为“维“至形状没有线或球，或者更一般地说是歧管.A型形状谁的Hausdorff维数不是整数是一个分形的（该期限到期于Benoit曼德尔布罗特，他是著名的设置). 如果你看过科赫雪花，其Hausdorff维数为log 4/log 3。更详细地说：我们在一个固定的欧几里德空间 R（右）n个对于每个实数s≥0，都有一个测度H（H）秒为的子集定义R（右）n个.H（H）秒被称为秒-维铝豪斯道夫测量（通常用大写字母H书写）。顾名思义，H（H）秒测量“s”-维子集合的“al volume”R（右）n个。其构造的关键思想是注意，对于整数维s和简单集合A（例如-维铝盒或球），s-维A的al体积是A直径的s次幂的常数倍。球的常数是2-秒α（s），其中α（s”）是s-空间中单位球{x|≤1}的s-体积的传统表示法。但α（s）有一个简单的公式伽马函数，适用于所有实s≥0：
α（s）=Γ（1/2）秒/Γ（1+s/2）。(*)
我们当然可以利用直径，所以公式
体积秒（A） =2-秒α（s）直径A
用于定义s-维al体积函数，至少对于球而言，当s为整数时，它与普通体积一致。现在我们使用的是测量理论作为卡拉斯气味的构造。它相当于测量任意集合A的体积，方法是用一组球覆盖A，将其体积相加，然后取极限值，因为球的最大尺寸缩小为零。给定一个（不一定是有限的）集合{B我}由壬覆盖A的球定义
体积秒（A；{B我}) = ∑我体积秒（B）我)和体积秒（A；t）=inf卷秒（A；{B我})
下确界覆盖所有覆盖物{B我}A的球数最大直径t.然后定义
H（H）秒（A） =极限t→0体积秒（A；t）
结果产生了测量在度量中需要所有良好的属性，这与s一致-维铝勒贝格测度对于整数s。
（*）为了证明这一点，计算exp（-|x）的积分|2)在极坐标中R（右）n个利用Fubini定理和Γ（1/2）=π的事实1/2.
[另请注意，在度量空间人们可以找到直径在任何一局中，不仅仅是一个球：直径A=sup{d（x，y）|x，y∈A}。因此，可以使用球家族中不同家族成员的覆盖物来进行Carathéodory的建造。一般来说，一个人会得到不同的措施。详情请参见费德勒，几何测量理论, 2.10.]
如果你玩弄这个定义一段时间，你会发现对于任何给定的集合a，都有最多一个实数s，因此0<H（H）秒（A） <∞。直观地说，如果你拿一个集合，试图用一个太小的维度来测量它的体积，你总是会得到∞，如果你试图用太大的维度测量它的容积，你总是得到0。∞范围和0范围之间的唯一断点称为Hausdorff维数（也有可能在断点处的体积本身为0或∞；例如R（右）具有Hausdorff维度1和无限1体积。）Hausdorff维数在实践中很难计算，因为现有的定义都不是很有建设性的。使用上面的定义，不难获得某个对象的Hausdorff维数的上限：只需展示一个精确的覆盖序列，其体积秒降至零。要获得下限要困难得多，因为您必须显示vol秒属于每一个覆盖层的细化顺序无限制地增加。如果您感兴趣的集合具有简单的递归结构，例如科赫雪花 杰博亚·科林诺夫斯基如下所述，然后您可以实际计算出s，它将产生有限正H（H）秒，然后计算这个数字，这样就不必给出边界。但否则，你或多或少会陷入困境。
了解更多豪斯道夫测量s和其他部分的严格数学理论分形的设置，您可能会求助于几何测量理论：初学者指南Frank Morgan，或分形集的几何肯尼斯·福尔科纳（Kenneth Falconer）。有关Carathéodory建筑和其他技术问题的详细信息，请参阅优秀但密集的几何测量理论赫伯特·费德勒。