毕达哥拉斯定理最普遍的表述方式之一可能是在内积空间的背景下。少量抽象的胡言乱语以下是（在这个词的非技术意义上）。
所以让我们V（V）成为你的最爱内部产品空间或希尔伯特空间我的正好在我2(X，dμ），的空间平方可积 功能中的测量空间 X关于测量μ、 但如果你喜欢更普通的东西，你可以考虑欧几里德空间 R（右）n个甚至是普通的ol'欧几里得的 飞机 R（右）2初等几何。随便拿两个正交的 矢量 v（v）和w个在里面V（V）.根据正交性的定义<v（v）|w个> = 0.
在V（V），长度v（v）和w个由定义
||v（v）|| := <v（v）|v（v）>1/2
||w个|| := <w个|w个>1/2.
所以，如果毕达哥拉斯定理被翻译成矢量第页，内积第页，规范s、 因此，在这种情况下应该理解为
||v（v）-w个||2================================================================================||v（v）||2+ ||w个||2.
在其他符号中，
<v（v）-w个|v（v）-w个> = <v（v）|v（v）> + <w个|w个>.
这是真的吗？当然是！只要回忆一下公理内积的s，线性的ity和准对称性（或不合格对称如果我们的标量域是真实的），那么就满足我们的需要。这让我们可以写
<v（v）-w个|v（v）-w个> = <v（v）|v（v）>+ <w个|w个> - <w个|v（v）> - <v（v）|w个>，
但是<w个|v（v）> = <v（v）|w个>=0，因为这两个向量是正交的。这建立了勾股定理。
但是等等！我们尚未压缩所有果汁从这个橙色如果这两个向量v（v）和w个最初不是正交的吗？然后右边减去的两个项不会消失，而是消失
<v（v）-w个|v（v）-w个> = <v（v）|v（v）> + <w个|w个> -2重新<v（v）|w个>，
哪里重新表示真实部分。要解释这一点，请记住内部产品也可以写成重新<v（v）|w个> = ||v（v）|| ||w个||cosθ，其中θ是v（v）和w个因此，我们可以写，
||v（v）-w个||2================================================================================||v（v）||2+ ||w个||2- 2||v（v）|| ||w个||cosθ
我们承认这是余弦定律.
当然，一旦所有的定义和公理都被理解了，上面写的一切都是完全正确的琐碎的（这个词的数学意义）。在某种程度上，公理和定义的建立正是为了让毕达哥拉斯定理在内积空间中成立。不幸的是，为什么定义是这样的，并不是很容易解释的，而是只有经验才能解释的。那些不能教的东西之一。或者更确切地说，是我不知道该怎么教的东西。
对于毕达哥拉斯定理的另一个有趣版本（如果给出了正确的定义，那么它可能会包含在当前的解释中），请查看贝塞尔不等式和帕西瓦尔定理有时称为普朗彻定理。警告：在这两种解释中抽象的胡言乱语得到堆得更高更深尽管最初出现过，但基本思想仍然是一样的。