在他的书[Knu11]第7.2.1.3节中的问题56中，Knuth提出了一个更强有力的中层猜想。他要求提供一种解决方案，其中翻转序列，即在每个步骤中翻转的位位置序列，可以细分为相同长度的$2n+1$块$\alpha_0、\alpha_1、\ldots、\alba_{2n}$，并且通过对所有$i=1、\ ldots的$i$模$2n+1$的元素加法，从初始块$\alpha_0$获得$i$块$\ alpha_i$，20亿美元。这使得整个翻转序列的编码更加紧凑，其系数为$2n+1$，这是早期尝试在计算机帮助下通过实验解决中级猜想的关键因素（参见Shields and Savage的论文[SS99]）。例如，$n=3$的循环对称性解决方案由$\alpha_0=6253462135$给出。从位字符串$x=1110000$开始，应用翻转序列$\alpha_0$生成字符串序列$11100001100101010010101011010001101001110，\ldots，0111000$，即，经过10次翻转后，我们得到一个与初始字符串$x$不同的位字符串，通过循环右移一个位置。更一般地说，在对所有$i=1、\ldots、2n+1$应用$\alpha_0、\ltots、\alpha_{i-1}$后，我们得到一个$x$的副本，它被$i$位置循环右移。梅里诺、米奇卡和缪策[MMM20]以更一般的形式证明了科努特的猜想，允许任意移位$s\in\{1，\ldots，2n\}$，它是$2n+1$的互质，也就是说，$\alpha_i$是通过对所有$i=1，\ldot，2n$的$i\cdots$module$2n+1$的元素加法从$\alfa_0$中获得的。不难看出，$s$与$2n+1$互素的条件是必要的，不能省略。论文[MMM20]中还提供了该算法的实现，使用每个生成的比特串的线性时间，这是该网站上运行的第二个算法（$（2n+1）$-fold对称）。循环对称性可以在下面的轮盘图中很好地看到，其中显示了$n=3$和$s=1，\ldots，6$的解决方案。动画在圆环体上循环移动位。单击每个图形以启动/停止动画。
