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2006年10月23日

对合理事实的认识

由David Corfield发布

在评论我提出了一个问题，即我们期望一个实体的不同表现背后有一个基础账户，而这些表现就是其后果。

如果我向你指出正态分布的三种表现形式——中心极限定理；固定前两个矩的最大熵分布；由分布逼近，即均匀分布在1维上的投影n个n个-半径球体n个\方形{n}作为n个n个增加&很难想象幕后会有一个统一的故事。

如果我把事情放在上下文环境中，也许会鼓励讨论。

第51页，共页数学类，或善良数学，我提到了《阿伦森、哈雷和路》（Realism Rescued:How Scientific Progress is Possible，Duckworth，1994）认为，科学的关键功能之一是将实体组织成一个种类层次。罗姆·哈雷的其他著作中有一个重要观点，即逻辑实证主义者和逻辑经验主义者使用一阶逻辑来分析科学推理是一场灾难。这些作者意识到，早期亚里士多德的观念已经失去了一些重要的东西。

在后分析篇亚里士多德声称，这是四种我们想要发现的东西：

  • 事物是否具有属性
  • 为什么东西有属性
  • 是否存在某些东西
  • 这是什么东西

正如你所见，这四种类型分为两组，第二组问的问题比第一组更深。事实上，第二个和第四个问题是关于事物的起因及其性质的，原因是以亚里士多德的广义方式来理解的。事实上，这足够宽泛，他在讨论天文学（“为什么行星不闪烁？因为它们很近。”）、数学（“为什么半圆上的角度是直角？”）和日常生活（“为什么晚饭后散步？为了健康。为什么有房子？”？为了保存自己的货物。”）。数学中关于因果关系的讨论持续了好几个世纪。例如，正如我们从曼科苏的书《十七世纪的数学哲学和数学实践》（OUP，1996）中了解到的那样，数学家认为通过一个还原这个论点并不是要给出它的“原因”。

亚里士多德在“对事实的认识”和“对理性的事实”。亚里士多德举了这个例子来说明区别：

行星靠近天体。
靠近天体的物体不会闪烁。
因此，行星不会闪烁。

行星不会闪烁。
不闪烁的天体就在附近。
因此，行星很近。

举一个亚里士多德在数学上的区别的简单例子：

n个n个是一个偶数。
以10为基数的偶数以0、2、4、6或8结尾。
n个n个以0、2、4、6或8结尾。

n个n个以十进制表示，以0、2、4、6或8结尾。
以10为底以0、2、4、6或8结尾的数字是偶数。
n个n个是均匀的。

并不是第二个三段论是错误的，而是它没有正确的“因果”排序。解释是关于利用实体的适当层级组织。你做这件事的能力是需要测试的，正如这里所示解释的麻省理工学院数学口试（尤其是辛拓扑部分）。

数学具有因果/概念顺序的观点似乎比科学哲学中的对应观点更为彻底地被我们所忽视。这关系到我在论文中给出的例子数学推理动力学（第11-13页），其中奇异上同调从恰好满足切除和其他公理的上同调理论发展为满足切除和其它公理的下同调理论。

现在，我们应该期望收敛到一个单序吗？

发布于2006年10月23日下午1:25 UTC

此条目的TrackBack URL:https://golem.ph.utexas.edu/cgi-bin/MT-3.0/dxy-tb.fcgi/1000



25条评论和1条回溯

回复：对合理事实的了解

[M] [在17世纪]雅典人认为，通过简化论证来证明结果并不是为了给出其“原因”。

所以只有建设性的证据才能给出原因？

如果我们回忆起构造性证明的计算内容，这是有意义的；它们可以被系统地转换成计算机程序。例如，一个自动证明素数无穷大的构造性证明（至少如果你在类型理论中正式写出它）给出了一个算法，在给定一个有限的自然数列表（包括给定它的长度）的情况下，计算出一个不在列表中的素数。更有趣的是，连续统不可数性的构造性证明，应用于代数数的（可计算的）枚举，自动计算（可计算）超越数。所以超越数存在的“原因”是我们有一种构造它们的方法。

然而，我不相信这就是它的全部。考虑拉格朗日定理的简化证明，即每个自然数都可以分解为四个平方和。通过检查这种分解只有有限多个可能性（给定任何特定数字），可以很容易地构造出这种证明（因为总和永远不能大于期望的和）。然而，这一步产生的算法效率极低；它只需搜索所有可能的总和，直到找到解决方案！当然，这个定理的“原因”（不管是什么意思）肯定不止于此，如果你仔细研究各种可能性，你最终会成功。你还是想问为什么？你会成功的，而简化，即使是建构的，也无济于事。

更令人满意的是在四元数中使用唯一因子分解的证明（通常的证明已经是构造性的，而不是依赖于还原）。（这与拉格朗日的原始证明有多接近？我不知道。）我不确定这是否真的应该被称为“原因”，但我觉得这至少更像是一种“解释”！

（就个人而言，我不相信因果关系。从亚里士多德到大卫·刘易斯，我从未被任何哲学家说服过，主体属于形而上学（与认识论相对）。我相信相对论所描述的宇宙是一个低熵的大爆炸，但其结果远远低于大多数人对因果关系的理解；它当然不适用于上述定理！）

发布人：托比·巴特尔斯2006年10月23日下午7:58|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

从亚里士多德到大卫·刘易斯，我从未被任何哲学家说服过，主体（因果关系）属于形而上学（与认识论相对）。

听起来你的观点和我的朋友乔恩·威廉姆森很接近，他认为“认知因果关系”（见一些论文在这里)“那么，因果关系是我们对世界的认知表征的一个特征，而不是对世界本身的表征。”

请记住，亚里士多德所翻译的“原因”与今天的用法有着不同的内涵。他一定是这样描述物理和数学上的“因果关系”的，就好像它们是同一件事的案例一样。

发布人：大卫·科菲尔德2006年10月23日下午8:35|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

我发现认知因果关系的观点很有说服力，因为在我看来，因果关系就像一种方便的速记，或者可能是一种教学手段。当我们谈论物理因果关系时，比如“玻璃杯因为我推它而从桌子上掉下来”，我们已经引入了大量的认知结构。再加上根据这些结构描述的一个条件是后一个条件的原因的判断，似乎又是一种认知行为。

对同一场景的较低层次（但仍充满理论）描述可能会说某种形式的东西“时空X区物质场的配置如此如此……原因是过去X光锥中柯西表面的配置如此”。如果玻璃需要一秒钟的时间才能落下，那么过去的柯西表面将是巨大的，当然也包括整个地球——但是，如果说整个世界的一切都是任何超过一秒钟的行为的原因，那就不是好的教育学，也无助于正常的思维。此外（假设物理决定论——更多的理论），观察未来的光锥也是一个很好的解释，所以这不太像因果描述。

从这个低级的物理描述到更清晰的关于玻璃被推的因果关系的故事，需要将场的某些部分“注册”为对象（我是从Brian Cantwell Smith那里学来的），然后确定过去历史的哪些特征是描述这些物体所做事情的突出特征。我觉得注册和显著性都具有非常认知的味道。

似乎每一个因果故事都同样涉及抛出大量分散注意力的信息和关注显著事实，尽管人们几乎总能想象出一些显著“原因”相同的（低概率）场景，但效果是不同的（例如，一只鸟决定飞过房间，碰巧把玻璃杯撞到桌子上），所以任何因果故事都只是一个粗略的草图，附带隐含的但书，“其他一切都可以忽略”。

对于不依赖时间的数学对象，我想我必须采取同样的立场。数字n为偶数与关于n的各种事实有关，但只有其中一些人清楚地认为是该事实的“原因”。就像以前一样，我觉得这是一个决定，而不是某种形而上学的给定。

为了在具体事件和逻辑演绎之间进行类比，我想我理所当然地认为，“数字”和“偶数”等概念是我们为组织现实世界经验而构建的认知结构，就像“玻璃”和“桌子”（以及“物质场”和“柯西表面”）一样。所以说“n是偶数”实际上是对世界上一系列仍然具体的特征的总括陈述。通过抽象的过程将这些相似的东西集中在一起，似乎又是一种认知行为。我对数字和均匀性（或者实际上是表格）实际上是柏拉图式的形式，或者某种理想主义的立场持开放态度，但我从来没有被说服过。

发布人：杰夫·莫顿2006年10月24日凌晨3:22|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

数字n为偶数与关于n的各种事实有关，但只有其中一些人清楚地认为是该事实的“原因”。

我认为这可以表达出我对原帖子那一部分的一些不安。

我认为从结构主义的观点来看，它变得容易一些，自然数系统就是由皮亚诺公理编码的结构。可除性（如均匀性）是这些公理之上的额外结构层：我们可以使用自然数结构的任何模型来构建环结构的模型。十进制展开是一个更进一步、更任意的结构层。因果关系似乎从可分性属性流向可分性测试，因为前者的结构比后者更原始。

当然，这是假设我对哪种结构更原始的观点是客观的。

发布人：约翰·阿姆斯特朗，2006年10月24日凌晨4:20|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

亲爱的David，

在我看来，对于你提出的问题的某些方面，考虑一下是有意义的

a） 我们在学校或大学早期学习的非常基本的数学事实

b） （儿童/学生）对数学现象及其因果关系和原因的天真理解。

（也许有点像乔姆斯基语言学。）

例如（学校的东西，问孩子们，和专业人士说的比较）原因是什么

1. 5+8 = 8+5

2. 6*5 =5*6

（等于1。2的部分原因。？？有共同的原因吗？）

3. 42 - 19 = 23.

高中：

4.为什么a^b不等于b^a？

5.三角形中180度角的总和。

学院：

6.2的平方根不是有理数

7.连续函数在A处取正值，在b处取负值，在两者之间取0。

作为一名学生，有一个问题困扰着我，我从没有听到过任何令人满意的答案：

8.为什么一个实函数在任何点都有导数，但它可能没有二阶导数，而一个复函数在每个点都有一个导数，它就有二阶（和三阶等）导数？？

无论如何，这看起来是一个比较外行和“专业人士”见解的好地方，并具体考虑上面建议的一些例子。

发布人：Gina，2006年10月24日上午4:19|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

这是一个好主意，但考虑到现实情况。我不知道悲观主义的XML标签，所以我只是认为它是可以理解的。

1. 5+8 = 8+5

2. 6*5 =5*6

（等于1。2的部分原因。？？有共同的原因吗？）

在这个国家的大部分地区，“为什么”是“因为这是乘数表上的说法。这都是算术问题。”。

3. 42 - 19 = 23.

孩子们可以能够集合起来，“因为19+23=42”。

4.为什么a^b不等于b^a？

5.三角形中180度角的总和。

我认为知道这些的高中生太少了，更不用说有任何解释了。在第一种情况下，我可以证明学院学生们（常春藤盟校学生也不知道）并不知道这一点。第二，这是大多数人都能引用的东西之一，但很少有人能以一名高中几何老师的形式向权威求助。

6.2的平方根不是有理数

那些理解什么是有理数的人可能会说一些不太明智的话。那几个。

7.连续函数在A处取正值，在b处取负值，在两者之间取0。

我认为这是第一个有天真的理解。

8.为什么一个实函数在任何点都有导数，但它可能没有二阶导数，而一个复函数在每个点都有一个导数，它就有二阶（和三阶等）导数？？

在这里，我认为所有的希望都失去了。没有人能够在不离开直觉/天真的领域的情况下学习复杂导数的定义。

乔姆斯基语言学之所以奏效，是因为每个人都在使用语言，对语言提出“为什么”的问题似乎是很自然的。总的来说，大多数人都满足于将最基本的数学视为某种奥秘。对大多数人来说，这一切都是真的，唯一的原因是，如果他们能记住的话，这就是他们所学到的。

发布人：约翰·阿姆斯特朗，2006年10月24日上午5:33|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

吉娜问了以下问题：

1. 5+8 = 8+5

我认为我有一个直观的理由来证明这一点，那就是成堆的鹅卵石，人们可以合理地称之为“天真”。为此，

4.为什么a^b不等于b^a？

我不太确定。很容易给出例子哪里一 b条≠b条 一a^b\neq b^a一个小学生可以检查，但我对自己解释为什么必须存在这样的例子的能力没有多少信心。

当然，这是否重要取决于学生的求知欲。如果她问我一个完全难倒我的问题，我们真幸运！

5.三角形中180度角的总和。

多亏了数学项目！,我总是想象延伸三角形的边以形成垂直角，然后将整个三角形缩小到一个点…

在第六点和第八点上，我支持约翰·阿姆斯特朗。至于这个，

7.连续函数在A处取正值，在b处取负值，在两者之间取0。

我认为我们已经进入了断言的领域，这种断言很容易用铅笔素描来支持，但一旦你尝试引入任何严格的概念，就会爆发出微妙的含义。我们如何解释什么是“连续函数”？教科书可以这样做：

在日常演讲中，“连续”的过程是指在没有中断或突然变化的情况下进行的过程。大致来说，是一个函数年=（f）(x个)y=f（x）如果它显示类似的行为，即如果x个x个产生相应值的微小变化（f）(x个)f（x）.

事实上，一本教科书做这样做，特别是G.F.Simmons解析几何微积分（McGraw-Hill，1985）。这句话“相当松散和直观，更多的是为了解释而不是定义。”为了给出一个真正的定义，我们打破了极限机制，开始使用delta和epsilons，正如Tom Lehrer在这里所描述的：

  • 汤姆·莱勒（Tom Lehrer）为欧文·卡普兰斯基（Irving Kaplansky）演出的《每个小精灵都有一个三角洲》（There’s Delta for Every Epsilon）80岁生日庆典（1997年3月19日）。

然而，作为基思·德夫林写过,

通过这种方式定义极限，连续函数的最终定义被称为柯西-魏尔斯特拉斯定义，这是两位19世纪数学家提出的定义。该定义构成了现代实分析和任何标准的“严格”微积分处理的基础。因此，它是所有学生进入这些领域必须通过的门户。但是，我们中有多少人能够毫不费力地通过这一大门呢？当然，我没有，我的学生在25年的大学数学教学中也没有。为什么理解这个定义有这么多困难？无可否认，定义的逻辑结构有点复杂。但事实并非如此那个复杂。我们中的大多数人都可以处理一个复杂的定义，只要我们理解该定义的含义。因此，似乎有其他事情导致了如此大的困难，这与定义有关意味着。但到底是什么？

德夫林提出了这样一个想法：从直观的陈述——“不用拿起铅笔就能画出一条线”——到柯西-韦尔斯特拉斯的定义是不只是一个改进或增加“严谨性”的问题，而是从动态到静态的根本改变：

让我们从一开始的连续性的直观概念开始，即一个没有间隙、中断或突然变化的函数的概念。这基本上就是牛顿和莱布尼茨所研究的概念。欧拉也是如此，他写道“一条由自由牵着手描述的曲线”。请注意，连续性的概念基本上是动态的。要么我们认为曲线是绘制以连续（sic）的方式，或者我们将曲线视为已经绘制好的曲线，并想象它是什么样子旅行然而，当我们制定最终的Cauchy–Weierstrass定义时，通过精确定义极限的概念，我们放弃了基于无间隙实数连续体概念的动态观点，取而代之的是一个完全静态的概念，该概念谈到实数的存在具有某些属性。作为该定义基础的线的概念是是一组点。现在，点是基本对象，而不是线。当然，这是一个高度抽象的线条概念，直到19世纪末才引入，当时只是为了应对在处理一些功能的病理例子时遇到的困难。

当你考虑它时，这是概念模型中的一个重大转变，从沿连续统的高度自然和直观的运动概念（时间）到基于高度人造的线作为一组点的观点的关于数字存在的人为陈述。当我们（即数学教师）向学生介绍连续性的“正式”定义时，我们并没有像我们所声称的那样，使一个松散、直观的概念变得更加正式和严格。相反，我们是改变连续性的概念几乎在各个方面。难怪我们的学生看不到形式定义如何捕捉他们的直觉。它没有。它试图用完全不同的东西来取代他们的直观画面。

以下引用了所有这些段落：

换言之，当你试图将其形式化时，这个看起来最容易直观、形象地演示的示例将引导你走向真正的问题。

发布人：布莱克·斯泰西2006年10月24日下午3:10|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的认识

提到的一个微妙之处是，Cauchy-Weierstrass对连续性的定义还隐含地承担了捕获实数的完整性的任务，而原始直觉并没有尝试这样做。人们可以想象（像许多人一样，毕达哥拉斯之前），所有时间量都是有理数。在这种情况下，如果连续曲线是一条可以在没有任何跳跃的情况下通过时间绘制的曲线，那么语句7是错误的。

发布人：杰夫·莫顿2006年10月25日12:21 AM|永久链接|对此的答复

连续性。

[T] Cauchy-Weierstrass对连续性的定义还隐含地承担了捕获实数的完备性的任务[…]。

Devlin的文章最后提到了这一点：

[ε-delta语句[…]并没有消除（所有）连续性直观概念中固有的模糊性。实际上，它根本没有解决连续性问题。相反，它只是形式化了关系中“相应地”的概念。事实上，Cauchy-Weierstrass定义只是通过假设实线的连续性来提供函数连续性的定义！

（杰夫，我不确定你是否有意暗指这一点，所以我还是要明确一点。）

杰夫再次说道：

人们可以想象[…]所有的时间量都是有理数。在这种情况下，如果连续曲线是一条可以在没有任何跳跃的情况下通过时间绘制的曲线，那么语句7是错误的。

例如（当我把事情说清楚时），让（f）(x个)是x个2 − 2.

更全面地说，杰夫写道：

可以想象（正如毕达哥拉斯之前的许多人所做的那样）所有的时间量都是有理数。

当然，直到毕达哥拉斯，才有人知道我的作用（f）做不越过真正的界线！（尽管如此，即使在毕达哥拉斯之后，人们也可以合理地想象到这一点。）

事实上，（在我看来）很讽刺的是，#7虽然在许多人看来是最直观的，但也是最令人怀疑的！除了对连续性直觉的不同数学解释（例如使用有理数而不是实数）之外，对同一数学陈述的理解也可能有所不同。

由于我有时会做建构主义数学，所以第七条（可能）对我来说是错误的。准确地说，它在中立的建设性环境中是不可证明的（如埃雷特·毕晓普的建设性分析），在更受限制的建设性背景下（包括布劳沃的直觉主义分析和俄罗斯学派的建设性递归分析，原因各不相同），它是可以被驳斥的。

这很有趣（对我来说，部分原因是），因为所有关于静态直觉和动态直觉的讨论。这个必和必拓构造逻辑的解释给函数的一致连续性（这比逐点连续性简单一些）带来了动态的味道，尽管不追踪路径的原始动态直觉。

准确地说，它要求我们将εδ语句视为对一个转换过程的描述（或至少是一个存在的声明），给定一个自然数n个（1/ε的上界），返回一个自然数米（δ为1/米). 也就是说，一旦我们决定了我们想要接近函数值的程度，我们就应用这个转换来确定我们必须接近参数的程度。这里的动态性质不是曲线本身上的点之间，而是我们对测量和计算函数的使用之间。

发布人：托比·巴特尔斯2006年10月27日4:08 AM|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

亲爱的各位，
我同意约翰的观点，即与类似的语言研究相比，乔姆斯基对儿童学习、推理以及对计数、算术和数学的见解的研究范围将缩小。它可能仍然有用。除了数学因果关系的哲学问题外，它还与理解计算障碍相关——与数学有关的学习障碍（数学障碍）。

我猜想，孩子们通常理解为什么和和和积是可交换的，以及减法的含义，但对2位数进行算术运算的算法掩盖了这种理解。（这是42-19落后的一分。）

谈到高等数学中天真或直观的推理/因果关系，理解计数函数的许多方法都很吸引人。我很乐意听到在每一点都有导数的实函数和具有相同性质的复函数之间奇迹般的差异背后是否有“原因”或“直觉”。

发布人：Gina，2006年10月25日，晚上8:35|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

吉娜写道：

为什么一个在任何点都有导数的实函数可能没有二阶导数，但一个在每个点都有一个导数的复函数却有二阶（和三阶等）导数？？我很高兴听到，在每一点都有导数的实函数和具有相同性质的复杂函数之间的神奇差异背后，是否有“原因”或“直觉”。

这当然是有原因的，当我教授复杂分析时，我会尽力解释它。

毕竟，这是数学中最大的惊喜之一。在实际分析中，你必须为每一个导数付出额外的代价：例如，大多数37倍可微的函数没有38阶导数。但在复杂分析中是可微的一旦确保函数无穷可微！就好像你在当地的一家餐馆买了一个甜甜圈，他们答应你终身免费用餐！有些人说没有免费的午餐…。

因此，我们必须理解这一看似奇迹的现象。

我试图给学生们留下深刻印象的第一个事实是，对于一个可微函数（f）（f）在复杂平面上，数量（f）(x个+我年)f（x+i y）更改时发生更改年年一点点就是我我乘以金额（f）(x个+我年)f（x+i y）更改时发生更改x个x个一点点为什么？因为向北一小步我我乘以向东一小步，导数是线性的近似值（f）（f）.

这很简单。但是，事实上向北一步我我在复杂的平面上，向东一步的线性度比实际直线上的线性度强得多，因为在实际直线上，你只能向东走两步，或者向东走三步。现在，为了可微，函数必须满足微分方程：

∂（f）∂年=我∂（f）∂x个{\partial f\ over\partial y}=i{\partical f\ over\ partial x}

Cauchy-Riemann方程。

这使得各种伟大的事情发生了。首先，这意味着我们不能改变（f）（f）一个地方而不改变它很多其他地方：如果我们在一个很小的社区里处理它，它将不再满足该社区边缘的柯西-黎曼方程。

所以，复平面上的可微函数并不像实线上的可微分函数那样“松软”。你不能摆弄他们在这里没有影响那里.

事实上，如果你知道一个圆盘边缘的函数，你可以解Cauchy-Riemann方程来计算它在中间的值！因此，这样的功能就像一个鼓头：如果你用手指将鼓头向下按到鼓缘附近，整个膜都会受到影响。

事实上，绷紧鼓头的高度满足拉普拉斯方程，该方程也适用于满足柯西-黎曼方程的任何函数：

(∂ 2∂x个 2+∂ 2∂年 2)（f）=(∂∂x个+我∂∂年)(∂∂x个−我∂∂年)（f）=0（{\部分^2\over\部分x^2}+{\部分*2\over\部分y^2}）f=（{\部分\超过\部分x}+i{\partial\over\partialy}）（{\paratil\over\partial x}-i{\partial\over\partialy}）f=0

所以，这个类比并不是松散的：通过观察弹性膜，你真的可以理解络合分析函数是什么样子的，至少是它们的真实部分和想象部分。

如果你这样做，你会注意到这样的膜非常非常光滑。一种思考方式是，他们正在最小化能量，因此任何“不必要的摆动”都是被禁止的。我们可以通过注意到拉普拉斯方程遵循最小能量原理来精确说明这一点，其中能量为

∫∫|∇（f）| 2dx公司第y天\int\int|\nabla f|^2\；右边乘以

因此，一次可微复函数自动光滑的原因是：

1） 北方是我我乘以东方

所以

2） 复平面上的函数要想微分，就必须满足一个微分方程

和

3） 这个方程使函数的作用类似于弹性膜。

这是一个非凡的见解组合，没有特别复杂，但以一种奇妙的方式组合在一起。

发布人：约翰·贝兹2006年10月26日凌晨1:58|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

非常感谢，约翰，因为这个美丽的理由。它看起来很吸引人，与我记忆中的完全不同。现在，我想知道你的解释（非常鼓舞人心）是否有资格成为“因果关系”（戴维所问的那种），即使是在启发式水平上。要检查它，我们应该问：这样的理由适用于其他情况吗？也就是说，有没有任何（非平凡的）例子，甚至可能有一大类例子适用于你的第3点：一个微分方程，它迫使每个可微解都具有任意阶导数。

发布人：Gina，2006年10月26日下午1:00|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

柯西-黎曼方程的摄动性有多大？偏导数的其他局部条件以有趣的方式迫使全局解？

有没有什么特别的东西在起作用，因为事情很容易用复杂的领域来表达？四元数分析会以类似的方式强迫你自己吗？


发布人：大卫·科菲尔德2006年10月28日下午8:57|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

大卫写道：

Cauchy-Riemann方程的摄动程度如何？偏导数的其他局部条件以有趣的方式迫使全局解？

许多关于解的存在性和光滑性的基本知识都从Cauchy-Riemann方程和Laplace方程推广到了任何“椭圆”PDE，如图所示在这里这是一个原因阿提亚和辛格能够概括出Riemann-Roch定理从Cauchy-Riemann算子到所有椭圆算子。

但是…

因为事物很容易用复杂的领域来表达，所以有什么特别的东西在起作用吗？四元数分析会以类似的方式强迫你自己吗？

……科希·里曼方程当然有一些特殊的特征，因为它与复数有着密切的联系！

相比之下，四元数分析已经失败了。几个显而易见的方法将解析函数的概念从复数推广到四元数的情况，得到了非常可怜的结果。这个好的原因是富埃特它不仅适用于四元数，也适用于Clifford代数。然而，令我羞愧的是，我从来没有真正花时间去学习它！而且，似乎很少有人知道这件事。我不知道它是被不公正地忽视了，还是真的不太有趣。

上面的最后一个链接提供了以下内容的描述和摘录Tony Sudbery的《四元数分析》这篇论文是目前为止关于这个主题最好的阅读材料。它还链接到他的论文……唉，这已经行不通了！

现在我的副本丢了。

发布人：约翰·贝兹2006年10月29日上午8:29|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的认识

吉娜写道：

非常感谢，约翰，因为这个美好的理由。它看起来很吸引人，与我记忆中的完全不同。现在，我想知道你的解释（非常鼓舞人心）是否符合“因果关系”[……]也就是说，是否有任何（非平凡的）例子，甚至可能有一大类例子，你的第三点适用于：一个微分方程，它迫使每个可微解都具有任意阶导数？

我很高兴你喜欢我的小解释。遗憾的是，大多数关于复杂分析的类都没有解释这些东西。

是的，有一大类偏微分方程（PDE），因此任何解都自动具有任意高阶导数！这些就是所谓的椭圆形微分方程。如果您与PDE专家交谈，您会发现他们通常更喜欢集中精力于以下三种类型之一：

  • 椭圆：这里的经典例子是拉普拉斯方程∂ 2（f）∂x个 2+∂ 2（f）∂年 2=0{\部分^2 f\超过\部分x^2}+{\partial^2f\over\partialy^2}=0椭圆方程通常描述静态平衡。
  • 双曲线：这里的经典例子是波动方程∂ 2（f）∂x个 2−∂ 2（f）∂t吨 2=0{\部分^2 f\超过\部分x^2}-{\部分^2 f\超过\部分t^2}=0双曲方程通常描述波。
  • 抛物线：这里的经典例子是热方程∂（f）∂t吨−∂ 2（f）∂x个 2=0{\部分f\超过\部分t}-｛\partial ^2 f\over\partial x^2｝=0和薛定谔方程∂（f）∂t吨+我∂ 2（f）∂x个 2=0{\部分f\超过\部分t}+i{\部分^2 f\超过\部分x^2}=0抛物线方程通常描述扩散。

处理这三种类型的方法非常不同。他们有完全不同的性格。椭圆偏微分方程是最容易证明许多强大结果的，部分原因是“椭圆正则性”保证了解的光滑性。

要查看线性PDE是否为椭圆，请如下所示：((4+罪x个)∂ 4∂x个 4+∂ 4∂年 4−x个 2∂∂x个)（f）=0（（4+\sin x）{\偏^4\上\部分x^4}+{\部分^4\下\部分y^4}-x^2{\部分x}）f=0并剥离所涉及的微分算子：(4+罪x个)∂ 4∂x个 4+∂ 4∂年 4−x个 2∂∂x个（4+\sin x）{\部分^4\在\部分x^4}上+{部分^4\over\部分y^4}-x^2{\部分\在\局部x}上然后替换偏导数∂∂x个,∂∂年{\partial\over\partialx}，{\paratil\over\partial y}比如说，通过新变量第页 x个,第页 年.p_x、p_y。您会得到一个名为符号您的PDE：(4+罪x个)第页 x个 4+第页 年 4−x个 2第页 x个（4+\sin x）p_x^4+p_y^4-x^2 p_x这个秩序PDE是出现的偏导数的最大数量。在上例中，顺序是4。

要查看PDE是否为椭圆，只需查看其符号作为向量发生了什么变化第页=(第页 x个,第页 年)p=（p_x，p_y）在任何方向上都是无穷大。如果符号始终大致增长为|第页| k个|p|^k（磅）哪里k个k个是您PDE的顺序，您的PDE是椭圆形.

在上面的示例中，符号确实增长为|第页| 4|第|^4页作为第页第页在任何方向上都是无穷大。所以，这是一个椭圆PDE。所以，任何解决方案都是自动的光滑的：它有任意高阶的偏导数！

如果你有空闲时间，你可能会说服自己波动方程、热方程和薛定谔方程是不椭圆形。在这些示例中，顺序是2，但有些方向的符号不会像|第页| 2|第|^2页.

（我给出了仅涉及两个变量的PDE示例，x个x个和年年。我所说的一切也适用于更多的变量。）

在我年轻的时候，我主要做双曲线偏微分方程，因为我喜欢物理，尤其是波。我瞧不起那些椭圆形的人，因为他们在研究诸如气泡和绷紧的鼓头之类的静态现象——没有生命，只是坐在那里，非常平稳。但是，椭圆PDE当然有其魅力。

发布人：约翰·贝兹2006年10月29日上午7:57|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

约翰，非常感谢你这么漂亮的解释。（我想你对许多导数现象的“原因”会让大卫感到满意。）此外，我希望那些认为复杂分析是天堂，而PDE是脚踏实地的“应用”材料的学生能够阅读它。

发布人：Gina，2006年10月30日，11:32 PM|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

我猜想，孩子们通常理解为什么和和和积是可交换的，以及减法的含义，但对2位数进行算术运算的算法掩盖了这种理解。（这是42-19落后的一分。）

孩子们“理解”2+3=3+2，因为他们可以在手指上看到它，而且他们忘记了手指抬起的顺序。“怎么可能是其他方式呢？”他们想。我不太确定他们得到的是一个真正普遍的数字概念，而“加法”是从集合的不相交并集中抽象出来的。

好吧，我不认为他们会这么想。我的意思是，它们的数字纯粹是在对象集合中实例化的。如果他们没有一个由32个事物组成的特定集合来表示“32”，那么他们就不会考虑“32”。最大的障碍是让学生超越实例化一组中的一个数字（举起两个手指），然后实例化另一组（再举起三个手指）并计算结果（五个手指）。从我所看到的来看，无论是与我接触过的几个孩子交谈，还是与这些学科很久以前的成年人交谈，几乎有一半的时间是我们教十进制加法算法和任何实数算法的最好时间意思其中的数字丢失了。此时，一个数字是它的十进制扩展，而不是任何抽象概念。

发布人：约翰·阿姆斯特朗，2006年10月26日凌晨3:00|永久链接|对此的答复

交换性。

1. 5+8 = 8+5
2. 6*5 =5*6
4.为什么a^b不等于b^a？

我认为乘法的可交换性比加法的可换性更微妙，所以指数法的可转换性完全失效也就不足为奇了。

A类 +B类意味着（方法的数量）要么选择“left”，要么选择do（选择一个小于的数字）A类或者选择“正确”并做B类。看到这一点A类 +B类相当于B类 +A类，您只是（在我的公式中完全是字面意思！）左右交换。

A类 ×B类意味着要做A类 然后做B类.看看这个A类 ×B类相当于B类 ×A类，您必须在之前和之后进行交换，这并不总是可能的。在这种情况下是这样的，但是只有因为A类和B类是独立的（都是在活动开始之前给出的）。在∑ 一:A类B类 一\总和{a:a}B_a（其中A类 ×B类是一种特殊情况），一般情况下不可能有交换性，因为一般情况下B类现在取决于A类.

While期间∑ 一:A类B类 一\总和意味着要做A类然后执行适当版本的B类,∏ 一:A类B类 一\触头{a:a}B_a意味着等我一下要做的事A类然后对B类你自己。所以即使在B类独立于A类（如中所示A类B类-哎哟，我是说B类A类!), 没有理由怀疑交换性，因为你甚至没有做同样的事情。

所以我们从交换左右（很容易），到交换前后（在独立情况下可能，但一般情况下不可能），再到交换输入和输出（不可能）。

发布人：托比·巴特尔斯2006年10月27日12:15 AM|永久链接|对此的答复

主题：交换性。

我认为这些对算术运算“意义”的解释很有趣，绝对值得考虑。我还认为他们进一步偏离了这个问题，即学习这些算术运算的学生是如何思考它们的。

发布人：约翰·阿姆斯特朗，2006年10月27日凌晨1:02|永久链接|对此的答复

主题：交换性。

约翰·阿姆斯特朗在回复我时写道：

你的帖子进一步偏离了这个问题，即学习这些算术运算的学生是如何思考它们的。

这就是这个帖子的主题吗？我的主题是数学中的因果关系，但我想这应该由大卫来决定。（当然，吉娜是在学生思考的背景下考虑这个话题的。）

新数学课程本应通过引入早期的集合论来实现数学教学的现代化，但我认为这并不是认真的。然而，对自然数（即整数，包括零）的算术运算能够按照这些原则进行教学。

发布人：托比·巴特尔斯2006年10月27日凌晨3:10|永久链接|对此的答复

回复：交换性。

不是整个线索，不是，但吉娜提出这些具体例子的目的是为了提出一种与奇姆斯基安语言学类似的方法：问孩子们学习概念“为什么”是真的，这将让你深入了解他们的认知因果关系。这个想法是，一个不成熟的观察者对解释的第一次尝试包含了对人类大脑如何处理这些概念的深刻见解。这与一位专家的观点形成了对比，这位专家已经对这门学科的性质进行了长期而深入的思考，他不能简单地“未知”这一知识。

发布人：约翰·阿姆斯特朗，2006年10月27日凌晨3:50|永久链接|对此的答复

主题：交换性。

我写这篇帖子的想法是想看看数学中准消费的“现实主义”概念是否可行。因为这种准消费账户和他们的物理对应账户一样，往往需要几个世纪的努力才能揭开，我不认为我们会接触到孩子们早期的算术接触，即使我们碰巧像托比那样谈论加法和乘法做.

话虽如此，既然因果关系将概念剥离到了他们的骨子里（ur-concepts？），那么孩子们的思维模式可能会与他们的各个方面联系起来。然而，我自己的兴趣是长期的纪律探索。

发布人：大卫·科菲尔德2006年10月28日晚上9:15|永久链接|对此的答复

主题：交换性。

我在小学时学习了新数学，所以我真正学会了加法和乘法的交换性，即集合之间的自然同构：秒⊔T型≅T型⊔秒S\sqcup T\cong T\sqcup S和秒×T型≅T型×秒S\times T\cong T\times S时间当然，他们并没有谈论“自然同构”——他们只是展示了它是如何工作的。这是非常明显的事情（我在这里没有解释）。

《新数学》可能并没有帮助到所有人，但它帮助了我。基本上，它们消除了将算术去分类的错误。这让我明白了基本的算术是关于事物集合的，而不仅仅是抽象的“数字”。

我有时想知道，很久以后，这是否有助于我理解分类。

发布人：约翰·贝兹2006年10月29日上午8:41|永久链接|对此的答复

主题：交换性。

新数学在许多浅滩上都失败了，但它的核心是正确的。

发布人：约翰·阿姆斯特朗，2006年10月29日下午1:21|永久链接|对此的答复

回复：对合理事实的了解

目前，我被困在网络空间的荒野中，连接速度最慢，所以很难跟上咖啡馆的新闻。我认为因果关系的认识论观点很有吸引力，因为它解释了为什么数学和科学推理有这么多共同的特征。引起我兴趣的问题是，是否有一种“最佳”的组织方式。即使出于教学目的需要许多账户，这也不排除这个概念。可能只有在某个领域工作多年、在工作过程中获得技能和理解的人才能够理解“最佳”组织。

举一个例子，我们很难教一年级学生关于伴随函子的知识，来解释为什么群乘积的基本集与基本集的乘积同构，然而我发现似乎可以认为，无论数学走哪一个方向，只要它不退化，它会明白，正确的邻接词保护产品处于危险之中，即使这只是整体情况的一小部分。

发布人：大卫·科菲尔德2006年10月26日上午10:38|永久链接|对此的答复
阅读帖子基础
网络日志：n类咖啡馆
摘录：什么是基础？
已跟踪：2006年10月30日上午9:20

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