卷曲

定义

给定一个三维矢量场 F类(第页)，的卷曲（也称为旋转)第页，共页F类(第页)是差速器吗向量运算符纳布拉（符号∇)应用于F类.应用∇形式为交叉积:

{\显示样式{\boldsymbol{\nabla}}\times\mathbf{F}（\mathbf{r}）\；{\stackrel{\mathrm{def}}{=}}\；\mathbf{e}_{x}\左{\frac{\部分F{x}}{\部分y}}-{\ frac{\partial F{y}}{部分x}}\右），}

哪里e（电子）_x个,e（电子）_年、和e（电子）_z（z）是单位向量沿轴笛卡尔坐标系.

与任何叉积一样，卷曲可以用以下几种替代方法书写。

作为一个行列式（沿第一行计算）：

{\displaystyle{\boldsymbol{\nabla}}\times\mathbf{F}（\mathbf{r}）={\begin{vmatrix}\mathbf1{e}_{x}&\mathbf2{e}{y}&\mathbf{e}{z}\\{\frac{\partial}{\partitlex}}&{\frac{\partic}{\partivey}}}}&F{y}&F{z}\end{vmatrix}}}

作为向量-矩阵-向量积：

{\displaystyle{\boldsymbol{\nabla}}\times\mathbf{F}（\mathbf{r}）=\left（\mathbf{e}_{x}，\；\mathbf1}_{y}，，\；\ mathbf}e_{z}\right）\；{\开始{pmatrix}0&{\frac{\partial}{\parial z}}和-{\frac{\partal y}}{pmatrix}F_{x} \\F_｛y｝\\F_｛z｝\end｛pmatrix｝｝｝

就反对称而言列维-西维塔符号ε_αβγ:

{\displaystyle{\Big（}{\boldsymbol{\nabla}}\times\mathbf{F}（\mathbf{r}）{\Bigh）}_{\alpha}=\sum_{\beta，\gamma=x，y，z}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}{\frac{\partialF_{\beta}}{\paratil\gamma{}}，\qquad\alpha=x，y，z}

（这给出了沿笛卡尔α轴的旋度分量。）

从亥姆霍兹分解遵循任何无卷曲向量场（也称为无旋场)F类(第页)，即一个向量场，其中

{\显示样式{\boldsymbol{\nabla}}\times\mathbf{F}（\mathbf{r}）=\mathbf1{0}}

可以写成标量势Φ的梯度负

{\displaystyle\mathbf{F}（\mathbf}）=-{\boldsymbol{\nabla}}\Phi（\mathbf{r}）。}

在一般的三维正交曲线坐标系 u个₁,u个₂、和u个_三，其特征是比例因子小时₁,小时₂、和小时_三，（也称为Laméfactors，对角元素的平方根g张量)卷曲的形式如下行列式（沿第一行计算）：

{\显示样式{\boldsymbol{\nabla}}\times\mathbf{F}（\mathbf{r}）={\frac{1}{h_{1} 小时_{2} 小时_{3} }}{\开始｛vmatrix｝小时_{1} \mathbf｛e｝_｛1｝&h｛2｝\mathbf｛e｝_｛2｝&h｛3｝\mathbf｛e｝_｛3｝\\｛\frac｛\partial｝｛u1｝｝｝&｛\frac｛\partial｝｛u2｝｝｝&｛\frac｛\partial｝｛u1｝｝｝\\h_{1} F类_{1} 小时（&h）_{2} F类_{2} 小时（&h）_{3} F类_{3} \结束{vmatrix}}}

例如，在球面极坐标第页、θ和φ

{\显示样式h{r}=1，\qquad h{theta}=r，\qquid h{\phi}=r\sin\theta}

卷发是

{\displaystyle\nabla\times\mathbf{F}={\frac{1}{r^{2}\sin\theta}}{\begin{vmatrix}\mathbf{e}{r}&r\mathbf}e}{\theta{&r\sin\theta\mathbf1{e}{\phi}\\{\frac{\partial}{\partityr}}&{\frac:partial{\theta}}}部分}{\partial\phi}}\\F{r}&rF{\theta}&r\sin\thetaF{\phi}\\end{vmatrix}}，}

{\displaystyle\iint_{S}\，（{\boldsymbol{\nabla}}\times\mathbf{F}）\cdot d\mathbf}=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot 2\mathbf2{S}，}

其中dS公司是无穷小曲面d的长度向量S公司和垂直于这个表面的方向。积分在曲面上S公司被轮廓包围（闭合的非相交路径）C类右侧是沿C类.如果我们采取S公司如此之小，以至于左侧积分的被积函数可以取为常数，积分变为

{\显示样式（{\boldsymbol{\nabla}}\times\mathbf{F}）\cdot{\hat{\mathbf{n}}\；\三角洲S}

哪里 ${\显示样式{\hat{\mathbf{n}}}}$ 是垂直于Δ的单位向量S公司右手边是一个小轮廓上的积分，比如说一个小圆，旋度可以写成

｛\displaystyle（｛\boldsymbol｛nabla｝｝\times\mathbf｛F｝）\cdot｛hat｛\mathbf｛n｝｝｝＝\lim _｛\Delta S\rightarrow 0｝｛\frac｛1｝｛\Delta S｝｝｝｝\；\点{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf}，}

线积分是循环属于F类关于C类这个表达式导致了对旋度的以下解释：旋度是一个分量垂直于循环平面的向量。垂直分量的长度等于每单位表面的循环数。

{\显示样式{\begin{aligned}{\boldsymbol{\nabla}}\times{\bodsymbol{\nabra}}\Phi&=0\\{\bolsymbol}{\napla}}\cdot（{\boltsymbol}}\temes\mathbf{F}）&=0\{\bold symbol\nabla}}\tormes nabla}}\cdot\mathbf{F}）-（{\boldsymbol{\nabla}}\cdot{\boldsymbol{\nabla}}）\mathbf{F}\\end{aligned}}}

操作员

{\显示样式{\boldsymbol{\nabla}}\cdot{\bolsymbol{\nabra}}\equiv\nabla ^{2}}

是拉普拉斯算子。其他属性：

{\displaystyle{\begin{aligned}{\boldsymbol{\nabla}}\times（\mathbf{A}\times\mathbf{B}）&=（\mathbf{B}\cdot{\bolsymbol{\nabra}}）\mathbf-{A}-（\mat血红蛋白{A}\cdot{\bodsymboldsyMBol{\natal}}-\mathbf{B}（{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\mathbf{A}）\\mathbf}A}\times（{\boldsymbol{\nabla}}\times\mathbf{B}）&=（{\boldsymbol{\nabra}}\otimes\mathbf{A}-（\mathbf{A}\cdot{\bolsymbol{\napla}}）\mathbf1{B}，\end{aligned}}}

其中矩阵包含以下组件：

显示样式{big（}{\boldsymbol{\nabla}}\otimes\mathbf{B}{\big）}{\alpha\beta}\equiv\nabla{\alfa}B{\beta{\equiv{\frac{\partial B_{\beta}}{\partic r{\alba}}，\quad{\hbox{with}}\quad\alpha，\beta=1,2,3\left-rightarrow x，y，z，\quad{\hbos{和}\quad（r{1}，\，r{2}，，r{3}）等于（x，\，y，\，z）。}