严格地说，不是证明,欧拉的关系 e^{pii}+1=0是一个定义允许一个人服用复杂的的权力电子。然而，一致的使用解析延拓属于经验定义见真实的行。（换言之，这很有道理，而且行为完全符合人们的意愿）。

电子^我*x=顺式（x）

简单地叙述了指数的超越函数和三角学。通过插入值给出的语句圆周率for x演示了自然幂运算基数e、pi、负单位和虚单位：

电子^i*pi= -1

因为它在一个小等式中代表了许多概念，所以它是智能生活在地球上留下许多印记美国国家航空航天局航天器。当然，这是假设小绿人会有足够的耐心和运气去发现那些小小的潦草文字代表着数学真理，而不是一种宣言将要飞翔.

推导身份本身涉及到以下一些知识微积分和组合学。如果你愿意，可以通过在sci.mah中查找Euler公式来简化它常见问题解答网址：www.faqs.org。

假设你“推一个等式无中生有":

年=cosx个+我罪x个（也称为顺式 x个)

哪里我= √-1. 注意，该等式基本上意味着如果x个是一个角度弧度s、 比年是该角度的点在单位圆在中复平面.这并不重要尽管如此。我们采取导数每侧的x个:

^天/_天x个(年) =^天/_天x个（科斯x个+我罪x个)
^天年/_天x个=-正弦x个+我余弦x个
^天年/_天x个=我(我罪x个+科斯x个)
^天年/_天x个=我（科斯x个+我罪x个)

因此，由于第一个方程，

^天年/_天x个=是的

怪异的已经。这就是微分方程的用武之地

¹/_年天年=我天x个
∫¹/_年天年= ∫我天x个
在|年| =九+C类
|年| =总工程师^九
年= ±总工程师^九

因此替代:

±总工程师^九=cosx个+我罪x个

设置x个到0以了解C类:

±总工程师^0我=cos 0+我正弦0
±C类= 1
C类= 1

自C类必须等于1（和负数C类是不必要的，因为它是错误的x个=0），我们可以忘记它。

电子^九=cosx个+我罪x个

有趣的东西.替换π对于x个给出了每个人都在谈论的方程式：

电子^我π= -1

或者，正如大多数人喜欢表达的那样：

电子^我π+ 1 = 0.

泰勒级数 证明属于欧拉的关系：电子^π我=-1

步骤一：泰勒系列

∞（f）（n）（x）0)（x-x0)n个Σ    ---------------n=0 n！

如果你不这样做知道那是什么意思是s、 有地狱里没有办法我可以解释这是给你的。不过，我会的澄清那个（f）^（n）（x） 意思是“n^第个 导数属于（f）（x） “。

如果这些都不构成感觉对你来说，你可能想看地点：

• ∑符号
• 微积分
• ！
• 导数

重要的泰勒系列#1： （f）（x）=电子^x个

功能电子^x个是它的吗拥有导数--这是一个非常独特的 财产属于电子^x个我不会证明在这里。

对于这个泰勒级数，我将使用x₀=0.（e；：x₀=0泰勒级数的情况称为Maclurin系列.）从何时开始（f）（x）=电子^x个，全部（f）^（n）（x）=（f）（x） 和f（x₀)=f（0）=电子⁰=1，术语（f）^（n）总是取消到1和退出方程式的完全地此外，（x-x₀)=（x-0）=（x）。因此：

∞（f）（x）=电子x个=x0/0!+x个1/1!+x个2/2!+x个三/3!...=  ∑xn个/不！n=0

重要的泰勒系列#2和3： （f）（x） =sin（x）和 （f）（x） =cos（x）

再一次，x₀=0.我不会推导这个特别的系列，但如果你插头以数字表示少许 学期你可以满足你自己也觉得它有效。

∞（f）（x） =正弦（x）=x-x三/3!+x个5/5!-x个7/7!...= Σ  (-1)n个x个2n+1/（2n+1）！n=0

对于（f）（x） =cos（x）：

∞（f）（x） =正弦（x）=1-x2/2!+x个4/4!-x个6/6！…=Σ  (-1)n个x个2个/（2n）！n=0

信任我，这些工作。你只需要一点点就可以得到它们麻烦，如果你想的话钥匙那是罪吗（x₀)=0和cos（x₀)=1.

第二步：电子^x个我

插件x我对于中的x电子^x个泰勒系列。

（f）（x）我)=电子x个我=（x我)0/0!+（x）我)1/1!+（x）我)2/2!+（x）我)三/3!+ （x）我)4/4!...=我0x个0/0!+我1x个1/1!+我2x个2/2!+我三x个三/3!+我4x个4/4!

现在，我们想摆脱数量相同我是作为可能的--记得,我=√(-1).因此，的指数我处于四步循环：

  我0=1我1=我
  我2=√-1)2=-1我三=√-1)2我=-1我=-我(我4=√-1)22=-12=1 )

如果这对你来说没有任何意义，请阅读以下内容：

• 我
• 虚数
• 复数
• 指数

（f）（x）=电子x个我=x0/0!+我x个1/1!-x个2/2-我x个三/3!+x个4/4!

分离退出真实的和虚项：

=（x0/0!-x个2/2!+x个4/4!...)+我（x）1/1!-x个三/3!+x个5/5!...)

∞                         ∞=( Σ  (-1)n个x个2n+1/（2n+1）！）+我（∑（-1）n个x个2个/（2n）！）n=0 n=0电子x个我=cos（x）+我罪（x）

第三步：电子^π我

电子x个我=cos（x）+我罪（x）电子π我=cos（π）+我sin（π）

• Radian公司
• 正弦
• 余弦

电子π我=cos（π）+我sin（π）=-1+我0=-1电子π我=-1

（这个等式仍然是正确的，而且在可预见的未来也是如此。伙计们，这就是为什么数学比发出嘶嘶声.)

e^i（θ）=顺式（θ

这是数学中最美的关系。对于那些阅读有困难的人来说电子以…的力量我乘以θ（其中θ是a的自变量角度（角度）的变量复数)等于余弦（θ）+我罪（θ）或顺式（θ）。而cis（theta）是表示复数的一种非常方便的方式。

现在来看看证明：很久以前，一些爱尔兰数学家命名为MacLauren的东西，开始分析一个等于序列A的函数₀+A类₁x个+A类₂x个²+A类_三x个^三+。。。。他开始寻找这样一个函数的导数。

f'（x）=A₁+2安培₂x个+3A级_三x个²+4A级_三x个^三+ ...

f“”（x）=2！A类₂+3•2安_三x个+4•3A₄x个²+5•4A级₅x个^三+。。。

f“”（x）=3！A类_三+4•3•2安₄x个+5•4•3A₅x个²+6•5•4A₆x个^三+ ...

f“”（x）=4！A类₄+5•4•3•2A₅x个+6•5•4•3A₆x个²+7•6•5•4A₇x个^三+ ...

...

然后他观察到，如果他知道f（0）、f'（0）和f''（0）等等，他就能解出f（x）的方程

f（0）=A₀+A类₁x个+A类₂x个²+A类_三x个^三+ ....

f'（0）=A₁+2安培₂（0）+3A_三(0)²+第4页_三(0)^三+ ...

f“”（0）=2！A类₂+3•2安_三（0）+4•3A₄(0)²+5•4A级₅(0)^三+ ...

f“”（0）=3！A类_三+4•3•2安₄（0）+5•4•3A₅(0)²+6•5•4A₆(0)^三+ ...

f“”（0）=4！A类₄+5•4•3•2A₅（0）+6•5•4•3A₆(0)²+7•6•5•4A₇(0)^三+ ...

f（0）=A₀

f'（0）=1！A类₁

f“”（0）=2！A类₂

f“”（0）=3！A类_三

f“”（0）=4！A类₄

然后他认为A₁=f'（0）/1，A类₂=f“”（0）/2！，A（3）=f“”/3！以此类推，A_n个=f（0）^n个/不！哪里！表示阶乘的符号。服务提供商。。。

f（x）=f（0）+f'（0）x个+f“”（0）x个²/2! + f“”（0）x个^三/3! + ... + （f）^n个(0)x个^n个/n！+。。。

这是函数，让我们找出功能我们知道f（0）和零的所有导数。我们知道的三个功能是罪x、，余弦x和电子^x。

关于微积分三角测量的功能

f（x）=sinx的导数等于cosx即f'（x）=cosx，cosx的导数是-sinx，所以f'（x）=-sinx然后是它的导数；f’’’（x）=-cosx和f’’’’（x）=sinx，然后对进一步的导数重复。（对此有一个相当方便的证据，但需要图形表示法准确传达想法，很难在HTML中证明。）所以现在sin0=0和cos0=1现在把它插入到我们上面的恒等式中sinx=0+1*x+0*x^2/2！+（-1）x^3/3！+（-0）x^4/4！+。。。现在可以将其改写为sinx=x-x^3/3！+x^5/5！-x^7/7！+x^9/9！+。。。cos x可以写成1-x^2/2！+x^4/4！-x^6/6！+x^8/8！+。。。

现在假设电子是这样一个数字导数e^x=e^x，然后我们可以找到与权力零等于一，那么我们可以放心地说，e^x对x=0的所有导数都是1。再次以麦克劳伦的系列为例。

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+x^4/4！+。。。

现在取一个数字i，这样i=-1并将其放入e^x的方程式中，我们得到：

e^i=1+i+i^2/2！+i^3/3！+i^4/4！+i^5/5！+。。。

首先，我们知道对于i^n/n中所有n的偶数值！我不知道！将是真实的（不会使用i）。看到i^2=-1，然后i^4=1和i^6=-1，我们可以得出结论，所有只能被2整除而不能被4整除的n值都是负数，所有可以被4整掉的n值也都是正数。所以只看e^i中n的偶数值，e^i=1+i^2/2！+i^4/4！+i ^6/6！+i^8/8！+。。。

并用我们的两个理论简化e^i=1-1/2！+1/4! - 1/6! + 1/8! + ... 这看起来对cosx方程非常熟悉，如果我们有^ix，那么实部就等于cosx。

对于非真实部分；对于所有不能被2整除的n值，我们知道i不会被乘以，而这部分是想像的再次使用与上述理论类似的理论，我们可以声明，对于所有n-1可以被2整除而不是四整除的值，i^n/n！是负数，对于n-1可以被4整除的所有值，i^n/n！是积极的。

e^i=1+i-1/2！-i/3！+1/4! + i/5！-1/6! - i/7！+1/8! + i/9！-。。。

重新排列的e^i=1-1/2！+1/4!- 1/6! +1/8! -... + i-i/3！+i/5！-i/7！+i/9！-。。。

它看起来很像cos（1）+isin（1），实际上我们可以替换x或任何变量（例如θ)在中，它将输出为cos（x）+isin（x）或cis（x）。