标题：神秘的阿莱夫
字幕：数学，的卡巴拉和搜索无穷
类别：数学,数论,传记,哲学,犹太人的 神秘主义
作者：阿米尔·D·阿克泽尔
版权所有2000，出版由编辑华盛顿广场出版社
这部精彩的作品以我多年来从未经历过的方式激发了我的灵感。从本质上讲，这是一次进入“实际无穷大，“而不是”势无穷大“通过数学探索，例如微积分这本书的中心特点是俄罗斯n出生，但主要是犹太人的数学家康托坎托在柏林大学，但他一生的大部分时间都在哈雷,德国在那里，他耐心等待着搬去的邀请柏林或哥廷根这是当时世界上数学最活跃的两个城市。他尽力在这两个城市找工作，但每一次机会都失败了，这使他勃然大怒。他有点暴躁的个性，经历过几次精神错乱和抑郁在他的一生中，尤其是在他关注所谓“连续统问题”的时期
在“aleph null”一章中介绍了传记信息后，该书深入研究了古代希腊人数学和逻辑。我们首先被介绍到芝诺悖论它被认为是人类所构想的第一个悖论，或者至少是历史上第一个被正式记录和保存下来的悖论。讨论了他的两个著名悖论，这两个悖论实际上是一模一样的；涉及两人之间的比赛阿基里斯和乌龟，以及所谓的二分法悖论也就是说，为了移动一个距离，必须先移动一半距离，然后再移动一半距离等等，这样就不可能移动。尽管这些悖论看起来很愚蠢，但它们在逻辑上提出了一个困难的问题，同时也隐含了一个概念，即涉及无穷和的数列可以产生有限数量。例如总和当n从0开始并接近无穷大时，产生一个接近2的和。
Aczel然后讨论毕达哥拉斯以及他著名的定理，使无理数的概念浮出水面。他提供了毕达哥拉斯崇拜的极好历史，毕达哥拉定理一经发现，毕达戈拉斯崇拜就陷入了所谓的无理数。显然，到目前为止，还没有人真正想到“2的平方根”的概念毕达哥拉斯学派我们很清楚所谓的“平方数”，如1、2、4、16等等，但并没有真正遇到需要找到不是“偶数平方”的数字的平方根的问题。毕达哥拉斯认为“上帝就是数字“最高和最多的精神数字是自然数，即从0开始的非负整数。他们能够通过将分数表示为比率第个，共个整数例如，重复0.6666可以表示为2除以3的比率。因此，尽管有一些分数蜿蜒到无穷大，但到目前为止，它们都可以表示为“上帝的数字。"
一旦发现勾股定理，也就是说，这个定理告诉我们，给定一个边为a和B的直角三角形低血压C、 边的长度可以用方程式A²+B²=C²表示，毕达哥拉斯人面临的概念是无理数考虑一英尺乘一英尺的平方。沿着对角线把正方形分成两半。对角线有多长？很明显，我们已经创建了两个边为“A=1”和“B=1”的完美直角三角形。那么C是什么？好吧，如果1²+1²=C²，那么2=C²并且C=平方根（2）。二的平方根是多少？它能用数字表示吗？它能用整数的比率来表示吗？不。真正表示数字的唯一方法是将其表示为“平方根2”或代数方程的根。
这给毕达哥拉斯人带来了一个有趣的两难境地，他们崇拜整数，直到现在都相信任何东西都可以用“上帝的数字”的比率来表示。因此，他们尽可能长时间地将这一发现保密，但是，有人将这一秘密泄露出去只是时间问题模因松动。社团成员希帕索斯据信是泄密者，据传说，要么被驱逐出社会，要么被活埋，要么被洪乔头目本人（强大的毕达哥拉斯）杀害，要么被其他成员启航，然后沉没至死。不久之后，希腊语几何学出生，这让我们看到了一个有点“明显”的事实，即在任何给定的数字线上，都有无穷大非理性的等待发现的数字。
在这节简短的数学历史课之后，Aczel深入研究了卡巴拉他讲述了犹太祭司的建立以色列人和神秘“乌里姆veTumim，“一条项链，由一条金链组成，链上有十二个正方形的贵金属，每个正方形对应一个以色列部落。这条祭司身份及其神圣的项链标志着所谓“犹太神秘主义”的开始。“我们了解到一世纪的拉比约瑟夫·本·阿基娃他写下了后来统称为Kabbalah（或卡巴拉，或者你想怎么做音译它）。他的作品旨在创造生动的心理图像，引导人们神圣的，神圣的 冥想因此与上帝合一显然，这位好的拉比自己能够陷入最深的冥想，在冥想中他体验到了强大的力量幻觉他警告他的受试者不要着迷于此，以免他们陷入疯狂。传说阿基娃和另外三位拉比一起进入了一座冥想宫殿，并试图看到“查卢克“那就是上帝见面时穿的那件无比明亮的长袍摩西在西奈山一位名叫本·阿赛的参与者据说在经历了上帝的无限光明后去世，因为他在经历了如此巨大的美丽之后无法继续生活。”启蒙，“双关语不是有意的。第二个，本·阿布亚，据说看到了两个神而不是一个，成为了一个叛徒据说，第三个孩子本·佐玛（Ben Zoma）已经完全疯了，因为他无法理解自己所看到的，也无法将其与日常生活联系起来。
我们被告知，只有阿基娃（Akiva）真正经历了这段经历。在这一章中，我们了解了更多关于卡巴拉的知识，尽管我必须将这本书重读几遍，才能完全理解它的组成，以及它与整个作品的关系。基本上，我在这里总结的观点是，上帝的神秘概念是作为十个相互关联的函数来表达的，超维的世界。上帝既是这十个世界，也是它们存在的空虚。上帝在世界中，上帝在世界之外。这很有趣，因为毕达哥拉斯人也相信上帝的“十无”和“无限”。我从这一章中收集到的关于卡巴拉的最终的、深远的观点是，上帝是有限的、无限的、无有的、一个的和所有的，而试图凝视这一看似矛盾的东西，只会驱使大多数人精神上准备好了使人陷入令人讨厌的精神病。也许可以说，阿基娃拥有一种近乎Zen的品质，使他能够体验到这种幸福的奇妙，而不会失去理智。
在这篇关于神秘主义的激动人心的篇章之后，我们再次沉浸在硬科学的世界中，在那里我们学习伽利略伽利略。我们被教导，随着微积分，“潜在无穷大”的概念被实现并利用到许多极端，以便在有限的水平上处理无穷大。前面提到的和序列“1/（2^n）”是势无穷大的一个例子。我们不需要真正理解无穷大本身就能认识到这个和收敛于二。从0运行n到1000，您对这里发生的事情有了相当清楚的了解。但是实际的无限完全是另一回事。我们得到了伽利略的一个很好的历史记录迫害以及后续软禁以及在这种隐居生活中，他是如何有机会将无限本身作为一种不仅仅是数学的东西来处理的抽象.伽利略深入研究集合论，并发现在任何无限集内都可以导出无限子集。一个例子是所有自然数从1开始，即{1,2,3，…}。现在考虑所有偶数自然数的集合广场s--{1,4,16,25，……）尽管第二组更“严格”，而且每个数字与下一组的距离更大，但这两组包含的数字数量相等——数量无限相等。
然后我们了解到伯恩哈德·博尔扎诺，他将伽利略的推理向前推进了一步，并将其应用于数字连续体的概念，即无限密集的数字线。例如，如果我们考虑0到1之间的所有数字，那么在有限距离内存在无穷大的量。这条线的长度只有一个单位，但它可以永远被分割。然而，对于由端点0和2定义的直线也可以这样说。虽然一行的长度是另一行的两倍，但它们都包含“相等”数量的元素。这与伽利略的发现相对应，即更严格定义的数字子集仍然包含与其限制较少的父集合相同数量的元素。
我可以在这里一直读下去（这本书涵盖了许多其他数学难题，例如圆的平方），但我想在自己重新写整本书之前先解决手头的问题。这是一本优秀的书，任何对数论有丝毫兴趣的人都应该购买。我们最终了解到，在任何有限的数字连续体中，超越数形成最高的无穷级也就是说，即使数字0和1之间有无穷多的有理数和无理数，也有“更多”的无限超越的数字。伽利略和博尔扎诺在可计数的然而，无穷多的数字集、越来越小的子集仍然包含相同数量的元素。但超越数是不可数的。没有办法从一个超越数移到下一个。
那么普通的，普通的“无理数”和“超越数”？所有超越数都是无理的，但并非所有无理数都是超越的。我们可以认为这意味着超越数是一个子集对于无理数，但令人费解的是，给定任意一条数线，如果随机选取任意一点，它超越的可能性，不仅是“无理”，而且是“超越的”，是1。可能性一。这是正确的。这看起来很疯狂，但这是真的。这就是乔治·坎特发现的——无穷大的高阶但回到最初的问题，有两种类型的无理数。有“代数的“无理数”和“先验的”无理数。你可能还记得我们之前讨论过毕达哥拉斯人是如何被无理数吹走的，因为它们不能表示为简单的整数比。然而，它们仍然可以表示为功能整数。例如，2的平方根是一个无理数，但我们仍然可以通过考虑“2”的函数来得到这个看似无限复杂的数（小数点后的数字永远持续，但永远不会以任何可识别的模式重复）代数无理数“因为虽然它们不能用简单的整数比率来表示，但它们可以表示为根多项式 方程式s涉及整数。考虑x²-2=0。这变成x²=2，然后“x”成为2的平方根。因此，即使二的平方根永远存在，我们仍然可以用一个包含简单整数的非常有限的方程来抽象地表达这个概念，而不必写出每个小数位。
先验数字不能这样表达。这意味着实数的其他“顺序”都可以被视为涉及整数的函数，但超越数除外。我们确信π和ε是先验的唯一原因是因为著名的欧拉等式中，我们被告知（e^（i*pi））+1=0。没有这个方程，我们永远无法真正确定，因为我们必须想象每一个可能的可理解多项式方程，并且永远无法完全排除任何函数，因为我们不得不尝试无穷多个系数因此，即使超越数看起来很罕见，如果你愿意的话，它们在数字线上形成了最丰富的一致性。如前所述，选择“真”随机的任意点，则命中超验的可能性为绝对肯定.
这难道不让人感到困惑吗？这无疑让格奥尔格·坎托感到困惑。然而，他是第一个真正与涉及不可数集的实际无穷大作斗争的数学家。我所说的不可数是指没有办法开始枚举一组超越数。无法从上一个数字得到下一个数字，而集合{1,2,3,4，…}可以永远延伸，而不会混淆它将要去哪里。即使是代数无理数也可以计算，方法是在每个小数位上加一个“1”，以得到下一个数（康托自己发现的）。康托基本上发现了无限级的存在，连续体代表了可能的最高阶。在他努力解决连续体假说这涉及到确定在最低阶和连续统本身的阶之间是否存在无穷级，他多次发疯，不断地提出一种证明，反驳它，然后再提出另一种证明。他多次住进精神病院，然后似乎完全康复了，但在试图再次解决这些问题时又复发了。
库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）一生都试图做同一件事，并且多次这样做让自己发疯。尽管坎托（Cantor）有精神疾病的个人病史（但没有家族病史），哥德尔却没有。尽管康托有许多反对他的意识形态敌人，因此有理由发展一种迫害情结，但哥德尔并没有。然而，他们两人都发展出了这样一种混乱，感觉自己好像是在为上帝工作，并遭到了他的敌人的反对，他们决心隐藏真理当康托达到了他的临界点时，他开始沉迷于非推论者无法解决的问题。他想证明这一点莎士比亚他从未写过任何剧本；他们真的是由弗朗西斯·培根哥德尔也发生了类似的事情——在试图解决这个连续体问题时，他陷入了证明数学家莱布尼兹剽窃了他的许多理论。这两个人都面临着实际无限的问题，结果变成了偏执狂和狂妄自大的疯子。作者将此与前面提到的chaluk联系起来；那件无限长的白色长袍致残、杀害了三位试图理解它的拉比，并以其他方式把他们逼疯了。
那么这一切意味着什么呢？在试图解决这些问题的过程中，哥德尔遇到了他的臭名昭著的不完备定理这告诉我们，在任何形式化的公理系统（数学就是其中的一个例子）中，都会有在该系统范围内无法证明的定理。在这本书中，我们了解到自然数最终是由数学家定义的皮亚诺通过集合论。零是空集。一个是包含空集的集。第二个是包含包含空集的集合，再加上另一个空集，等等。我们还了解到伯特兰·罗素的悖论，它对集合理论本身的整体提出了质疑，尽管事实上许多数学都依赖它作为基础。罗素邀请我们考虑所有非自身成员的集合。这样一个例子就是所有动物的集合。既然集合不是动物，那么所有不是动物的事物的集合本身就不是集合。但考虑一下不是动物。既然布景不是动物，布景本身就属于它自己。但是，如果我们考虑所有集合的集合，它们不是自身的成员，我们就会面临这样一个问题——集合本身是自身的成员吗？如果它是，那么它不是。如果它不是，那么它就是。罗素试图通过提出集合论的一个复杂版本来调和这个悖论，在这个版本中，集合有较低的“阶”。例如，集合的最低顺序不能包含集合，只能包含数字。下一个顺序只能包含数字和较低顺序的集合。然而，这无疑使集合论复杂化，并提出了自己的问题。哥德尔证明，使用正式系统根本无法回避这个问题。
由于自然数的定义依赖于集合论创造的基础，这个看似无害的悖论告诉我们，整个数学依赖于自身无法完全解决的基础。虽然很明显1+1=2假设基于“1”和“2”是空集的定义，集合论本身是不完整的，所以我们甚至不确定“2”的含义。有理数和代数无理数被定义为包含自然数的方程的比率或函数，我们无法确定这些数字是否“合法”或“有效”或“真实”，尽管看起来很奇怪。但是超越数，例如圆周率不能表示为集合的函数，并且不能计数。所以，虽然毕达哥拉斯人相信自然数是上帝的数字，但超越我们对数学最基本假设的是超越了的数字。它是超越人类意识领域的“存在”的超越数字（假设你不是人类原理)-我们找到了“e”的近似值，这个近似值本身也是超越的-在一个繁殖的细菌群落中。我们找到了一个“pi”的近似，这个近似本身也是超越性的-在美丽的热核引力混沌球中，我们称之为恒星。这些“数字存在”超出了我们的意识范围。如果没有我们，它们仍会在那里，定义着天堂本身的连续体。正是自然数要求我们验证它们的存在。不能说自然数确实“存在”于自身的优点之上。Aczel自己深入研究了“数字真的存在吗？”并讨论了“一切”也包含“虚无”的概念。可以说，所有的集合都包含空集，这是这个概念的最抽象的数学“证明”，即任何事物都与万物密不可分。无法将两者区分开来。
读完这本书后，我深信关于超越数的力量还有很多东西要学，宇宙内部运行的许多奥秘在于发现这些不可思议的、无处不在的量的特性。读完这本书后，如果你还没有读过，我的下一个建议是哥德尔、埃舍尔、巴赫：永恒的金辫子。玩得开心。。。
你可能会注意到，我从未真正解释过“aleph”在本书中的含义。我不是故意这样做的，但我将把这一发现作为读者的练习