维特根斯坦和瑟斯顿论理解
由David Corfield发布
对柏林的两项贡献车间我没有提到在杰夫·奎因辩论中发言(原始文章，15位数学家回复，瑟斯顿答复杰菲和奎因回复回复). 迈克尔·斯托尔茨纳发言数学本体论而奥利弗·彼得森争论维特根斯坦（Wittgenstein）可以通过激进主义化杰菲（Jaffe）和奎因（Quinn）以及瑟斯顿（Thurston）之间关于为猜想提供严格证据对数学健康的重要性的争论，为我们提供一条摆脱这场争论中的困境的途径。
彼得森属于我所说的慷慨的维特根斯坦当维特根斯坦认为我们不知道如何证明的命题毫无意义，或者“同一”命题的不同证明必须证明不同的事物时，他反驳了维特根斯坦因显然是错误的这一指责，他说维特根斯特因并不完全指这些事物。此外，他认为，当我们理解证明如此重要的真正原因是它们增加了证明技术或论证模式的存量，增加了语言游戏的允许动作时，我们可以超越杰菲和奎因。语言游戏的动作知识是我们所需要的“理解”，它使我们能够避免“柏拉图式”谈论事物，比如无限，而我们正以某种神秘的方式来更好地理解这些事物。我不认为维特根斯坦是出于对神秘主义本身的厌恶而采取这一行动的，毕竟，他是托尔斯泰的亲密读者，而是因为他不喜欢人们谈论神秘主义——“人不能说什么，就必须保持沉默”。因此，康托对他的集合理论的神学装扮会冒犯他的。
无论人们对维特根斯坦的看法如何慷慨，他的数学观仍然是一个骨架，而瑟斯顿的数学观则更加肉质，远远超出了命题的证明。现在，瑟斯顿的反应是什么？当我听彼得森的演讲时，我开始意识到瑟斯顿对辩论的贡献真正关系到什么。本质上，他和其他几个人被杰菲和奎因指控行为非常不负责任。他们抛出一个猜想，勾勒出一个证明的大致过程，这并不是为了数学的利益。大名鼎鼎的人不应该这样做，因为这会引起混乱，误导年轻人，并阻止人们对这个领域进行分类。瑟斯顿的回应是同意责任正是关键所在，但他接着说，责任远不止是维持严格的标准。他说，为了让自己的领域保持活力，他不得不离开探索的前沿，回来给别人指路，让他们自己发现。在他的随笔中，他给了我们一幅关于数学理解的非常丰富的画面，这给那些参与数学研究的人敲响了许多钟。维特根斯坦会担心吗？
我认为区分两个“现实主义”问题很重要：数学是关于什么样的东西，以及概念、结构和定义的“正确性”概念。让我们从第一个开始，数学哲学的大部分目标都在这里。理解维特根斯坦翻译动机的一种方法理解力作为一种在数学语言游戏中进行一些移动或添加允许移动的能力，就是看它如何缩小“柏拉图主义者”的言论。（我用吓人的引语表示，这与柏拉图的想法相去甚远。）。我说一个数学家比我有更好的理解力，这与我说卡斯帕罗夫比我更了解国际象棋没什么不同。国际象棋可以通过在棋盘上移动一些物体来达到某种目的，这一点并不重要。即使我们发明了一种游戏，这种游戏不能在三个空间内的棋盘上移动棋子，但至少需要27个维度，我们仍然可以拥有世界冠军，他们会比我们更了解游戏，也可能更能想出类似的扣人心弦的游戏。”从这个观点来看，关于数学的本体论承诺并没有比这更可怕。
但是，正如彼得森所发现的那样，瑟斯顿的理解观念中还有更多的东西。对我来说，这里的关键是要认识到一门学科的目标、更好的理解和猜想的证明之间的正确关系。对瑟斯顿来说，首要目标是理解。猜想的提出和证明可能有助于理解该领域，也可能没有帮助。前者是达到正确理解目的的辅助手段。在1982年的一篇论文中，他提出庞加莱猜想被证明不是一个很好的指导，并希望他的几何化猜想（现在显然是几何化定理）将证明是一个更好的指南（Thurston，W.1982，“三维流形，Kleinian群和双曲几何”，美国数学学会公报6:357-81）。我认为一个人必须是维特根斯坦的一个非常慷慨的解释者，才能看出瑟斯顿和维特根斯坦之间的区别。
我认为，我们对理论信贷的强烈公共强调对数学进步。如果我们正在取得的成就是促进人类对数学的理解，那么我们将更好地认识和重视更广泛的数学活动范围。
……如果我们能看到我们所做事情的真正价值，整个数学界将变得更有生产力。杰菲和奎因提出了一个公认的角色分为“推测”和“证明”。这种划分只会延续这样一种神话，即我们的进步是以推导出的标准定理为单位来衡量的。这有点像制作前10000个素数打印输出的人的谬误。我们正在创造的是人类的理解。我们有很多不同的方法理解和许多有助于我们理解的不同过程。如果我们认识到并专注于这一点，我们将更加满意、更加高效、更加幸福。（瑟斯顿1994:171-2）
那么，问题是这是否会让我们感到担忧。换句话说，当我说瑟斯顿比我更了解3流形时，如果我放弃彼得森的建议，去追随维特根斯坦，并说这不仅仅是他在数学语言游戏中进行一些移动或添加允许移动的能力，我现在是否已将自己投身于柏拉图王国中的某些实体，而我们无法说出我们是如何获得这些实体的？
这个额外的是什么？它涉及到语言游戏的正确性问题，以及如何改进。我很高兴瑟斯顿对研究3流形的方式发表了自己的看法。我相信他的判断能够引入相关的新概念，并形成新的指导性推测。我认为他比我更有可能把比赛带向正确的方向。在这一点上，我们不能避免使用“故事”一词。重要的是要认识到，数学和任何智力学科一样，都是通过故事来完成的，是由戏剧叙事构成的。在Michael Atiyah爵士的二十世纪的数学（《伦敦数学学会公报》34（1），1-152002），单词“story”、“stories”或“history”在15页中出现23次。其中许多与数学的一部分有关。
所以，表达瑟斯顿对3流形的理解的最好方式是说，他是一个我们可以把这部分几何故事托付给他的人。他能够更好地讲述到目前为止的故事，了解早期的观点是如何片面的，并且能够更好地勾勒出下一章可能会如何进行，未来的观点可能会如何看待我们的观点是片面的。几个世纪后，他很可能成为故事的一部分，这是有充分理由的。实际上，杰菲和奎因指控他危害了他在数学故事中的角色，他强烈反驳了这一指控。他对下一代的帮助超过了大多数人：“我确实认为我的行为在刺激数学方面做得很好”。
最后，我看不出维特根斯坦有什么可担心的。
发布于2006年10月11日上午9:42 UTC