n类咖啡馆

非常感谢您的评论！

现在这里很晚了，我有点累了。因此，我不会一次回复你的所有评论，而是逐条回复。

在这里，我将回答这个问题：

我不擅长“伴随等价”——为什么不只是等价呢

对于其他读者，让我回忆一下这个问题是关于什么的：在我的注释我做了一个明显的声明，我们说2次运输是微不足道的如果从它到琐碎的2-传输（带有某种琐碎的概念）。

人们会认为“某种形态”意味着“等价”。

这是一个非常有趣的问题。一、 我也曾在一开始就预料到我想要一个等价物。但在计算出各种示例后，结果表明真正地所有这些业务都需要特殊的两用附加词.

事实上，这是一个比等效概念略弱的概念。但每一个等价都可以转化为伴随等价，这是一个特殊的双元附加词的特例。因此，从等价物传递到特殊的两手巧用附加词时，不会丢失任何东西。

此外，在关键的激励示例中，如线团gerbes，平凡化态射$t吨$无论如何，我们自然想要选择的，碰巧是伴随等价。因此，一切都按预期进行。

这个必然性当我们想要构建($n个$-)局部平凡化数据的类别$\马特姆{三色}_{i，p}$以及本地过渡数据$\马特姆{平移}_{i，p}$运输$n个$-函子，以及健忘函子

（例如，具有“连接和弯曲”的束gerbe是里面只有一个物体$\马特姆{平移}_{i，p}$，用于适当选择$我$和$第页$.)

如果你看一下我笔记的后面几页，你会发现为了使这个函子存在，我们确实需要在不同的时候利用特殊的双灵巧附加的Z字形恒等式。

这就是为什么必要的要求平凡化态射适合于一个特殊的双向附加词。

结果也是足够的。在我迄今为止看到的所有一般考虑因素和所有例子中，我从未遇到过需要需要平凡化态射是更多比一个特殊的两手都灵巧的附属物。虽然在某些情况下，这当然是巧合。

这是技术上的必要性。还有一个有趣的结果允许局部琐碎化，这些琐碎化不一定是伴随等价物，但可能只是特殊的双元附加词。

也就是说单子由特殊的双元附加词诱导的正是一个特殊的Frobenius代数（或“Frobeniusmonad”，如果我们不是$\马特姆{兽医}$-富集）。

事实上，这就是“特殊两手巧用附加词”中“特殊”的来源。对于Frobenius代数，相应的术语“special”用于各自的性质已经建立。（尽管我认为这不是一个很好的术语选择，因为它没有足够的暗示性。但由于它已经建立……）

有趣的是，这意味着局部简化曲面上的2-传输相当于（对偶）三角化该曲面，并通过特殊的Frobenius代数标记边，以及该特殊Frobenies代数的乘积和副乘积的顶点。

更准确地说，它有点像Frobenius代数体，因为乘积可能会随点而变化。

例如，对于普通阿贝尔束gerbes，此产品在$x个$通常叫什么$f{ijk}（x）$（或$g{ijk}（x）$) . 人们并没有真正注意到这里的Frobenius结构，因为它是如此微不足道：产品$f{ijk}$实际上是一个国际标准化组织在这种情况下是同构的。

但也有一些2-转运的例子与在沙鼠的情况下所考虑的非常不同。对于其中一些人来说，三重重叠上跃迁的Frobenius代数结构起着至关重要的作用。

其中一个应用是用输运2-函子描述二维共形场理论中的某些结构。在那里，来自平凡化态射的特殊双元附加的特殊Frobenius代数只不过是开字符串状态的算子积代数。如果你愿意，你可以在我最近关于FRS形式主义.

要快速了解这里的基本机制，可以看看二维CFT退化为拓扑场论。在这种情况下，我们可以看到福马·霍索索·卡瓦伊（Fukuma-Hososo-Kawai）发现的形式主义在这里)只是某向量2-输运函子局部平凡化的一个特例。我有一些注释还有更多的细节。

Fukuma Hosono Kawai假设我们应该（对偶）三角化曲面，并用半单代数标记边，用乘积和副乘积标记顶点。我们可以将此过程视为根据局部转移数据写下某个平面向量2-传输。事实上，这种局部过渡来自一种特殊的两手灵巧的附属物，这意味着福马·霍索诺·卡瓦伊（Fukuma-Hosono-Kawai）的处方。

评论一下怎么样$我$-微不足道的$T’$一个物体，一只变形猫？像普通的捆绑通话一样？

我为其他读者回忆起这个问题是关于什么的。

我们正在谈论$（n-）$我们编写为的函子

给定共域的一个态射

我想调用函子$\数学{tra}$ $我$-琐碎的如果它通过$我$，即如果有

这样的话

（我想说$\数学{tra}$是$我$-微不足道的如果它不等于$i_*\mathrm公司{tra}_{T'}$，但由确定态射).

标准示例如下：

让$\西格玛（G）$成为某个群体$G公司$，被视为具有单个对象的类别。让

是发送单个对象的函子$\西格玛（G）$到组$G公司$，被视为自身上的torsor，它将每个群元素发送给自身，但现在被视为$G公司$.

让$X（X）$留点空间，让$P至X$成为校长$G公司$-连接在上的捆绑包$X（X）$。此连接产生一个并行传输函子

这里在哪里$P（X）$表示中路径的thin-homotopy类的广群体$X（X）$.

现在，这意味着什么$\数学{tra}$成为$我$-琐碎的？显然，这意味着$x\ in x=\mathrm{Obj}（P（x））$，我们有$P_x=\mathrm{tra}（x）=G$.

但这只是意味着$P（P）$是微不足道的$G公司$-普通意义上的捆绑！

这就是我们的想法。

那么如果我们让$T’$是一个只有一个对象的范畴，唯一的同态是它的恒等式吗？

在上述示例中，这与设置相对应$G公司$等于平凡的1元组。因此，在这种情况下$我$-平凡传输将是“完全平凡”的，因为它不仅将典型光纤（平凡组）与每个点相关联，还将平凡组到自身到每个路径的同一态射联系在一起$X（X）$.

无论哪个态射都有一个类似的结论$我$我们用域选择单对象、单态射范畴。在这种情况下$我$-根据定义，普通传输必须将每条路径发送到$X（X）$中固定对象的同一态射$T型$.

从您的角度来看，在TTT或其他地方，本地到全球比特是如何变化的？

我们仍在努力详细写出这一点。

想法是这样的：

正如我在TraTriTra中所讨论的，我们有函子

其首先将全局定义的传输函子发送到它们的局部平凡化数据，然后发送到从其获得的转换数据。

你要问的问题是，这是否是等价的——我们是否可以构造一个函子

它发送一组与上的转换数据相关的局部平凡传输函子$n个$-折叠与单个全局定义的传输函子重叠。

如果全局函子承认适当的当地的庸俗化。

我在以下示例中详细阐述了这个想法的一些（但不是全部）细节这文本。

实现这一目标的关键因素是Čech 2-群中的2-路径对应于良好的覆盖$U\到X$.

此Tech 2-群体具有作为对象的点$（x，i）$在好覆盖中，有从唯一态射生成的1-态射

在点之间，只要这些投影到中的同一点$X（X）$，并且有唯一的2-态射填充这些基本1-态射的任何三角形。

这个2-群胚中的2-路的2-类别是由$U型$结合了Tech 2形态。

现在，如果一个全局定义的传输函子允许通过后者进行适当的局部平凡化因子分解，那么它就可以在这两类路径上产生传输。

另一方面，从中的对象$\马特姆{平移}_{i，p}$通过以明显的方式将局部迁移和转移数据赋给2-态射，我们还获得了Tech2-群胚中2-路上的2-函子。

这种说法是这样的

无论何时$第页$承认适当的地方轻视。

但这还没有详细记录下来。

对于双路径，您只考虑具有相同源和相同目标的路径之间的“曲面”。为什么不有序或定向2-单形

没有什么能阻止我考虑这样的案件。这一切都取决于你考虑的应用。

例如，在某些情况下Atiyah序列分裂的分类，希望有

-2-路径的细同伦类中的非严格2-函子$I ^2\到X$

-而是来自群胚对的伪函子$X（X）$（或者更准确地说是基本群胚）。

的基本群胚上的一个伪函子$X（X）$其中包含一些值$n个$类别$T型$与你上面描述的差不多：

首先，它将1-态射与中的点对关联$X（X）$.

这将只考虑到“排字器”的组成。但这个合成器只不过是中2-态射的赋值$T型$到三角形

在里面$X（X）$.

对于$n=2$，排序器将满足四面体上的相干定律。对于$n\gt 2$这个定律被一种结合子所取代，它是对四面体的3-态射的赋值。

等等。

我想是因为$X（X）$光滑流形的一个结果表明，在$X（X）$严格2-群与基本1-群上的伪函子相同，其值在2-群中。

所以这里的问题是，在两个等价的描述中，哪一个更方便。

但我认为域为基本群的伪函子的观点$X（X）$这导致了你所问的简单作业，实际上是更普遍、更普遍的观点。

所以我完全同意，看看你所问的这个案例很重要。不过，目前我在这方面所能提供的只有这些非常简短的注释。

in re：激励性玩具示例

(1)$$i： \Sigma（\mathrm{End}（\mathbb{C}^n））\至\马特姆{兽医}_\mathbb{C}$$

需要在子cat中具有图像，其中对象是n-dim向量空间？

对。这里的想法只是为了emded的自同态$\mathbb{C}^n$属于$\mathbb{C}$-向量空间。

原则上你可以考虑其他态射$我$而不是这种明显的嵌入。但是如果我们想从局部平凡化的角度理解普通向量丛$n个$-传输，然后您会希望选择规范嵌入。

为什么在向量束的情况下，任何连接都会起作用，而对于gerbes，它需要是伪平面的？（为什么我们需要保留“假”？）

这是一个非常有趣的问题。

什么是假曲率，真的吗？

一般的答案可以很好地理解为$n个$-代数体形态。

给出Lie的一个态射$n个$-群虫，像我们的运输$n个$-函子是

我们可以微分并得到基本Lie的一个态射$n个$-代数体

的形态$n个$-代数体可以方便而等价地被认为是相应的Koszul对偶自由微分代数的态射。

约翰解释了这个事实背后的一般理论在这里.与讨论相关的工作示例$n个$-交通工具可以在其他地方找到#.

总之，考虑代数体形态

根据自由微分分次代数的态射，“假曲率”的性质非常明显。

也就是说，FDA的这种态射首先是一个链图（在对应于$dP_n（X）$和$数据传输$).

根据链式地图的定义，这些必须是使许多小正方形通勤的赋值

对于$\楔形^\项目符号A$deRham情结，人们发现$第页$-通勤的第个平方是用$第页$-表单中包含值$第页$-目标的形态$n个$-代数体。

这个$第页$-表单是$第页$-形状曲率代数体态射所表示的连接。

更准确地说，只有顶部形式才是通常所说的曲率形式。

对于$n=1$（普通束）没有中间曲率形式，只有顶层曲率2-形式$F_A=dA+A\楔形A$.

对于$n=2$然而，存在顶级曲率3形式

但现在还有中间曲率2形式

这种“中间曲率形式”被称为“假曲率”（在Breen和Messing的论文中，它是由一种完全不同的推理方式产生的），以区别于“真”（=顶级）曲率$H（H）$.

正如我所说，因为$\β$度量上述第一个平方的交换失败，并且由于这些平方需要交换才能描述自由微分梯度交换代数的态射，因此如下所示$\β$必须消失！

这就是我所说的“假平面”。它要与真正的平坦度区分开来$H=0$.

简言之：“伪平面度”的约束正是确保同态化的约束

尊重$n个$-代数体结构——或者，在积分图中，同态

尊重$n个$-广群结构，即它实际上是一个$n个$-函子。

托马斯·斯特罗布（Thomas Strobl）特别强调了用代数体形态来描述假曲率，例如在他的hep-th/0406215.

如果你遇到过对你的要求过于严格的假平面约束，你应该考虑从目标传球$n个$-类别$T型$到$n+1$-类别$\数学{AUT}（T）$.我描述过这个在这里和在这里.

为所有人指定循环$n个$或仅限$n+2$？关于非ab gerbes的相同问题

在有限的层次上$n个$-运输，即$n个$-函子来自$n个$-路径群胚，我已经检查了Deligne 3-cocycles。显式计算如下：

指定3辆摩托车和2辆运输车

本文讨论了2-转移函子在某些$X（X）$值在2组中$\西格玛\西格玛（U（1））$就是，当取等价类时，只有第三个Deligne上同调$X（X）$.

这当然是所有人都会经历的$n个$，但绘制的是$n个$-函子$n\gt 2$变得非常麻烦。

但是，有一条捷径可走。不要谈论谎言的平滑形态$n个$-群胚，我们可以谈谈谎言的形态$n个$-代数体。

在这个微分图中，很容易检查$n个$-值为的函子$\西格玛^{n+1}（U（1））$产量$（n+1）$st-Deligne上同调。这在别处讨论#.

原则上，同样的论点也适用于非贝拉案件。这里唯一的问题是通过区分$n个$-用非贝拉语表示值的传输$n个$-组被限制为线性的转换数据中的顺序。

然而，在过渡数据中，非贝拉循环往往是二次的，甚至更高阶的。例如，其中阿贝尔gerbes读的cocycle条件

对非贝拉格贝来说，这揭示了某种扭曲

术语$g{ij}（f{jkl}）$是转换数据的二阶$g{\cdot\cdot}$和$f_｛\cdot\cdot\cdot｝$因此，线性化处理（如代数体的形态）不会看到$g{ij}$在这里。

什么是东方造型？它是指和定向的圆形吗？

弦理论家发明了这个词定向成形对于考虑二维的操作$\西格玛$-地图模型

以空格为目标$X（X）$其中一个有限群$G公司$行为；然后除以合并与您合作的操作$G公司$在$X（X）$ 和通过方向反转打开$\西格玛$.

因此，单词“orientifolding”是“orbifolding”（即目标空间上的整体orbifold）的组合$X（X）$)和“方向反转”（即在二维参数空间上$\西格玛$).

正如通常定义的那样，它是一种作用于二维量子场论空间的操作，具有特定的目标空间。

我想说的是，当你把注意力限制在$\西格玛$-这个模型只涉及Kalb-Ramond场的gerbe在弦的世界表上的表面完整性，然后有一个很好的“定向成形”的定义，简单来说就是$G公司$-gerbe上的等变结构。

理解这一点的一种方法是认识到结构为2-群的交换gerbe（2-束）来自交叉模

实际上应该被认为具有结构2-群

哪个是

从这个角度来看，很明显$G公司$-阿贝尔gerbe上的等变结构可能涉及，此外研究中考虑的常规数据离散扭转的非平凡自同构中取值的某些数据$U（1）$事实证明，正是这种额外的自由度实现了与Kalb-Ramond场耦合的无定向字符串的“世界表方向内卷”。

值得注意的是，2组$U（1）至mathbb{Z} _2$是未编织它确实是非阿贝尔的。（两者都是$U（1）$和$\马特布{Z} _2$当然是阿贝尔群，但半直积$U（1）\times\mathbb{Z} _2$不是，这使得2组$U（1）至mathbb{Z} _2$非阿贝尔）。

这可能有一个显著的结果，即我们由此确定了一个出现在（弦）物理中的gerbe，它确实是（即使只是“轻微”）非阿贝尔的。

无定向（类型I）字符串确实耦合到具有2连接的非贝拉2束。

由于这里的非阿贝尔性只是非常温和的，人们可以通过在捆绑格贝理论中添加额外的符号来“手动”忽略这一事实。但对这些额外符号的系统理解是可以从非贝叶斯语的等变结构方面获得的$（U（1）至mathbb{Z} _2)$-2磅。

您所指的阿贝尔-格贝积运算$f{ijk}$-你真的是指结构功能吗$f_{ij}^k$就基础而言，还是你指的是我更熟悉的模糊因素$c{ijk}$哪一个是2-环？

阿贝尔gerbe的转移函数是$U（1）$-有值函数$f_｛ijk｝$关于三重重叠$U_i\cap U_j\cap（_k）$（满足某些条件）确实可以理解为定义关联乘积运算

（实际上有点像代数体的产物）。

这并不意味着$f{ijk}$表示代数的结构常数。

为了更详细地解释我真正的意思，我所能做的最好的事情是参考对2-传输的一般转换的解释，如TraTriTra公司这显然涉及到产品操作（事实上，单子来自于一个两手的附属物），事实上，Deligne 3-椰子确实可以被理解为这种情况的特例#.

从局部的琐碎和过渡中构建全局，这确实是沃思为他的“谎言理论”提出的公理。

你在这里提出的观点，或者说你正在解决的问题，是一个我只有部分答案的问题。

这是一个困扰我很久的问题。就我个人而言，我觉得我在这里和那里都取得了一些进步，但肯定不是人们所希望的那种。

事实上，在你指给我看沃思的作品后，我立即想知道这可能告诉我们从局部琐碎化中重建任何2-束、2-纤维、2-运输或gerbe等。

我们如何分类！映射圆柱体？

我们需要这样做吗？我的理解是，沃思的结果已经应用于$n=2$情况是，它不是在范畴的世界里，而是在拓扑空间的世界里。

在我看来——如果这是错误的，请纠正我——为了理解Wirth的构造对2-束的解释，我们需要看看他的结果是否可以理解为应用于通过类似于2-束神经的实现获得的拓扑空间。

这是一个我不知道答案的问题。然而，有一些密切相关的事情我认为我确实理解。我将在下文中讨论这一点。

也就是说，从某种意义上说，平行运输改变了人们的看法——180度，这使得问题的出现有些不同。

我的意思是，对于具有连接的主体（1-）束的简单情况进行了说明：

当然，一个主要的1-束是一个映射

具有某些属性。值得注意的是，当我们建立联系时$\纳布拉$在这个束上并传递到它的并行传输，我们得到了一个相反的态射：

现在，态射$\数学{tra}$从右向左包含与同构相同的信息$第页$从左到右（连同连接$\纳布拉$). 尽管如此，总空间$B类$仅从以下角度间接可见$\马特姆{tra}_\纳布拉$.

事实上，我们可以忘记传输群胚上的光滑结构$B \ times_g B$并考虑$\马特姆{tra}_\纳布拉$作为一种形态

如果我们同意将具有共域的传输函子称为不具有光滑结构的范畴——光滑——当它具有光滑的局部转移数据时，我们可以这样做。（我猜您可以用“continuous”来代替此处出现的所有“smooth”，使用相关形式主义.)

但如果我们达成协议，那么就有一种“重建”的方法$\马特姆{tra}_\纳布拉$从其很好地分类的本地转换数据。

现在我来解释一下我的想法（这与我所说的“适当的”当地琐事有关。）：

假设我们选择了一个好的覆盖物

属于$X（X）$通过开可收缩集。说我们已经琐碎了$\马特姆{tra}_\纳布拉$在明显的意义上$单位（_i）$，在每个$单位（_i）$函子

从构成上的双重重叠到去私有化$单位（_i）$启用了重新序列化$U_j（_j）$我们得到了过渡函数$g{ij}$.

现在考虑一下定义的广群内的路径广群$\矩阵{U}$

根据定义，这是以点为对象的广群体$（x，i）$属于$U型$，其形态是生成从

-平滑路径$U型$

-和形式的独特形态$（x，i）\到（x，j）$.

这个群胚有两个有趣的地方$P_1（\mathbf{U}）$:

1） 局部平凡函子的集合$\马特姆{tra}_i：P_1（U_i）\至\西格玛（G）$ 在一起使用转换数据$g{ij}$自然产生函子

作用于形态的生成者$P_1（\mathbf{U}）$以显而易见的方式。

2） 我们总能找到一个举起

通过任何途径$X（X）$，如有必要，将其分解为多条小路径，将每条小路径提升到$单位（_i）$并插入语态$（x，i）至（x，j）$当两条相邻的路径被发送到不同的补丁时。

关键是，通过组合这两个态射，我们确实得到了一个全局定义的函子

从$P_1（X）$到$G\mathrm{Tor}$.

这个函子确实与函子同构

我们开始的。

因此，从“从右到左”的角度来看，并行传输的图片，上述过程提供了一个完全令人满意的概念，即从本地传输数据重建连接束。

到目前为止，我所说的一切都或多或少有一个明显的分类，即2-transport。

所以在这感觉（我以前称之为适当的局部平凡化（local trivialization）事实上，人们可以从其局部跃迁数据重建每个并行的2-传输。

另一方面，这可能不是人们想要的那种感觉。在这个传输函子的重建中没有任何地方$\数学{tra}$从它的本地琐事中，我是否明确地认为总空间 $B类$.

这是可行的，因为从运输的角度来看，总空间（总$n个$-bundle）不是主对象。

所以我们可以说，困难的问题不是重建一个全局定义的函子，其值在$G\mathrm{Tor}$从给定的局部琐碎化$\数学{tra}$，但要重建一个全局定义的函子，它还需要通过传输进行因子分解($n个$-)某些石斑($n个$-)捆绑。

我不知道这个更难的问题的一般答案。我只知道一个特殊的例子#我想我知道答案。