文件看起来确实表现得更好：

anafun1.pdf格式（标题和内容）

anafun2.pdf格式（引言）

anafun3.pdf格式（正文）

由于原始文件是免费的，我想我可以提供以上链接。

发布人：乌尔2006年12月14日下午12:48|永久链接|对此的答复

回复：Michael Makkai关于反函子的文本

由于原始文件是免费提供的，我想我提供上述链接是可以的。

我已经通过电子邮件将此讨论提请Makkai注意，所以如果他反对，也许他会说点什么。

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月14日11:21 PM|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

正如Makkai通过电子邮件向我指出的那样，在他的论文中已经简要讨论了2-算符。

发布者：托比·巴特尔斯2006年12月25日下午1:14|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

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正如Makkai通过电子邮件向我指出的那样，在他的论文中已经简要讨论了2-算符。

我想你指的是所谓的anabicategories的形态和anabicategories的anafunctor在本文中，其定义从第55页开始（第3章第4部分）。

这个定义是以组件方式给出的，其中还提供了函数本身定义的第一个版本。对于后者，在跨度方面有等效但更简明的公式。已知无双范畴的态射的等价定义吗？它类似于无函子在跨度方面的定义？

发布人：乌尔2006年12月27日晚上10:21|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

已知无双范畴的态射的等价定义吗？它类似于无函子在跨度方面的定义？

我肯定有是一个，但如果它不在Makkai的论文中，那么它可能还没有被写下来，甚至可能从来没有完全解决过。因此，您可能只需要开发自己的想法，然后将其与Makkai的组件定义进行比较。

也许我应该更完整地引用Makkai的电子邮件。我现在无法理解，但他说了类似“讨论非常简短，不太明确。”。很难有理由停止自己的方法！

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月28日上午5:49|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

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但如果没有在Makkai的报纸上

至少我还没看过。

因此，您可能应该开发自己的想法，然后将其与Makkai的组件定义进行比较。

我目前有点在度假，但我考虑了一下。如果我所说的“2-函子的下降”不会产生anabicategories的形态如Makkai所定义。（相反的说法，如果是真的，可能更难看到。）

本质上，它相当于注意到2-函子的下降数据，虽然不能确保给定1-态射的任何两个具有固定enpoint的提升是相等的，但确实要确保任何两个提升通过独特的2-同构。

这正好意味着这些提升上的2-函子限制为相应Hom-范畴上的1-函子。而这又是马克凯先生对“无核类算符”定义的主要方面。

很难有理由停止自己的方法！

好的，很好！：-）

但我很想更多地了解其他人在这方面的所作所为。

发布人：乌尔2006年12月28日下午2:28|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

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乌尔斯写道：

本文由Eugenia Cheng证明了“普通”双范畴和泛主题双范畴之间的等价性。

这难道不表明opetopic双类别与anabicategories不同吗？

不。无函子就像函子一样，给出了选择的公理。所以，合成范畴就像双范畴，给定选择公理类似地，opetopic双类别就像双类别一样，给出了选择的公理.

您对“内部到”类别的应用程序感兴趣，如 $顶部$ 或 $抄送$ 选择公理失败。在这种情况下，我想opetopic双类别仍然会像anabicategories一样。但是，它们将不同于普通的双类别。

你已经知道以下内容，但万一有人落后了：

函子 $f： X到Y$ 分配给的每个对象 $X（X）$ 对象 $Y（Y）$ .反函子 $f： X到Y$ 分配给的每个对象 $X（X）$ 对象 $Y（Y）$ 直到规范同构.

无函子在范畴理论中无处不在：例如，带有乘积的范畴中的“乘积”运算是一个无函子，因为对象的乘积被定义为规范同构。

我们可以通过选择一个特定的对象将一个函子转换为函子 $f（x）\在Y中$ 对于的每个对象 $x中的x$ 选择并不重要，因为 $f（x）$ 已定义直到规范同构所以，我们可以从不同的选择中得到不同的函子，但它们都是自然同构的。

然而，实际上做我们通常需要的选择公理！

在我们的类别没有设置对象，但（例如）空间对于对象，选择公理失败了，因此仿函子变得比函子更普遍。

发布人：约翰·贝兹2006年12月28日下午8:44|永久链接|对此的答复

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我不确定什么是“合成范畴”。但是，我猜这就像一个双范畴，但其中的合成函子：

$\电路：hom（x1，x2）\乘以hom（x2，x3）\到hom（x_1，x_3）$

已被一个算符替换。

如果是这样的话，它应该与James Dolan和我所说的“2类”非常相似opetopic方法n个-类别主要区别在于，不处理二进制组成和恒等式

$i： 1至hom（x_1，x_1）$

作为根本，我们对待所有人 $k个$ -ary成分

$\circ_k:hom（x1，x2）\times\cdots\times hom（x{k-1}，xk）\to hom（X1，xK）$

在平等的基础上。

类似地，我怀疑“anabifunctor”可能很像James和我所说的“两类之间的虚拟函子”。

这是一个你可能不想听到的更大故事的一部分。简单地说，我们所做的是将马克凯的算符思想与歌剧理论结合起来，并利用它们来发展一个关于 $n个$ -类别。然后，麦凯采纳了我们的想法，并将其发展成为 $n个$ -数学的绝对基础！但是，出于技术原因，他使用了“multipote”这个词，而不是“opetope”。

从短期来看，这些工作中的大多数对你来说都没有用处，因为它只关注一般情况 $n个$ 而不是 $n=2$ .

但是，这里有一些重点是 $n=2$ 案例：

Eugenia Cheng，Opetopic双类别：与经典案例的比较.

汤姆·伦斯特可能还写了一些关于 $n=2$ 案例。

（你会遇到尤金妮亚和汤姆下一周！)

发布者：约翰·贝兹2006年12月28日上午7:38|永久链接|对此的答复

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我不确定什么是“双范畴”。但是，我猜它就像双范畴，但合成函子[…]在哪里已被一个算符替换。

是的，没错。

类似地，我怀疑一个“anabifunctor”[…]

其主要思想是，很自然地，“anabicategories的态射”类似于双范畴的态射，但Hom范畴上的函子被anafunctor替换。

顺便说一句，Makkai用术语“anabifunctor”来表示其他事物，即产品类别上的仿函数 $A\倍X$ 它在两个参数中的每一个参数中都限制为一个反函子。他把2-函子的ana-version称为“anabicategories的态射/anafunctor”。

只是“bi”一般问题的一个例子。什么是“咬人者”？2群的2边torsor还是torsor？前者。

但什么是“大群坏蛋”？现在这两者都是：广群是被分类的，因此是它的torsor，另外它是双面的。

这里使用的前缀“bi”导致术语不明确。

[…]就像詹姆斯和我所说的“两类之间的虚拟函子”。

哦，有趣。所以：在你和我关于2-连接的工作中，我们计算了一个2-函子的下降数据，它的值在2-群中。

这在所选覆盖的转移2-群胚的2-路上定义了一个2-函子。

这是否定义了“两类之间的虚函子”？

正如我在上次给托比的回复中提到的那样#似乎这确实定义了“anabicategories的anafunctor”。

Eugenia Cheng，视觉双分类

谢谢你！我来看看。

发布人：乌尔2006年12月28日下午2:52|永久链接|对此的答复

回复：Michael Makkai关于反函子的文本

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Eugenia Cheng，操作主题双分类

谢谢你！我来看看。

我需要更多的时间来充分吸收这一点。但有一个简单的问题：

本文由Eugenia Cheng证明了“普通”双范畴和opetopic双范畴之间的等价性。

这难道不表明opetopic双类别与anabicategories不同吗？

发布人：乌尔2006年12月28日下午4:37|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

然后，麦凯采纳了我们的想法，并将其发展成为数学的n范畴基础！

Makkai（通过电子邮件）特别指示我所有多主题欧米伽范畴的多主题欧米伽范畴；已更正.

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月28日10:28 PM|永久链接|对此的答复

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乌尔斯写道：

所以：在你和我关于2-连接的工作中，我们计算了一个2-函子的下降数据，它的值在2-群中。

这在所选覆盖的转移2-群胚的2-路上定义了一个2-函子。

这是否定义了“两类之间的虚函子”？

我还没有仔细地解决这个问题，但在今年4月，在我的第三次Unni Namboodiri讲座在芝加哥，我写了这样的东西：

最终我们预计会发现：

对于任何平滑的2组 $G公司$ ，负责人 $G公司$ -平滑空间上具有2个连接的2束 $B类$ 由路径2-群胚的光滑2-仿函子分类 $B类$ 到 $G公司$ .

为什么停在2点？伽罗瓦理论的基本原理不断发展…

所以：是的，我相信术语中的模变体，我刚才说的正是你现在说的！

如果有人不知道这与伽罗瓦理论有什么关系，他们应该阅读所有的讲座-实际上这里有一个非常美丽的故事。

发布人：约翰·贝兹2006年12月28日晚上9:00|永久链接|对此的答复

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所以：是的，我相信术语中的模变量，我刚才说的正是你现在说的！

好的，很好。

在这种情况下，为了改变一下，我的问题实际上是针对细节的：

我正确地理解了吗，你确实期望无论2-算符最终是什么，它应该是涉及域2-范畴的满射的smething，它涉及到某种类型的下降条件，就像我在上面试图指出的那样？

我隐约记得，很久以前，你说过，算符只是谈论堆栈的另一种方式。

我想我理解为什么以及如何做到这一点。有人详细地写下这个观察结果吗？

这意味着2-算符应该对应于2-堆栈。这就带来了那些下降条件（实际上是2-交换四面体），它们只是在定义2-堆栈时遇到的常见下降数据。

我相信我能画出这幅画的大部分。但最好能知道哪些部分是以前画过的。

发布人：乌尔2006年12月28日10:04 PM|永久链接|对此的答复

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乌尔斯写道：

我隐约记得，很久以前，你说过，算符只是谈论堆栈的另一种方式。

我想我理解为什么以及如何做到这一点。有人详细地写下这个观察结果吗？

我只知道托比·巴特尔与格贝平滑算符。如你所知，gerbes是堆栈的一种特殊情况。

更准确地说：

一个重大成果托比的论文那是非贝类的2类 $G公司$ -空间上的gerbes $B类$ 相当于2类主体 $自动（G）$ -2捆以上 $B类$ ，其中 $自动（G）$ 是李群的自同构2-群 $G公司$ 更一般地说，对于2组G公司，他定义了一个委托人G公司-2捆以上 $B类$ 成为一个光滑的算符

$P至B$

配备了一些额外的装备。

（他使用了术语“2-map”而不是冗长的“smooth anafunctor”，但他指的是Makkai关于anafunctors的工作。就我个人而言，我更喜欢“map”，而不是“2-map”，因为“2-maps”听起来像2-态射，但我们谈论的是态射。）

托比已经发冷内布拉斯加州。他最近访问了河滨，我们讨论了未来的计划。他计划在论文中添加额外的材料，以涵盖案件 $B类$ 是一个成熟的2空间，而不仅仅是一个空间……为了取悦你他说！

我认为托比的论文可以使用更多的说明文。因此，如果有人（乌尔斯，布鲁斯？）试图阅读托比的论文，并发现如果他添加更多的解释，某些部分会更容易理解，请让托比或我知道你喜欢哪种解释。在这个博客上发表评论会很好地完成这项工作。

经过润色后，我们将尝试出版托比的论文。它将被称为“高规范理论I：2束”。

我们自己的报纸然后将变成“高规范理论II：2-连接”。我们真的应该稍微修改一下，让算符的作用更清楚一些。因为我们很早以前就写过它的某些部分，所以我们错误地说，在光滑2-空间之间正确的映射是一个光滑函子，而不是光滑函子算符.

发布人：约翰·贝兹2006年12月30日下午6:27|永久链接|对此的答复

2磅

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乌尔斯写道：

我隐约记得，很久以前，你说过，算符只是谈论堆栈的另一种方式。

我想我理解为什么以及如何做到这一点。有人详细地写下这个观察结果吗？

我所知道的是托比·巴特尔（Toby Bartels）拥有与光滑算符密切相关的gerbes。

啊，好吧。那很好。但也许我在想你可能指的其他东西。

我在考虑这样一个观察结果，即一个函子可以等效地被视为一类血统数据中的某个对象。这是它们与堆栈相关的一种意义。

大家都知道，一堆东西是某个东西的弱预置，比如X上的每一个东西都来自X封面上的某个东西，该封面上装有粘合数据。

如果这里的“something”是函子，那么anafunctor就像“封面上有粘合数据的东西”。

如果有人（呃，布鲁斯？）试图读托比的论文

我仔细阅读了第一个版本，发现它确实非常清晰。

在后来的版本中，我只是简单地看了一下。正如我们所讨论的，我会发现在关于算符的部分中有一句澄清的话很有帮助。但现在我明白了。

我目前正在正式度假，目前必须使用一个非常慢的互联网连接，这使得在网络上的每一步都很困难，所以我现在还没有检查是否有我以前没有见过的新版本。

但上次我检查了这个结果的证据：

[…]非贝类的2分类 $G公司$ -空间上的gerbes $B类$ 相当于2类主体 $\数学{AUT}（G）$ -2捆以上 $B类$ ,

尚未包含。

在我看来，有一点值得澄清。我相信我之前已经问过相应的问题几次了。如果我刚好忘记了答案，请提醒我。

问题是这样的：我已经看到托比表明，每一个2-束都会产生一个非贝拉2-余环，它也会对一个名词进行分类。

更微妙的步骤总是反过来：为了证明从每一个这样的2-cocycle中，我们可以构建一个2-bundle的总2-space，当局部平凡化时，这个2bundle就产生了这个cocycle。

这个步骤我还没有看过讨论。（但是，正如我所说，它现在可能是我还没有看到的最新版本。）

我想，正是托比要求投影，才使得这一反向步骤奏效

(1)

P至B

“只是”一个算符。这可能会让我们 $P（P）$ 简单地说

(2)

U\次G\,,

可能有一些同构，哪里 $U型$ 是的封面 $B类$ 和 $G公司$ 2组。

无论如何，上一次我看文本时，我没有看到关于从共循环数据重建总2空间的讨论。因此，这将是我希望看到更多讨论的一点。

在他的论文中添加额外的材料以涵盖案件 $X（X）$ 是一个成熟的2空间，而不仅仅是一个空间……为了取悦你，他说！

哦，我真的很感兴趣。

我们讨论这个很好，因为与此同时，我已经形成了自己的一些想法，解决了最初让我想考虑完整的2空间的问题。比较笔记会很有趣。

也许只是简单地说：最初我有一种感觉，如果我们从捆绑到2捆绑，我们也应该从点传递到字符串。

束的基空间起着配置空间在该束下带电的粒子。

因此，我最初认为，2包的基本空间应该是类似于一串与该2束耦合。这表明2束的基本空间应该是一个成熟的2空间。

但我在理解完整的2个空间上的2个捆绑包方面并没有取得太大进展。所以我很想知道托比对此能说些什么！

特别是，在某种程度上，我开始采用一种观点，这种观点没有明确提到基空间和总空间，而是尝试在2类2路上用2函子对所有内容进行编码。但归根结底，所有这些描述都应该是同一结构的不同方面。

现在，在我看来，2包的基本空间和字符串的配置空间之间的关系如下：

对我来说，带连接的2-bundle完全是来自域的2-functor $第2页$ “2路”到一些合适的密码子。

如果我想将一个“字符串”与之耦合，我首先通过定义一个小的“参数空间”类别来说明这个字符串的“内部”外观。例如，对于打开的字符串，具有2个对象的类别看起来像

(3)

\mathrm{par}=\{a\tob\}

是一个合适的模型。

然后配置空间这个字符串的简单形式是2-函子2-范畴

(4)

[\mathrm{par}，P_2]

（或者更确切地说，是通过只保留那些与“规范等效配置”相关的态射而获得的亚2类，但现在不要介意）。

现在，通过抽象的胡说八道，我们可以通过连接到这个配置空间来“超越”2包。

我在几个地方谈到过这个问题。例如在这里.

我很想了解，如果以及如何从这样描述的数据中，我们可以在一个完整的2空间上重建一个2束的2空间。那将非常有趣。

我们自己的论文[…]

我们真的应该稍微修改一下，让算符的作用更清楚一些。

有几件事需要澄清。我希望也许在多伦多，我可以给你一些笔记，请你看看是否可以合并成一个联合体。

关于托比的工作，我们也不应该错过在多伦多找时间与伊戈尔·巴科维奇交谈（看起来，尽管困难重重，他还是会来的，这很好）。他几乎完成了关于2-广群2-丛的论文，其中包含了许多应该与托比所做的很好的补充。

发布者：乌尔2006年12月30日下午8:19|永久链接|对此的答复

回复：2束

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我现在还没有检查是否有我以前没有看过的新版本。

最新版本第3版于6月26日发布。我相信你已经看过了。

但上次我检查这个结果的证明[定理3]还没有包含在内。

在前面的讨论中，它应该在那里，但我知道你需要更多的细节。实际上，真正需要细节的是定理2；我希望你对gerbes和（我称之为）2-跃迁之间的等价性感到满意，并且只想了解关于2-跃迁和2-束之间等价性的更多细节。这个定理在前面的讨论中也得到了证明，需要详细说明的是命题22（它相当于明显健忘函子从2-束到2-跃迁的本质满射性）。在证明的第一段中需要详细说明，其中我指出，涉及2-覆盖的每个等价2-关系都有一个2-商。实际上，这句话从定义上来说是正确的；参见第2.1.5节中的2-覆盖公理。那么我在哪里真正地第2.2.5节介绍了需求细节，我在这里解释了为什么这里定义的2-覆盖满足这些公理。更准确地说，我需要倒数第二段中的细节，但实际上整个部分可以使用更多细节。这部分是我最需要做的。

也就是说，由于您（Urs）没有将问题追溯到第2.2.5节，我大概需要在其他地方进行更多说明；我征求你的意见。

更微妙的一步总是反过来：为了证明从每个这样的2-循环中，我们可以构建一个2-束的总2-空间，当局部平凡化时，这个2-束产生了这个循环。

这基本上就是22号提案。

我预计，正是托比要求投影这一事实使这一逆向步骤发挥了作用

(1)

P至B

“只是”一个算符。这可能会让我们P（P）简单地说

(2)

U次G，

可能有一些同构，哪里U型是的封面B类和G公司2组。

是的，这正是P（P）是！

注意，由于我在论文的大部分内容中都不局限于主要案例，所以我说电子而不是P（P）和F类而不是G公司（在某些情况下，当需要纤维时）。现在看一下命题22（第2.5.4节）证明中的第一句话电子实际上是构造为的2商F类 ×U型（一般来说，在形成范畴的商时，我们不仅要像你所说的那样加入同构，而且还要识别平行的语素。但在我看来，在这种情况下，后者不会发生。）

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月30日10:28 PM|永久链接|对此的答复

回复：2束

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这基本上是第22号提案。

啊，谢谢。我想找一个像这个道具一样的陈述。22，但没看到。对不起，我本应该仔细阅读课文的。

现在我终于意识到了这一点，我非常喜欢这个道具的清晰证明。22

使这项工作成功的有力事实是

每个涉及2-覆盖的等价2-关系都有2-商

（第68页顶部）。

在我看来，我们可以通过注意到这基本上实现了沃思在他的书中所证明的，来欣赏这个事实的力量映射圆柱定理同伦纤维。

这句话的确切状态是什么？

它首先出现在第34页第2.1.5节的开头。你称之为公理用于2个封盖。

这与单封面的情况非常类似。尽管有相应的语句，但它是从1-覆盖的独立定义中派生出来的属性。（我还没有看过你提到的文本[Ele1]。）

无论如何：看来你定义一个2封面的东西，除其他外，使声明

每个涉及2-覆盖的等价2-关系都有2-商

真的。是这样吗？

不久前，当我试图独自理解这一重建业务时，我试图首先在一个具体的例子中理解它：给定一个描述阿贝尔沙鼠的2环，即类似

(1)

（f）_{ijk}f_{ikl}=f_{ijl}f_{jkl}

具有 $f_{\cdots}$ 将值纳入 $U（1）$ ，具有这种2-跃迁的2-束的总2-空间是多少？

我理解你的道具证明。22是非构造性的，因为它只声称总共存在2个空间。

但是你知道如何显式地构造它吗？

最后：你能帮我看看道具的确切位置吗。22算符的性质起作用吗？

也许我有一个更普遍的问题：如果你用内函子而不是内函子，你的哪一个结构会崩溃？

在再次阅读您的文本时，我还注意到以下非常轻微的随机评论：

A）

你指出了两者之间的“类比” $n个$ -群与主跃迁 $n个$ -束（用于 $n=1$ 和 $n=2$ ).

我这样想这个类比： $G公司$ - $2$ -过渡可以理解为定义 $\西格玛（G）$ -从封面中获得的共现范畴的丰富。

（适用于 $G公司$ 只有身份语态，这句话也适用于 $n=1$ .)

B）

你详细讨论了撤退。除非我漏掉了什么，否则你所讨论的商数一定会被淘汰。例如（13）与（3）相反。

我会发现一个简短的提示有助于说明这些回调和推出的分类版本如何都是2-（co）-极限的某个概念的实例。我似乎记得，2-（co）-极限有不同的口味。

C）

第2.5.4节的第一句话似乎有一个拼写错误。第一个“ $G公司$ -2束”可能是” $G公司$ -捆绑包”。

D）

上图（12）似乎有一个错误：新地图的密码域应该是 $X（X）$ 而不是 $R^{[0]}（R）$ .

类似于分类版本（86）上方的行。

发布人：乌尔2006年12月31日下午12:29|永久链接|对此的答复

回复：2束

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给定一个描述交换gerbe的2-余环，[…]具有这种2-转移的2-丛的总2-空间是多少？

我应该提到的是，我知道整个2-space应该是什么样子。我描述过这个在这里.

我想从一般形式主义的角度来理解这些具体的例子。

发布人：乌尔2007年1月1日下午12:04|永久链接|对此的答复

回复：2束

对不起，乌尔斯；我第一次错过了这些评论，当时我正在穿越冻结风景，在汽车旅馆里响起新年的钟声，上面有一张睡觉的照片外星人在前面。（警告：链接可能并不完全相关。）

第34页第2.1.5节的开头首先出现了“每个涉及2-覆盖的等价2-关系都有一个2-商”。在这里你称之为公理用于2个封盖。

是的，因为在本文的这一部分（基本上与第2部分中除第2.2节外的所有内容一样），我尽可能使用2类2空间，而不一定使用特定的2类光滑的2个空格（不管是什么）。因此，2-空间的2-范畴只需要配备满足这些条件的2-覆盖的概念。

这与单封面的情况非常类似。尽管有相应的语句，但它是从1-覆盖的独立定义中派生出来的属性。

实际上，在相应的1.1.5节中，这些是也公理。在这里（除了1.2节之外，基本上与第1部分的所有内容一样），我正在尽可能一般地处理一类空间，而不一定是光滑的空格（不管是什么）。因此，空间的类别只需配备满足这些条件的覆盖概念作为公理（也许这是一个我可以改进措辞的地方。）

（我还没有看过你提到的文本[Ele1]。）

（没有理由你应该这么做，除非每个人都应该读这本书。我引用它只是因为这些公理出现在那里，尽管据我所知，上下文完全不同。）

因此，这些平行部分1.1.5和2.1.5需要用一些东西来补充，以解释具体的（2） -第（2）类-空格。具体来看这一类别是第1.2节和第2.2节的范围（与本文其他部分不同，除了最粗略的层面之外，这两部分互不对应）。对于（2）-封面，相关章节为1.2.2和2.2.5。

实际上，我需要（至少）在论文中添加两件事：*（在第1.2.2节中）对为什么流形类别中的surpjective subgrades满足第1.1.5节中的公理进行了更全面的讨论（基于流形的既定事实）；*（在第2.2.5节中）对为什么2-覆盖满足第2.1.5节中的公理进行了更全面的讨论（假设2-空间是一个范畴内部的范畴，该范畴具有满足第1.1.5节公理的覆盖概念）。

但是你知道如何显式地构造它吗？

原则上是的！实际上，我的论文基本上是对一些我几乎没有经验的事情的抽象练习（即使这些事情已经很成熟了，也绝非新的！）。（一开始并不是这样，但最终却是这样。）这就是为什么我没有能够遵循Gel'fand的建议来包括最简单的非平凡的例子（我认为这一建议会真正改善论文）。虽然我的证明应该告诉人们如何进行显式构造，但当我尝试时，我会迷路。

所以，乌尔斯，真正有帮助的是，如果你和我能复习一些具体的例子——可能是你最想理解的那个——并通读所有的东西。这不仅有助于你更好地理解我的论文，也有助于我更好地解释它，还有助于我更深入地理解它的实际内容（因为否则它只是一堆抽象的废话）。换句话说，这将帮助我更好地理解你和约翰将要用它做什么！

所以如果你有时间的话，我很想在多伦多解决这个问题！

我还注意到以下非常轻微的随机评论：

谢谢。我已经修复了拼写错误（在未公开的版本中，你应该知道它的URL），我将在接下来的几个月里尝试写下所要求的解释。

发布人：托比·巴特尔斯2007年1月7日上午2:12|永久链接|对此的答复

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你好，托比，

谢谢你的解释。我现在明白了。

所以如果你有时间的话，我很想在多伦多解决这个问题！

至少，我真的很有兴趣谈论这件事。我们是否会找到足够的时间，我不知道，还有那么多其他有趣的事情在进行。但我们真的应该试一下。

发布人：乌尔2007年1月7日下午5:11|永久链接|对此的答复

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布鲁斯·巴特利特可能想注意到托比的论文，因为这是我们最近讨论的内容#.

就像一个 $G公司$ -束具有上的连接 $X（X）$ 由中的路径的一个函子来表征 $X（X）$ 到 $\西格玛（G）$ ，一个 $G公司$ -束没有连接的特征是常数中的路径 $X（X）$ 到 $\西格玛（G）$ 最后一部分是托比道具13的断言。

发布者：乌尔2006年12月31日下午1:08|永久链接|对此的答复

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在几个小时后烟花燃放之前，我想简要概述一下从局部过渡数据重建整体结构从以下角度看 $n个$ -具有连接的束完全按照并行传输函子进行编码。

我会描述这个案例 $n=1$ 解决方案熟悉的普通捆绑包。

首先是常用的符号。如果你已经看够了，跳过下一段。

让 $X（X）$ 做一个基本空间，让

(1)

U到X

做掩护，让

(2)

P_1（X）

是中路径的广群 $X（X）$ 然后让 $G公司$ 成为一个李群

(3)

\西格玛（G）

具有单个对象和 $G公司$ 形态的价值。最后，让

(4)

P_1（U ^\项目符号）至P_1

是由 $P_1（X）$ 正如托比所描述的。我们可能会意识到 $P_1（U ^\项目符号）$ 作为由 $P_1（U）$ 和 $U^{[2]$ 模化“明显的”关系，如果你想这样说的话，它可以确保 $P_1（X）$ 最多有一次电梯 $P_1（U^\项目符号）$ 具有给定的源和目标。

好的，现在我想说：

差速器 $G公司$ -骑自行车 $X（X）$ 描述的转换数据 $G公司$ -连接在上的捆绑包 $X（X）$ 是一个算符

(5)

\阵列{P_1（U ^\项目符号）&\堆栈｛（\mathrm{tra}_U，g）}{\到}&\西格玛（G）\\\向下箭头\\P_1（X）}\,.

对于下面的内容，我们想考虑这个函子的“图”（在函数图的意义上）。我们可以等效地将其视为具有余域的函子 $\西格玛（G）$ 替换为

(6)

P_1（U^\项目符号）\times\Sigma（G）

通过写作

(7)

\阵列{P_1（U ^\项目符号）&\stackrel{\mathrm{Id}\times（\mathrm{tra}_U，g）}{\到}&P_1（U^\项目符号）\times\Sigma（G）\\\向下箭头\\P_1（X）}\,.

现在，最好有一种箭头理论方法来从这些数据构建相应的“总空间结构”。我是指上的光滑函子 $P_1（X）$ 具有平滑中的值传输广群的 $G公司$ -通过从给定的共循环数据重建而获得的束。

我们从1-cocycle本身就知道( $克_{ij}克_{jk}=g{ik}$ )包含在上述数据中，我们可以重建 $G公司$ -束

（8）

P至X

和剩余的cocycle数据( $A_i=克_{ij}A_jg{ij}^{-1}+g_｛ij｝dg{ij}^{-1}）$ )我们有联系了

(9)

\纳布拉

在 $P（P）$ .

我们也知道（参见第一部分这提醒一下）这个连接的并行传输是一个光滑函子

(10)

\马特姆{tra}_\纳布拉:P_1（X）至P\times_G P

从路径到光滑传输广群

(11)

P \ times_G P\,,

其对象是的点 $X（X）$ 它的形态是 $P（P）$ 在各自的点上 $X（X）$ .

将这个函子插入上图中，我们得到

(12)

\阵列{P_1（U ^\项目符号）&\斯塔克雷尔{\mathrm{Id}\次（\mathrm｛tra｝_使用，g）｝｛\to｝&P_1（U^\项目符号）\times\Sigma（G）\\\向下箭头\\P_1（X）&\斯塔克雷尔{\mathrm{tra}_\纳布拉}{\到}&P \ times_G P}\,.

这应该是想告诉我们运输群 $P \ times_G P$ （模拟的总空间 $G公司$ -束 $P（P）$ 在平行输运的世界中）是我们原来的反函子给出的跨度的推出。

事实上，有一个明显的不满

(13)

\阵列{P_1（U ^\项目符号）\次\西格玛（G）\\\向下箭头\\P \ times_G P}

（本质上编码态射 $\波浪线j$ 在里面托比图（26）)这使得这张图通勤：

(14)

\阵列{P_1（U ^\项目符号）&\斯塔克雷尔{\mathrm{Id}\times（\mathrm{tra}_U，克）}{\到}&P_1（U^\项目符号）\times\Sigma（G）\\\向下箭头&&\向下箭头\\P_1（X）&\斯塔克雷尔{\mathrm｛特拉｝_\纳布拉&P \ times_G P}\,.

我认为，此外，这是普遍的跨度的推出锥来自于我们原来的算符。

（你不应该相信我，但你自己检查一下。如果你认为我错了，请告诉我。）

所有这些都表明了对2-束的明显概括。

这里，我们知道微分2-余循环的正确概念是2-函子

（15）

\阵列{P_2（U ^\项目符号）&\堆栈{\mathrm{Id}\times（\mathrm{tra}_U，克）}{\到}&P_2（U^\项目符号）\times\Sigma（G_2）\\\向下箭头\\P_2（X）}\,.

我想这意味着如果我们重建相应的“总空间结构”，我们需要考虑适当削弱此图的2个pushouts。

这些是什么时候存在的？我们如何构建它们？

不管答案是什么，我确信我们今年不会找到它。

最后，我祝愿大家

一新年快乐!

发布人：乌尔2006年12月31日下午6:35|永久链接|对此的答复

回复：2束

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[…]简述如何[…]

我写的东西还没有成型。它看起来有点尴尬。原因是我没有遵循我自己的建议，即我们应该始终关注 $对$ -本地 $我$ -琐碎化

(1)

\阵列{P_1（U）和\至P_1\\\向下箭头&\向下箭头&\downarrow\\T'&\到&T}\,.

所以，我应该说：

给定一个算符

(2)

\阵列{P_1（U ^\项目符号）&\堆栈{（\mathrm{tra}（_u），g）｝｛\to｝&\西格玛（G）\\\向下箭头\\P_1（X）}

我们形成了弱势群体

(3)

\阵列{P_1（U ^\项目符号）&\堆栈{（\mathrm{tra}（_u），g）}{\到}&\西格玛（G）\\\向下箭头&\向下箭头键&\向下箭头\\P_1（X）&\斯塔克雷尔{\mathrm{tra}_\纳布拉}{\到}&P \ times_G P}\,,

哪里

(4)

\西格玛（G）至P\times_G P

识别 $G公司$ 任何一根纤维的自同构 $P（P）$ .

然后通过态射给出填充这个方块的自然同构 $\波浪号j$ 托比的论文。

发布人：乌尔2007年1月1日上午11:59|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

托比已经发冷内布拉斯加州。

但我在加利福尼亚错过了那场风暴。相反，我是下雪了早些时候在丹佛呆了两天。

他计划在论文中添加额外的材料，以涵盖案件B类是一个成熟的2空间，而不仅仅是一个空间……为了取悦你他说！

我已经谈到了。需要更详细的是2-覆盖的属性（这是特殊的2-映射，反过来又是简单的光滑函数），包括以下情况B类是2个空格。正是这些属性用于构造2-转移数据中2-束的总2-空间。这是为了取悦你（不仅仅是我自己），正如你在他的评论以上。

因此，如果有人[……]试图阅读托比的论文，并发现如果他添加更多的解释，某些部分会更容易理解，请让托比或我知道你喜欢哪种解释。

是的，请做！在此处发表公开评论，或发送私人评论给我通过电子邮件.

发布人：托比·巴特尔斯2006年12月30日下午9:48|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

约翰写道：

最终我们预计会发现：

对于任何平滑的2组G公司，负责人G公司-平滑空间上具有2个连接的2束B类由路径2-群胚的光滑2-仿函子分类B类到G公司.

当问题/困难出现时，请直接提醒我解决方案。

发布人：2006年12月29日11:22 PM，jim stasheff|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

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吉姆·斯塔舍夫写道：

约翰写道：

最终我们预计会发现：

对于任何平滑的2组 $G公司$ ，负责人 $G公司$ -平滑空间上具有2个连接的2束 $B类$ 由路径2-群胚的光滑2-仿函子分类 $B类$ 到 $G公司$

当问题/困难出现时，请直接提醒我解决方案。

这个问题的确切答案在一定程度上取决于一个人到底想要什么。

但一个明智的解决方案是：

第一：什么是一 $G公司$ -带连接的2束？

可能的答案是：给基本空间的每个点指定一个类别的东西 $G公司$ -对它的作用，以及它为路径空间中的每个路径指定了这些的一个态射 $G公司$ -类别。

这种带连接的2捆是什么时候主要的,光滑的和局部微不足道?

可能的答案：如果上述任务是本地等价于赋值的光滑2-函子 $G公司$ 如果这些局部等价之间的转换本身是平滑的。

如果是这种情况，那么这些局部2-函子及其之间的转换将形成平滑下降数据2-函子的。

以上是我提议的#我们定义这样的2-函子下降数据是2-函子。

但我想#如果我们弄清了细节，这样一个2函子世系也为M.Makkai所称的“anabicategories的anafunctor”提供了一个例子。

总之，几乎根据定义 $G公司$ -具有连接的2-bundle的特征在于 $G公司$ 2-算符。

更微妙的是相反的说法。

发布人：乌尔2006年12月30日下午2:08|永久链接|对此的答复

回复：迈克尔·麦凯关于算符的文本

吉姆写道：

当问题/困难出现时，请直接提醒我解决方案。

可以。很可能Urs会解决这个问题。

发布人：约翰·贝兹2006年12月30日下午6:32|永久链接|对此的答复

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