此动画由马歇尔·汉普顿显示了渐开线（y=x^3）。它位于一个迷人的数学十字路口，我们将在一系列三个帖子中进行探索，即当前帖子和这两个帖子：

•二十面体群的判别式.

•五次限制的判别.

在他那本了不起的书中奇点理论及其应用弗拉基米尔·阿诺尔（Vladimir Arnol）解释了二十面体的对称群是如何秘密地潜伏在具有光滑边界的平面区域中寻找从一点到另一点的最短路径的问题中的。通过惠更斯原理则此最短路径问题与该区域中波浪的行为有关。

阿诺尔很好地表达了数学家发现这样的联系时的敬畏之情：

因此，波在具有边界的2流形上的传播由隐藏在边界拐点处的二十面体控制。这个二十面体是隐藏的，即使它的存在是已知的，也很难找到它。

在解释这一点时，阿诺尔首先声称三次抛物线的一般渐开线具有3/2级和5/2级的尖角。这里有很多术语，让我们试着解释一下。

三次抛物线

这个三次抛物线就是简单的曲线（y=x^3），或者通过仿射变换从中获得的任何曲线。

渐开线

安渐开线平面曲线的（C）是一条新的平面曲线（D），通过将拉紧的绳子的一端连接到（C）上的点（p），并在将绳子缠绕到（C）上时追踪绳子自由端的路径而获得。对于\（p\）的不同选择，有不同的对合。

例如，这里是一条曲线及其一条渐开线：

这里，蓝色的\（C\）是一个接触网：由悬挂链形成的曲线。悬链线的渐开线（D）显示为红色。

这张图片有两件事一开始可能会让人困惑。首先，制作这张照片的萨姆·德比希尔（Sam Derbyshire）在悬链线的自由端撞上悬链线时，巧妙地移动了悬链线末端！这使得他能够在渐开线撞击悬链线的那一刻继续前进。结果是一条曲线，称为牵引线.

其次，连接到悬链线的绳子的末端是“无穷大”。

通过给出曲线渐开线的公式，可以更系统地处理这些问题。假设光滑平面曲线以参数形式给出

$$C:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$$

通过弧长参数化，以便

$$|C'|=1$$

对于所有\（s）。然后，对于每个（t），该曲线都有一个渐开线

$$D_t:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$$

由提供

$$D_t（s）=C（s+t）-s C^\素数（s+t）$$

尖端

如果平面曲线局部看起来像

$$y^2=x^3$$

在某些坐标系中，我们说它有一个3/2阶尖点或普通牙尖。如果局部看起来像

$$y^2=x^5$$

在某些坐标系中，我们说它有一个5/2阶尖点或横纹肌样尖.

曲线（y^2=x^5）如下所示：

这是一条更为典型的曲线，尖角为5/2级：

$$（x-4y^2）^2–（y+2x）^5=0$$

它看起来有点像鸟嘴：

事实上，“rhamphoid”在希腊语中的意思是“喙状”。阿诺尔强调，人们通常应该期望5/2级的尖头具有这样的喙状形状：

在实验数据中很容易识别这条曲线，因为在一般微分同构之后，曲线由两个分支组成，这两个分支在公共点具有相等的曲率，因此从同一侧凸起[……]

三次抛物线的渐开线

我们现在可以理解阿诺尔的评论，即三次抛物线的一般渐屈线具有3/2级和5/2级尖角：

红色曲线是三次抛物线（y=x^3）。移动的蓝色曲线显示了三次抛物线的所有渐开线。一般来说，每个渐开线都有一个5/2级的尖头，在那里它会碰到（x）轴。请注意，两个分支从同一侧凸起。一般来说，每个渐开线也有一个3/2级的尖角，在那里它碰到三次抛物线。唯一的非通用情况是通过原点的渐开线。在原点处，该渐开线具有5/3阶奇异性：即，它与曲线（y^3=x^5）局部微分。

西蒙·伯顿（Simon Burton）绘制了一幅单一通用渐开线的详细图片，清楚地显示了牙尖是如何产生的：

您可以在此处在线探索各种曲线的渐开线：

•马歇尔·汉普顿，SageMathCell公司

工具书类

有关更多详细信息，请参阅本书第28–31页：

•弗拉基米尔·阿诺尔，奇点理论及其应用，剑桥大学出版社，剑桥，1991年。

以及以下论文英文版的第169页，或俄文原版的第143页（开放存取）：

•弗拉基米尔·阿诺尔（Vladimir I.Arnol’d），射线系统的奇点，Uspekhi Mat.Nauk公司 38:2(1983), 77-147. 英语翻译俄罗斯数学。调查 38:2(1983), 77–176.

另见本文件第三节：

•O.Y.Lyashko，奇异边界流形上函数临界点的分类，有趣的。分析。我是Prilozhen。 17:3(1983), 28—36. 英语翻译泛函分析及其应用 17:3(1983), 187–193

Shcherbak的这些论文：

•O.P.Shcherbak，曲线拐点附近演化族的奇点，以及群{H} _3个\)反射产生的，功能性。分析。我是Prilozhen。 17:4(1983), 70–72. 英语翻译功能分析。申请。 17:4(1983), 301–303.

•O.P.Shcherbak，波前和反射小组，Uspekhi Mat.Nauk公司 43:3(1988), 125–160. 英语翻译俄罗斯数学调查 43:3(1988), 1497–194.

这些资料讨论了Arnol’d和他的同事关于奇点和Coxeter–Dynkin图的发现，从更熟悉的（mathrm{ADE}）情况开始，然后转到非简单格的情况，最后是与（mathrm）有关的非晶体学情况{H} _2\)（五角大楼的对称群）{H} _3个\)（二十面体的对称群）和{H} _4个\)（600世纪的对称群）。

牵引线作为悬链线渐开线的动画gif由萨姆·德比郡并放置在维基公共信息在a下Creative Commons署名分享类似3.0未发表许可证。

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