想知道为什么欧几里得算法有效吗？我们已经知道任何一对积极的整数s有一个最大的公约数; 诀窍是找到它。
从两个不同的数字开始，n个1和n个2,我们可以把它们表示为k个1d日和k个2d日,哪里d日是最大的公约数。从定义最大公约数，k个1和k个2是相对质数.
在不失一般性的情况下，我们可以假设k个1>k个2> 0.然后我们可以表达k个1依据k个2:
k个1=c1k个2+k三这样的话c（c）1> 0和k个2>k个三> 0.
不仅如此，k个三相对于k个2，因为d日2d日（其中d日2是最大公约数k个2和k个三)将是的公约数n个1和n个2更大的比d日与我们的定义相反。
我们可以反复重复上述步骤：
k个2=c2k个三+k4
k个三=c三k个4+k5
依此类推，得到一系列级联k个是这样的k个我>k个i+1（输入+1）> 0，以及其中k个我和k个i+1（输入+1）是相对最好的（如果不是，d日我将分k个i-1号机组 那就不是最好的了到k个我).
最终， 我们必须达到米这样的话k个米= 1.
然后k个m-1个=km-1个k个米+ 0. 反向工作，我们可以分配n个我=k我d日并得到欧几里得算法的传统表示：
n个1=c1n个2+n个三
n个2=c2n个三+n个4
...
n个m-2个=cm-2个n个m-1个+n个米
n个m-1个=cm-1个n个米+ 0.
哪里d=n米当然，如果n个米= 1, n个1和n个2相对而言素数。
对原始算法稍作修改，您可以节省一些某些情况下的步骤。由于算法对较小的数字只需较少的步骤，因此您应该使用“最小正余数”每个步骤。也就是说，如果步骤我代表：n个我=dki+1（输入+1）*c我+达克i+2个
我们也可以说
n个我=dki+1（输入+1）*（c）我+1） -d（k）i+1（输入+1）-k个i+2个).
自从k个i+1（输入+1）> k个i+1（输入+1）-k个i+2个> 0，继续执行中的算法k个i+1（输入+1）-k个i+2个将也会提供正确的结果，并且在任何时候都会保存一个步骤k个i+1（输入+1）-k个i+2个<ki+2个
将修改应用于施密克的示例：
636 = 483 * 1 + 153483 = 153 * 3 + 24153=24*6+924=9*3-3/*3小于6*/9=3*3+0/*停止*/
同样，3是636和483的GCD，但我们节省了一步。让我们试试更难的一对数字：973 = 593 * 1 + 380593 = 380 * 1 + 213380 = 213 * 1 + 167213 = 167 * 1 + 46167 = 46 * 3 + 29 46 = 29 * 1 + 17 29 = 17 * 1 + 12 17 = 12 * 1 + 5 12 = 5 * 2 + 2 5 = 2 * 2 + 12=2*1+0/*不必要的最后一步*/
表明973和593相对质数。这将变为： 973 = 593 * 2 - 213593 = 213 * 3 - 46213 = 46 * 5 - 17 46 = 17 * 3 - 5 17 = 5 * 3 + 2 5 = 2 * 2 + 1 2 = 2 * 1 + 0
保存4个步骤。请注意，第二个中出现的大多数数字序列也出现在第一个序列中，但更早了一步。最后，还有一个小消息：欧几里德算法的最坏情况在斐波那契数列.为什么？系数总是1，余数收缩的时间比其他数长数字。而且他们总是相对优秀的，该死的！
编译时C++中的欧几里得算法，使用递归模板是的，我知道它也完成了在这里但许多编译器都会被简单版本阻塞。此版本还使用“最小正余数”快捷方式来保存模板专门化。
#包括<ostream>使用std:：ostream；使用std:：endl；#如果定义STATIC_CONST_WORKS_THE_WAY_IT_SHOULD#定义MAGIC_NUM（n，value）static const unsigned long n=value#其他////枚举黑客宏//#定义MAGIC_NUM（n，value）枚举n##_{n=value}#结尾模板<无符号长i，无符号长j>结构欧几里德{MAGIC_NUM（较小，（i＜j）？i： j））；MAGIC_NUM（较大，（i<j）？：j： i）；MAGIC_NUM（d，（小于等于0）？较小：1））；MAGIC_NUM（r，（小于等于0）？大于%d:0）；MAGIC_NUM（r2，较小的-r）；磁_数值（lpr，（r2<r）？r2:r）；typedef欧几里德<leser，lpr>recur_type；MAGIC_NUM（gcd，（lpr>0）？（lpr>1）？复发类型：：gcd:1）：较小）；磁_数值（lcm，大于*（小于/gcd））；静态ostream公告（ostream&os）{os<<“欧几里得<”<<i<<“，”<j<<“>”<endl；//os<<“d:”<<d<<endl；//os<<“m:”<<m<<endl；//os<<“r:”<<r<<endl；//os<<“lpr:”<<lpr<<endl；//os<<“gcd:”<<gcd<<endl；//os<<“lcm：”<<lcm<<endl；如果（lpr>0）recur_type:：announce（os）；返回os；}//宣布}; // 结构欧几里德