傅里叶变换

每周期性的 功能（“wave”）可以（唯一地！）解释为基本波的加权和(正弦s和余弦s） 不同频率。可能需要无限多的频率来完整描述波。

傅里叶变换是描述这种解释的函数。它将函数映射时间转换为振幅（从0到函数周期），再转换为相应的函数映射频率到频率强度。

高效计算它的方法称为快速傅立叶变换（“快速傅里叶变换”）。

许多子集傅里叶变换在以下方面很有用压缩例如，JPEG格式,MPEG-1标准和MPEG-2标准^*,MJPEG公司，以及许多其他CODEC公司的工作基于打折s、 它们是快速傅立叶变换第条(MPEG-4标准也支持所有MPEG-1和MPEG-2，但主要使用一系列其他压缩机制层s、 大部分小波和程序性的而非DCT。）基本上只有最占主导地位的存储波，并使用哈夫曼或类似情况。这种技术称为有损压缩，因为只有最占主导地位的保留了详细信息（通常最重要的，但这导致问题s与医学的那些不理解JPEG的人传输的图像会损失很多细节).

^*与流行的观点相反，MP3格式不是MPEG-3标准（不存在）；它是的一部分MPEG-1标准.MP3因其通用性而得名文件扩展名从MPEG-1派生而来音频第3层。许多低比特率的所谓MP3实际上也使用第2层进行压缩。不幸的是，当人们看到MPG公司归档他们认为电影就像他们看到WAV（加权平均值）他们认为声音尽管两者都有格式s是多个-块多层次、多人才。事实上参考实现MPEG-1 Layer 3 CODEC将音频块转换为WAV文件，而不是MPEG文件，因为这是一个适当的方法（然而，大多数程序都有懒惰的，与大多数情况一样人在理解这些内容时，WAV和MPG等格式的要点是不要必须知道区别，因为它应该取决于程序s至摸索这）。（这是一个MaggieRant（tm）公司。在完全无关的话题中挖掘时，要考虑自己更有见地。：）

傅里叶变换是应用数学中一个极其重要的工具。它出现在电动力学，研究波浪、和量子力学和与格林函数s.它在纯数学中也非常有用，因为它可以用来证明某些类别的微分方程.

傅里叶变换与傅里叶级数傅里叶级数允许我们将周期函数表示为离散的正弦波的和，而傅里叶变换允许我们表达任何函数a连续的 完整的正弦波。

定义

对于复杂的 功能f（x）满足以下条件

积分（|f（x）|dx，x=-inf.…inf）

取有限值，傅里叶变换F（k）由下式给出

F（k）=1/sqrt（2π）积分（F（x）exp（-ikx）dx，x=-inf…inf）。

评论

函数F通常用波浪号（“~”）表示为F。我们认为F（k）是F在Fourier空间中的表示，即二重的到正常空间。在应用数学中，1/sqrt（2π）因子被省略了：因为我们从未直接比较f（x）和f（k），所以很少需要。由于积分是从负无穷到正无穷的等高线积分尤其是Jordan引理，通常很有用。

有一个对应的矢量结果：如果f(x个)是n维上的函数，然后进行傅里叶变换

F类(ξ) = (2π)无/2积分（f(x个)经验（-ix个.ξ)dx，x英寸R（右）n个).

基本属性

从定义中，我们可以证明以下基本结果，这些结果在处理傅里叶表达式时非常有用。

1. 线性设h（x）=f（x）+g（x）。则H（k）=F（k）+G（k）。
2. 翻译设g（x）=f（x-a）。则G（k）=exp（-ika）F（k）。
3. 频率偏移设g（x）=exp（ilx）f（x）。则G（k）=F（k-l）。
4. 缩放比例设g（x）=f（ax）。则G（k）=F（k/a）/|a|。
5. 导数设g（x）=f'（x）。然后G（k）=ik F（k）。
6. x的因子设g（x）=xf（x）。那么G（k）=i dF（k）/dk。

这些结果很容易用积分的性质证明。注意结果2和3以及结果5和6的二元性。第五个结果在傅里叶变换的许多应用中至关重要，因为它允许我们以无导数的形式重写微分方程。例如，考虑微分方程

f''（x）-5f'（x）+6f（x）=g（x）

其中，我们希望找到任意输入函数g（x）的f（x）。那么在傅里叶表示中，我们有

-k个2F（k）-5 ik F（kF（k）=G（k）/（6-5ik-k2).

使用傅里叶变换，我们现在有一个连接f和g的表达式，不涉及任何导数。

反转

假设F（k）是F（x）的傅里叶变换。那么如果f是连续的，我们有傅里叶逆变换

f（x）=1/sqrt（2π）积分（exp（ikx）f（k）dk，k=-inf.…inf）。

如果f是不连续的在x处，我们得到了更一般的结果

（f（x+)+f（x-))/2=1/sqrt（2π）积分（exp（ikx）F（k）dk，k=-inf.…inf），

其中f（x₊)和f（x_-)表示不连续两边的f值。

傅里叶变换对于各种光谱技术都非常重要，例如核磁共振和红外光谱学.之前计算机有足够的力量处理算法很快，所有测量都在连续的 波动模式。FT和CW两种方法之间的差异可以如下所示：-

说你做了一个教堂钟，总体而言语气将由多种频率和谐波; 钟的声音有多好取决于准确度振幅产生的每个频率。你可以量化所有这些都是通过对钟的性能进行测量。。。。

一种方法是使用频率发生器，扬声器和a麦克风你可以把扬声器和麦克风放在钟里面，然后生成整个范围内的离散频率可能会得到响应并通过扬声器播放。您可以使用麦克风测量每个频率的钟声响应，绘制振幅随时随地在图表纸上回复。这会给你一个光谱钟的特点。注意，要进行非常精细的测量，您必须非常仔细地扫描，就像尝试调谐到两个非常接近的值中的一个调频电台，这需要时间。此外，信号的振幅可能非常微弱，因此可能需要灵敏的设备。

一个更好的方法是拿起麦克风，把它插在钟上，然后用铁锤! 现在输出将是一个非常复杂的波形，包括全部的钟能产生的频率衰减时间. The傅立叶变换可以接受这个时间并将其转换回频率域以给出与上述相同的结果。这个自由的 感应的 衰退生产是常见的数字化的并存储在计算机中。这种方法的优点是速度很快，容易将许多实验的结果相加，（让噪声平均的输出到接近零），并且易于对原始数据执行信号增强。此外分辨率（辨别频率的能力）很大程度上取决于你能制造出多好的数字化仪。举个例子核磁共振以连续波模式采集数据的光谱仪可能需要10分钟才能记录到非常高的分辨率质子由以下部分组成的光谱一扫描。在傅里叶变换模式下，它可以每两秒（或更短）进行一次扫描！因此，可以在很短的时间内获得相同的结果，或者在相同的时间内大大提高信噪比质量。

FT光谱仪首次出现时市场，他们对科学，因为他们把非常困难的事情变成了例行公事。

傅里叶变换用于将函数转换为互易空间。倒数空间用于描述成分函数的行为周期性比如，假设你在海洋中，波浪以20米的间距向你袭来。有一个函数描述每个点的水高度；这个函数到处都不同。你的倒数空间水面高度函数更简单，因为它是零除了一高面积为2π/20米。看着它，你会说，“哦，那是每20米一个周期！”

其次，对函数进行傅里叶变换的过程几乎是自转换的。也就是说，函数的傅里叶变换公式是傅里叶逆变换公式的复共轭。这是正确的，至少对于任何有效的傅立叶变换，直到一个常数因子；上面使用的形式没有这个性质，因为傅里叶变换及其逆变换相差2π。然而，可以选择两者作为几何平均值，在这种情况下，它们又是复杂的缀合物。

第三，傅里叶变换函数的乘积f（x）g（x）=卷积它们各自的傅里叶变换F（k）oG（k）。应用前面的原理，我们可以将其转换为F（k）G（k）=F（x）og（x）的傅里叶变换。这是一个非常有用的恒等式，因为卷积在各种各样的问题中出现，否则很难计算。

将傅里叶变换视为基础的改变在里面功能空间从狄拉克δ函数s至复合开瓶器第条。

唯一的非平凡函数是保存在傅里叶变换是高斯曲线.

如果函数是周期性的，那么所有不是这个波数倍数的分量都是0，这是一系列尖峰。这个系列被称为傅里叶级数。如果您事先知道函数是周期性的，并且您知道周期，则只需计算此系列的元素即可节省工作量。