格罗森迪克《追求堆栈》中的猜想

Question

我在n实验室格罗森迪克在《追击堆栈》中提出了几个有趣的猜测，其中一些猜测后来得到了证实。例如，正如大卫·罗伯茨（David Roberts）在回答这个问题，

Grothendieck猜想，Cisinski证明，Thomason模型结构中的弱等价类是最小的基本局域化子。

我很想知道PS中的其他猜测是真的，或者其他“想法”已经成功实现/形式化。理想情况下，最好包括相关论文的参考文献。

Answer 1

为了快速回答，《追击堆栈》由三个主题组成（如果记忆正确的话）。第一种是同伦类型作为更高（非严格）群胚。这一部分最初是在格罗森迪克的给Larry Breen的信从1975年开始，主要包含在写给奎伦的信中，这封信构成了PS的第一部分（大约12页左右）。麦芽孢菌病已提取格罗森迪克提出的定义对于弱者$\infty（美元）$-groupoid，并且有工作阿拉为了证明这个定义满足同伦假设。

其他部分（并非完全不可分割）是关于派生器这一点后来在格罗森迪克的1990-91年中进行了详细介绍笔记（有关派生词的大量文献，请参阅第19章的前15章Les Dérivateurs公司以及“同伦类型的图式化”，这是由收件人，韦佐西和上的其他同位代数几何（例如。哈格I，HAG II公司)在方案中使用简单滑轮。这已经随着卢里，雷兹克和其他处理导出代数几何这远远超出了我认为格罗森迪克的设想。

期间80年代与格罗森迪克的通信，Joyal构建了我们现在所说的Joyal模型结构关于的范畴单纯形集简单地说，为当时正在讨论的一些想法提供了基础。(2022年编辑)

---

编辑：我忘了PS中的一些东西，那就是定位符和建模器的理论，你提到的格罗森迪克的同伦理论概念，这在西辛斯基的著作中有介绍。

---

2019年编辑：托恩有了一个新的预印本

贝特朗·托恩，格罗森迪克再访问学校问题，arXiv：1911.05509

以抽象开头

“这项工作的目的是重新考虑[追赶烟囱]，特别关注Z上的全局情况。为此，我们证明了Toën的猜想[Conj.2.3.6Champs仿射]..."

Answer 2

我同意蒂姆的观点，称《追击斯塔克》为“给奎伦的信”是错误的，尤其是奎伦从未回复。格罗森迪克还写道：“这是用英语写成的，是为了回应一封英文信件。”在某个阶段，他计划用法语写更多的书，但似乎偏离了这一点。除了大卫·罗伯特（David Robert）的回答外，我希望以下内容将有助于将同伦理论模型的情况置于上下文中。

在1983年5月2日亚历山大·格罗森迪克的信中写信给我：“不要对我在挖掘出正确的概念--我刚才一直在遵循，宁可让自己被那根非常有力的线拉着走在前面（粗略地说：理解拓扑的非交换上同调！）大约十年或二十年来一直在尝试销售任何准备“买”它的人，也就是做这项工作的人。所以最后我得到了我很生气，决定至少自己制定一个大纲。"

但这个问题是关于范畴的同伦理论和相关的问题“为什么是单纯集？”为什么“单纯形”导致“同伦理论”，有一个高概念的解释吗？.

Dan Kan对组合同伦的第一个贡献是用立方集表示的。当他去普林斯顿大学时，发现了立方体集的缺点：立方体群不满足可拓性，并且立方体集合的笛卡尔积的几何实现具有错误的同伦类型，而正如摩尔和米尔诺分别所表明的那样，对于单形集来说情况很好。所以他们并没有试图完善立方体理论。1956年至1959年，我在牛津大学攻读博士学位时，这个展览非常简单，特别是1957年迈克尔·巴拉特（Michael Barratt）从普林斯顿大学回来的时候。

然而，希尔顿和怀利1960年关于代数拓扑的书是立体的，布朗大学费德勒1962年的一些笔记也是立体的，梅西后来的一本书也是立体集，立体集在许多地方仍然很有用。我们2011年出版的书“非阿贝尔代数拓扑”几乎完全是立方的，因为它强调使用更高的同伦Seifert-van Kampen定理。

我1965年使用立方体集的直觉是基于将范坎彭定理推广到更高维度。上面的图表可以表示为：大正方形是小正方形的组成，这似乎是完全合理的。C.Ehresmann 1965年出版的《范畴结构》一书给出了双范畴的定义，很好地表达了这一点。事实上，我在mathoverflow上使用矩阵表示法回答了这个问题，其中$（a{ij}）$表示可组合阵列，并且$[a_{ij}]$表示组合。所以有一个简单的定义n美元$-折叠神经块n美元$-折叠类别，除了当前似乎没有立方体类型几何图形的名称n美元$-折叠类别。请注意，一个类别中的可组合语素序列用于描述一个类别的神经，但至少对我来说，用单纯形或球状术语定义多个组合似乎更困难，尽管n美元$-折叠类别很容易定义为n美元$-折叠单纯形集。

相比之下，空间的奇异立方体复数，或过滤空间，非常适合使用数组表示法描述多个组合。我已经解释过了mathoverflow问题。

因此，在考虑在哪个类别中工作时，“什么应该是充分性和便利性？”这一问题至关重要。对于同伦理论的组合模型来说，这样的要求是合理的，正如我在1963年的论文中对拓扑范畴的要求一样十种拓扑.

“交换立方体”的概念，以及“交换立方体的任何组成都是可交换的”，这也是使用映射的同伦类对假定的更高van Kampen定理进行推测证明所需要的一个性质。Chris Spencer和我发现，双群像的“连接”概念对此很好，它允许交叉模和具有连接的单尖边对称双群像之间的等价。然后菲利普·希金斯和我在1974年发现了一对同伦双群胚的构造$（X，A，X）$利用同伦映射类的点空间$I^2\到X$把边缘带到美元$和顶点到x美元$这给出了第一个同伦基本双群胚，从而证明了二维van Kampen定理，包括基本群的常用定理作为特例，而不仅仅是蕴涵。

有理由认为，单纯形集很方便，但并不完全足够，因为它们不容易表达多重组合。另一方面，带有连接件的立方体套件足以进行此测试，但并不完全方便！Andy Tonks证明了具有连接的立方体群是Kan复合体。造成不便的一个原因是，尽管在本文中，它们被证明构成了Grothendieck意义上的严格测试类别在这里范畴乘积的几何实现只是实现乘积的同伦类型，而不是在单纯集的情况下与乘积同胚。后一个同胚性质意味着在右方便范畴中，单形群的几何实现是拓扑群。

立体设置也不足以描述底层的几何图形n美元$-折叠类别，实际上，目前似乎还没有这种结构的名称，其中立方体在不同方向上具有不同类型的面。然而，格罗森迪克对我肯定的洛迪定理说，（严格地）n美元$-折叠群胚模型弱同伦n美元$-类型：“那太美了！”

因此，最好不要假设我们有最后的故事，而要调查各种选择！

2015年1月：这个答案与我对

https://math.stackexchange.com/questions/1112107/why-does-seifert-van-kampen-not-hold-with-n-th-homotopy-groups/

2016年11月本预印本中有更多讨论建模和计算同伦类型：I.

Answer 3

这与其说是一个答案，不如说是一条评论，但它的长度让我把它作为一个答案发布。我想对我第一次在nLab读到的关于“追求堆栈”的内容，以及其中使用的单词和您的问题做出回应。当人们只使用“想法”和“猜想”等词来描述“追赶堆栈”的内容时，我觉得非常令人恼火。这让我怀疑他们是否读过它。“严格”、“结果”或“定理”这些词除非描述他人的工作，否则不会被使用。这是完全正确的，你会在“追求堆栈”中找到想法和猜想，但这并不妨碍许多概念和结果认为他们“工作严谨”。写这篇文章将近三十年了，人们仍然以这种无礼的方式谈论它，这绝对让我感到震惊。（那些不认为这是对格罗森迪克的“想法”和“猜想”的蔑视，无论其多么“深刻”或“美丽”，而其他人则因其严谨的结果而获得赞誉的人，可以阅读《雷科尔特斯与塞米尔》，在这本书中，这个问题得到了详细阐述。）

然而，《追击堆栈》包含了许多想法和猜想，这是事实，据我所知，大卫·罗伯茨的回答准确地概括了自那时以来的发展。我只想提及一个事实，即Grothendieck并不认为简单集比其他测试类别更具同伦相关性。关于$\infty（美元）$-群胚，他的方法纯粹是代数的。因此，虽然我当然不认为其中一种方法比其他方法更好，但在我看来，流行的简单方法并不是格罗森迪克所提倡的方法。

编辑1（2012年12月10日）：这个“答案”投了一票反对票，有人取消了他们的赞成票。也许我应该解释更多。我觉得到目前为止给出的问题和答案都很令人难过，因为它们都指出了这样一个事实：几乎没有人读过《追击堆栈》，人们大多是通过口耳相传的方式谈论它。如果有人仔细阅读了它，那么他们肯定会准确引用格罗森迪克的一些结果。文献中的这些精确参考是什么？我只知道，贝纳博在八十年代组织了一个工作组，致力于追寻斯塔克斯，在它发送后不久，但很快就结束了，荷兰有人请一名学生（似乎没人记得他的名字）做测试类别的工作，他没有做太多。自从写了《追赶堆栈》以来，在“范畴同伦理论”方面当然有很多工作，但卢里、雷兹克、托恩、维佐西（均被大卫·罗伯茨引用）读过《追赶斯塔克》吗（我当然不认为他们应该读过）？我认为，在声称自己的工作或他人的工作确实与“追求堆栈”的内容有关之前，甚至在说它“实现”（？）或“形式化”“追求堆栈的一些“想法”之前，应该非常小心。在某种程度上，这篇文章就像圣经：每个人都在谈论它，但几乎没有人知道其中写了什么。