著名数学家大卫·希尔伯特提出了一份清单二十三个问题在第二届国际会议上数学1900年。第七个是:
如果是代数的且不等于1或0,且b为不合理的,关于超越性^b的?
1934年亚历山大·盖尔丰德对于b是代数的情况,部分地解决了这个问题。正式声明,Gelfond定理如下:
对于所有的∈ A类,一个≠1、0和b∈A类和b∉ 问,a ^b∉A类。
在这里A类是所有代数数的集合(那些是解决属于有限的,有限的 多项式具有整数系数)和问是全部的集合理性的这个定理的一个著名用途是证明e^π是超越的,如下所示。
-1∈A类, ≠ 1, 0-i∈A类, ∉问
∴(-1)^(-i)∉A类
e^(iπ)=-1(-1)^(-i)=(e^(iπ))^ψe^π∉A类e^π是超越的。
这个一般的希尔伯特第七个问题中提出的情况仍然存在未解决。
来源
埃里克·韦斯特因。埃里克·魏斯坦的《数学世界》。mathworld.wolfram.com。沃尔夫勒姆研究公司,Inc.于2003年2月4日访问。
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