研究论文

用于实时逼近二阶动态（双曲线）偏微分方程的基于物理信息的神经网络：误差分析和算法

作者：
钱燕霞

湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭411105

湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭411105
查看个人资料

,
张永超

西北大学数学学院，陕西西安710069

西北大学数学学院，陕西西安710069
查看个人资料

,
黄云清

湘潭大学数学与计算科学学院，中国湖南省湘潭市411105

湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭411105
查看个人资料

,
苏川洞

美国印第安纳州西拉斐特普渡大学数学系计算与应用数学中心，邮编：47907

美国印第安纳州西拉斐特普渡大学数学系计算与应用数学中心，邮编：47907
查看个人资料

计算物理杂志第495卷问题C2023年12月https://doi.org/10.1016/j.jcp.2023.112527

出版：2024年2月1日出版历史

计算物理杂志

摘要

考虑用物理信息神经网络（PINN）方法对一类二阶动态偏微分方程（PDE）进行时间逼近，并对波动方程、非线性Klein-Gordon方程和线性弹性动力学方程进行PINN误差分析。我们的分析表明，在具有两个隐层的前馈神经网络和tanh激活函数的情况下，解场、时间导数和梯度场的PINN近似误差可以有效地由训练损失和训练数据点（正交点）的数量限制。我们的分析进一步提出了训练损失函数的新形式，其中包含某些残差，这些残差对误差估计至关重要，但在标准PINN损失公式中不存在。采用这些新形式的损失函数导致了一种变异的PINN算法。我们用新的PINN算法对波动方程、Sine-Gordon方程和线性弹性动力学方程进行了大量的数值实验，结果表明该方法能够很好地捕捉到解。

工具书类

[1]安东尼埃蒂P.F。,马齐埃里一世。,多边形和多面体网格上弹性动力学方程的高阶间断Galerkin方法,计算。方法应用。机械。工程师。 342(2018)414–437.谷歌学者
[2]白G。,科利·U。,米什拉S。,莫里纳罗共和国。,用于逼近非线性色散偏微分方程的物理信息神经网络（PINNs）,J.计算。数学。 39(6) (2021)816–847.谷歌学者
[3]贝克·C。,例如。,詹岑A。,高维全非线性偏微分方程和二阶倒向随机微分方程的机器学习逼近算法,非线性科学杂志。 29(4) (2019)1563–1619.谷歌学者
[4]伯纳·J·。,格罗斯·P。,詹岑A。,泛化误差分析：深度人工神经网络经验风险最小化克服Black-Scholes偏微分方程数值逼近中的维数灾难,SIAM J.数学。数据科学。 2(三) (2020)631–657.谷歌学者
[5]比斯瓦斯A。,田杰（音）。,乌卢索伊S。,流体动力学深度学习方法的误差估计,数字。数学。 151(三) (2022)753–777.谷歌学者
[6]蔡Z。,陈杰（Chen J.）。,刘M。,刘欣（Liu X.）。,深度最小二乘法：求解椭圆偏微分方程的无监督学习数值方法,J.计算。物理学。 420(2020).谷歌学者
[7]卡拉布罗·F。,法比亚尼G。,西托斯·C。,具有陡峭梯度的椭圆偏微分方程数值解的极值学习机配置,计算。方法应用。机械。工程师。 387(2021).谷歌学者
[8]Calin O。,深度学习架构–数学方法,数据科学中的Springer系列,施普林格,查姆,2020.谷歌学者
[9]科莫S。,Schiano Di Cola V公司。,詹保罗·F·。,罗扎·G。,莱斯·M·。,皮夏利·F·。,通过物理信息神经网络进行科学机器学习：我们在哪里，下一步是什么,科学杂志。计算。 92(三) (2022)88.谷歌学者
[10]Cyr E.公司。,古力安·M。,帕特尔·R。,佩雷戈M。,查斯克N。,深度神经网络的鲁棒训练和初始化：自适应基观点,程序。机器。学习。物件。 107(2020)512–536.谷歌学者
[11]戴维斯·P。,拉比诺维茨P。,数值积分方法,多佛出版公司。,2007.谷歌学者
[12]德莱克·T。,雅格塔普公元。,米什拉S。,近似Navier–Stokes方程的物理信息神经网络的误差估计,IMA J.数字。分析。(2023),10.1093/imanum/drac085.谷歌学者交叉引用
[13]德莱克·T。,Lanthaler S.公司。,米什拉S。,用tanh神经网络逼近函数,神经网络。 143(2021)732–750.谷歌学者
[14]德莱克·T。,米什拉S。,逼近Kolmogorov偏微分方程的物理信息神经网络（PINNs）的误差分析,高级计算。数学。 48(6) (2022)79.谷歌学者
[15]德汉·M·。,肖克里A。,用径向基函数数值求解非线性Klein-Gordon方程,J.计算。应用。数学。 230(2009)400–410.谷歌学者
[16]东S。,李泽。,求解线性和非线性偏微分方程的局部极值学习机和区域分解,计算。方法应用。机械。工程师。 387(2021)也 arXiv:2012.02895年.谷歌学者
[17]东S。,李泽。,一种改进的批内禀塑性方法预训练极值学习机的随机系数,J.计算。物理学。 445(2021).谷歌学者
[18]东S。,镍镍合金。,用深度神经网络表示周期函数和精确执行周期边界条件的方法,J.计算。物理学。 435(2021).谷歌学者
[19]东S。,王毅（音）。,用随机神经网络计算参数PDE反问题的一种方法,J.计算。物理学。 489(2023)也 arXiv公司：2210.04338.谷歌学者
[20]东S。,杨杰（Yang J.）。,偏微分方程的人工神经网络变量投影数值逼近,计算。方法应用。机械。工程师。 398(2022)也 arXiv:2201.09989号.谷歌学者
[21]东S。,杨杰（Yang J.）。,关于计算极端学习机的超参数：计算偏微分方程的算法和应用，以及与经典有限元和高阶有限元的比较,J.计算。物理学。 463(2022)也 arXiv:2110.14121.谷歌学者
[22]例如。,于B。,deep Ritz方法：一种基于深度学习的变分问题数值算法,公社。数学。统计。 6(2018)1–12.谷歌学者
[23]埃尔布雷赫特D。,佩雷克雷斯坦科D。,格罗斯·P。,贝尔茨基H。,深度神经网络逼近理论,IEEE传输。Inf.理论 67(5) (2021)2581–2623.谷歌学者
[24]法比亚尼·G·。,卡拉布罗·F。,俄罗斯L。,西托斯·C。,具有极值学习机的非线性偏微分方程的数值解及分岔分析,科学杂志。计算。 89(2021)44.谷歌学者
[25]何J。,徐杰（Xu J.）。,MgNet：多重网格和卷积神经网络的统一框架,科学。中国数学。 62(2019)1331–1354.谷歌学者
[26]胡R。;林奇（Lin Q.）。;艾伦·R。;唐S。:物理信息神经网络逼近原方程的高阶误差估计.arXiv:2209.11929.谷歌学者
[27]胡忠。,雅格塔普公元。,Karniadakis G.E.公司。,川口K。,扩展物理信息神经网络（XPINN）何时能提高泛化能力？,SIAM科学杂志。计算。 44(5) (2022)A3158型–A3182型.谷歌学者数字图书馆
[28]胡忠。;刘C。;王毅（音）。;徐忠。:梯度流的能量变分神经网络离散.arXiv公司：2206.07303.谷歌学者
[29]休斯·T·J·R。,马斯登J.E。,线性对称双曲系统的经典弹性动力学,J.弹性。 8(1) (1978)97–110.谷歌学者
[30]Jagtap A。,卡尼亚达基斯。,扩展物理信息神经网络（XPINNs）：基于广义时空域分解的非线性偏微分方程深度学习框架,公社。计算。物理学。 28(2020)2002–2041.谷歌学者
[31]雅格塔普A。,Kharazmi E.公司。,卡尼亚达基斯。,离散域上守恒定律的守恒物理信息神经网络：在正问题和反问题中的应用,计算。方法应用。机械。工程师。 365(2020).谷歌学者
[32]卡尼亚达基斯。,凯夫雷基迪斯G。,卢·L。,佩迪卡里斯P。,王S。,杨莉（Yang L.）。,基于物理的机器学习,自然科学版。三(2021)422–440.谷歌学者
[33]金马D.P。;巴·亚当·J。:一种随机优化方法.arXiv预印本 arXiv:1412.6980.谷歌学者
[34]克里希纳皮扬A。,戈洛米A。,哲斯（Zhe S.）。,柯比·R。,马奥尼·M·。,描述物理信息神经网络中可能的故障模式,高级神经信息处理。系统。 34(2021)26548–26560.谷歌学者
[35]久保田K。,横山由纪夫。,不同传播速度非线性波动方程组经典解的整体存在性,日本。数学杂志。 27(1) (2001)113–202.谷歌学者
[36]乐村Y。,本吉奥·Y。,辛顿·G。,深度学习,自然 521(2015)436–444.谷歌学者交叉引用
[37]鲁L。,孟X。,毛泽东。,Karniadakis通用电气公司。,DeepXDE：解微分方程的深度学习库,SIAM版本。 63(1) (2021)208–228.谷歌学者数字图书馆
[38]米什拉S。,莫里纳罗共和国。,模拟辐射传输的物理信息神经网络,J.数量。光谱学。辐射。Transf公司。 270(2021).谷歌学者
[39]米什拉S。,莫里纳罗共和国。,物理信息神经网络逼近一类偏微分方程反问题的泛化误差估计,IMA J.数字。分析。 42(2) (2022)981–1022.谷歌学者
[40]米什拉S。,莫里纳罗共和国。,物理知情神经网络逼近偏微分方程的泛化误差估计,IMA J.数字。分析。 43(1) (2023)1–43.谷歌学者
[41]米什拉S。,Rusch T.K.公司。,通过低偏差序列训练提高深度学习算法的准确性,SIAM J.数字。分析。 59(三) (2021)1811–1834.谷歌学者
[42]尼约吉P。,吉罗西·F·。,散乱噪声数据函数逼近的推广界,高级计算。数学。 10(1) (1999)51–80.谷歌学者
[43]诺塞达尔·J。,赖特S.J。,数值优化,第二版。,施普林格,纽约,2006.谷歌学者
[44]彭沃登·M·。;雅格塔普A。;哲斯（Zhe S.）。;卡尼亚达基斯。;柯比·R。:物理信息神经网络因果扫描策略及其时间分解的统一可扩展框架.arXiv:2302.14227.谷歌学者
[45]Psaros A.F.公司。,川口K。,Karniadakis G.E.公司。,元学习PINN损失函数,J.计算。物理学。 458(2022).谷歌学者数字图书馆
[46]莱斯·M·。,Perdikaris P。,Karniadakis G.E.公司。,基于物理的神经网络：一种用于求解非线性偏微分方程正反问题的深度学习框架,J.计算。物理学。 378(2019)686–707.谷歌学者
[47]沙塔J。,非线性发展方程小解的整体存在性,J.差异。埃克。 46(三) (1982)409–425.谷歌学者
[48]沙塔赫J。,正规型与二次非线性Klein-Gordon方程,公社。纯应用程序。数学。 38(5) (1985)685–696.谷歌学者
[49]申毅（Shin Y.）。,达邦J。,Karniadakis G.E.公司。,线性二阶椭圆和抛物型偏微分方程物理信息神经网络的收敛性,公社。计算。物理学。 28(5) (2020)2042–2074.谷歌学者
[50]申毅（Shin Y.）。;张Z。;Karniadakis G.E.公司。:线性偏微分方程残差最小化的神经网络误差估计.arXiv：2010年8月19日.谷歌学者
[51]西格尔J。;洪Q。;金X。;郝伟（Hao W.）。;徐杰（Xu J.）。:神经网络贪婪训练算法及其在偏微分方程中的应用.arXiv:2107.04466.谷歌学者
[52]西里尼亚诺·J。,Spoliopoulos K。,DGM：求解偏微分方程的深度学习算法,J.计算。物理学。 375(2018)1339–1364.谷歌学者
[53]塔塔科夫斯基A。,Marrero C.公司。,佩迪卡里斯P。,塔塔科夫斯基G。,巴拉哈斯·索拉诺D。,基于物理信息的深层神经网络用于地下水流问题中参数和本构关系的学习,水资源。物件。 56(2020).谷歌学者
[54]特曼·R。,力学和物理学中的无限维动力系统,第二版。,Springer-Verlag公司,纽约,1997.谷歌学者
[55]万X。,魏S。,VAE-KRnet及其在变分贝叶斯中的应用,公社。计算。物理学。 31(2022)1049–1082.谷歌学者
[56]王B。,非线性Klein-Gordon-Schrödinger方程的经典整体解,数学。方法应用。科学。 20(7) (1997)599–616.谷歌学者
[57]王S。,于X。,佩迪卡里斯P。,PINN训练失败的时间和原因：从神经切线核的角度,J.计算。物理学。 449(2022).谷歌学者数字图书馆
[58]王毅（音）。,林·G。,非均质多孔介质中多相流模拟的高效深度学习技术,J.计算。物理学。 401(2020).谷歌学者
[59]尤西达·K·。,功能分析,第123卷,第六版。,Springer-Verlag公司,柏林-纽约,1980.谷歌学者
[60]泽尔比纳蒂大学。,PINNs和GaLS：用于椭圆问题的浅层物理信息神经网络的先验误差估计,IFAC在线论文 55(20) (2022)61–66.谷歌学者

索引术语

用于实时逼近二阶动态（双曲线）偏微分方程的基于物理信息的神经网络：误差分析和算法

索引项已通过自动分类分配给内容。

建议

基于物理信息的神经网络求解地下水流动方程
摘要
近年来，用于求解偏微分方程（PDE）的科学机器学习（SciML）方法得到了广泛的应用。在这种范式中，物理信息神经网络（PINNs）是一种新型的深度学习。。。
集锦
- 我们的建议是使用SciML来求解地下水流动方程。
- 我们建议。。。
阅读更多信息
具有高阶空间导数的一维线性偏微分方程具有最优$$L^2$$L2精度的间断Galerkin方法

本文提出并分析了求解具有高阶空间导数的偏微分方程（PDE）的间断Galerkin（DG）方法，包括热方程、三阶波动方程、四阶方程和。。。
阅读更多信息
双曲守恒律的高阶多导数时间积分器

多导数时间积分器对于常微分方程有着悠久的发展历史，但迄今为止，这些方法中只有一小部分被用作求解偏微分方程（PDE）的工具。这么大。。。
阅读更多信息

登录选项

检查您是否可以通过登录凭据或您的机构访问本文。

完全访问权限

获取此文章

发布于

计算物理杂志第495卷，C期
2023年12月
542页
国际标准编号：0021-9991
期刊目录

爱思唯尔公司。
赞助商
合作中
出版商
学术出版社专业版。
美国
出版历史
- 出版：2024年2月1日
作者标记
PIN码
神经网络
误差估计
产品开发工程师
科学机器学习
限定符
- 研究论文
会议
资金来源
其他指标
查看文章指标

文章指标
- 0
  引用总数
  查看引文
- 0
  总下载次数
- 下载次数（过去12个月）0
- 下载次数（最近6周）0
其他指标
查看作者指标
引用人
本出版物尚未被引用

用于实时逼近二阶动态（双曲线）偏微分方程的基于物理信息的神经网络：误差分析和算法

计算物理杂志

摘要

摘要

工具书类

引用人

索引术语

建议

基于物理信息的神经网络求解地下水流动方程

具有高阶空间导数的一维线性偏微分方程具有最优$$L^2$$L2精度的间断Galerkin方法

双曲守恒律的高阶多导数时间积分器

评论

登录选项

完全访问权限

发布于

赞助商

合作中

出版商

出版历史

作者标记

限定符

会议

资金来源

其他指标

文章指标

其他指标

引用人

数字版

解说词

用于实时逼近二阶动态（双曲线）偏微分方程的基于物理信息的神经网络：误差分析和算法

计算物理杂志

摘要

摘要

工具书类

引用人

索引术语

建议

基于物理信息的神经网络求解地下水流动方程

具有高阶空间导数的一维线性偏微分方程具有最优$$L^2$$L2精度的间断Galerkin方法

双曲守恒律的高阶多导数时间积分器

评论

登录选项

完全访问权限

发布于

赞助商

合作中

出版商

出版历史

作者标记

限定符

会议

资金来源

文章指标

其他指标

数字版

共享此出版物链接

在社交媒体上分享