阅读作用于集合的群先写。假设我们有一个有限的组 G公司表演关于有限集X标题的公式是这样的作用的轨道数等于平均数量固定点s表示组元素。让我们给一些更多细节。
如果克是该组的一个元素X克={x在里面X这样的话gx=x}是中的点集X由固定的克.这是标题的公式。
提议轨道数为（1/|G|）总和(克在里面G公司)|X（X）克|.
在我们证明公式我们需要一个引理关于轨道和稳定器。如果x个在里面X它有稳定器
刺(x个)={克在里面G:gx=x}和轨道O（运行）(x个).
引理 |G公司|=|刺（x） ||O（运行）（x）|
证明关于引理。定义一个功能 f： G-->O（运行）(x）通过f（g）=gx那么很容易看出f（g）=f（h）对于一些g、 小时在里面G公司 若（iff） 小时是在同一个刺的陪集(x个)英寸G公司。此外，如果很明显满腹经纶的.因此如果诱导双射
G公司/刺(x个)-->O（运行）(x）.然后计算两边的元素和拉格朗日定理.
回到公式的证明，这很容易。考虑一下这个集合S公司所有配对中（克，x）在里面GxX公司这样的话gx=x.我们将用两个不同的元素来计算S中的元素数方法。
首先，我们开始一个团队的轨道，比如秒元素。现在每个元素x个在轨道上由稳定器中的元件固定。这个轨道稳定引理告诉我们，这个稳定子|G |/秒元素。因此，行动的每个轨道会给我们|G公司|对（克，x）具有gx=x因此，我们可以看到|S=G|.轨道数量。
另一方面，对于每个克在里面G公司的数量（克，x）具有gx=x是（根据定义）|X克|所以我们看到|S|=总和(克在里面G公司)| X克|.
用这两种不同的方法计算S公司一起，我们就得到了结果。