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库尔特·亨塞尔

关于幂级数中代数数的发展。（Potenzreihen的Entwickelung der algebraischen Zahlen） （德语） JFM 32.0208.01标准

数学。安。 55，编号2，301-336（1901）.
（P）ein Primdiviator eines algebraischen Zahlkörpers（K（ω）des Grades（n），so Ist（n（P）=P^K），wo（P）eine reelle Primzahl und（K）die Ordnung von（P）bedeutet，und es geht in（P）elime Potenz威尔德。Dann kann man zuerst eine mod（丹恩·坎曼·祖斯特·埃内·莫德）。\（p\）不可抵挡的甘孜函数\（k\）-ter Ordnung mit Zahlkoeffizienten der Reihe\（0,1,2，dots，p-1）\[\varphi（t）=t^k+a{k-1}t^{k-1{+dots+a0\]太棒了，达ßdie Kongruenz\（\varphi（t）\equiv 0\）（mod.\（P^M\））für beliebig hohe指数\（M\）eine Lösung\（t=\alpha\）in \（K（\omega）\）hat。Man kann dann weiter eine zweite ganze Funktion（d）-ter Ordnung finden：\[\psi（τ）=τ^d+pC_{d-1}，\]deren Koeffizienten ganze ganzzahlige Funktitionen von（alpha）sind，und welche die Eigenschaft hat，daßdie Kongruenz\（\psi（\tau）\equiv 0\）（mod.\（P^M\））ebenfalls für beliebig hohe Potenzen von\（P\）durch eine nur die erste Potenz von\。丹尼斯杰德《雷赫·恩特威克巴尔》中的扎尔·（欧米加）·德斯·科佩斯·埃迪乌蒂格（Zahl \（\omega \）des Köpers eindeutig）：\[\ω\equiv A_r\pi^r+A_{r+1}\pi^{r+1}+\dots\qquad（\text{mod.}P^M），\]deren Koeffizienten ganzen Größen der Form sind公司：\[A=u_0+u_1a+u_2\alpha^2+\dots+u_{k-1}\alpha_{k-1}\quad（0\leqq u_i<p）。\]我是世界上最伟大的人，我是世界著名的艺术大师，我是德国的艺术大师；这是（d）genau durch（p^s）teilbar，所以这是所有gemeinere形式von（psi（tau））der Untersuchung zu Grunde zu legen，und die Koeffizienten（C_i）können als ganze Funktitionen von（alpha）mit moduleo（p^{2s-1}）reduzierten Zahlkoeffizimenten gewählt werden。
Diese aus der Idealtheorie abegeleiten Sätze führen aber auch zu einer neuen Methode，vollkommener Analogie mit den algebraischen Funktitonen in Potensreihen zu entwicken，aus welchen die den Zahlkörper berrschenden Gesetze in Vollständigkeit und ausnahmsloser Allgemeinheit abgeleitet werden können。Sind nämlich\（\alpha_1，\alpha_2，\dotes，\alpha_k\）die Wurzeln der Gleichung \（\varphi（t）=0\）und\（\pi_1^{（i）}，\pi_2^{〔i）}\，\dots，\pi_d^{\（\alpha_i\）ersetzt wird，so erhält-man\（\lambda=kd\）konjugierte Körper\（K（\gamma_1），K（\gamma_2），dots，K（\ gamma_{\lambda}）\），und wenn\（{\mathfrak p}\）ein in \（p\）enthaltenes初级理想des加洛瓦schen Körpers ist，der diese \（\lambda\）Körper und die \（n\）konjungerten Körper \（K（\omega_1），\dots，K（\omega_n）\）des gegegebenen \（K（\omega）\）umfaßt，所以ist \（\alpha\equiv\alpha_1\），\（\pi\equiv\pi_1^｛（1）｝\）（mod.\（｛\mathfrak p｝^M\））。在Weise eindeutig auf\（K（\gamma_1），\dots，K（\gamma_{\lambda}）中的ersten\（\lambda\）konjugierten Körper\（K（\omega_1），\dots，K（\gamma_{\lambda}））在ebenfalls richtige Kongruenzen nach den Modul（{mathfrak P}^M）übergehen，wenn（omega_i）durch（gamma_i）ersetzt wird中的alle Kongurengen nach dem Modul（P^M）。Das Gleiche gilt für die andern Primdisioren der reellen primzahl（p），und wenn z.B.in（p）drei verschiedene Primideale（p，Q，r）enthalten sind，so kann die linke Seite\（f（\omega）\）der Gleichung von \（\omega\）nach einer beliebig hohen Potenz von \\[F（ω）等于F_1（ω，\]维尔切·德雷·维尔希德内（welche drei verschiedene，den Primdivioren）\（P，Q，R）entsprechende Systeme von konjungirten Abbildungskörpern\[K（\gamma_1），\点，K（\gamma_{\lambda}）；\；K（delta_1），\点，K（\delta_{\mu}）；\；K（\varepsilon_1），\dots，K（\verepsilon_{\nu}）\]利弗恩。
Mit Hülfe dieser Theorye der Abbildungskörper können einige Fundamentalsätze der Idealtheorie in wesentlicher Weise vervollständigt werden。（P）wieder ein Primteiler von（P）von der Ordnung（k）und dem Grade（d）und（k（gamma）der zugehörige Abbildungskörper，所以körperdiskriminante（k（gamma））stets genau durch（P ^{k（overline d-1）}）teilbar，und ebenso gro在Beitra街上，Körperdiskriminate（K（\omega））von dem Primdisitor（P）empfängt。Hierin ist（上划线d），die sogenannte Verzweigungszahl von（P），gleich（d），wenn nicht in（d）enthalten ist；wenn hingegen（d）durch（p^s）teilbar是，所以是（d<上一行d（s+1）d）。模具Körperdiskriminate\（K（\omega）\）是模具规范Verzweigungsdivisors除数\[{\mathfrak Z}_{\omega}=\prod_{（P）}P^{\overline d-1}，\]我们是Produktüber alle Primdivioren zu erstrecken ist，und wenn（{mathfrak D}）ein beliebiger Divisor ist，所以是zugehörige Ideal（I（{math frak D{））ein Fundamentalsystem，dessen Diskriminate\[D=（N（{mathfrak D}））^2 N（{mathfrak Z}_{omega}）\]是的。Diese Sätze sind das genaue Analogon bekannter Theoreme der Theory der algebraischen Funktitonen，und das Gleiche gilt von den folgenden，welche den in einer zweiten funktitionentheoretischen Arbeit des Verf.dargelegten Sätsen völlig parallel laufen。Ein系统（（xi^{（1）}，dots，xi^{（n）}）是理想基础系统（I（{mathfrak D}））中的dann und nur dann，wenn es für jede Primzahl（p=p^D Q^e r^f）模einer beliebigen Potenz eines在（p\）焓中加洛瓦schen Primteillers \（{\mathfrak p}\）在“Partialsystme”zerfällt中。Diese Zerlegung in Partialsysteme bedeutet，daßdie Matrix des Fundamentalsystemes reduktibel wird und mod公司\（{mathfrak p}^M）entsprechend der Zerlegung von（p）auf drei Partialmatrizen von den Ordnungen（lambda，mu，nu）reduziert werden kann。Bildet man schließlich zu der Matrix des Fundamentalsystems für einen-anderen Divisor（上划线{mathfrak D}）；und die Divisoren \（{\mathfrak D}\）und \（上划线{\math frak D{\）sind durch die Gleichung\[｛\mathfrak D｝\overline｛\mathfrak D｝=\frac｛1｝｛\mathfrak Z｝_｛\omega｝\]枯萎；dieses letzte定理是类似的黎曼-罗赫定理申萨茨。
审核人：Landsberg，教授（海德堡）

引用于1审查

MSC公司：

11标准99 代数数论：局部域

JFM部分：

滴水器Abschnitt。Niedere und höhere算术。Kapitel 2。扎伦索里（Zahlenthorie）A）Allgemeines。

关键词：

\（p\）-adic字段
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\textit{K.Hensel}，数学。附录55，第2号，301--336（1901；JFM 32.0208.01）
全文： 内政部 欧洲DML

参考文献：

[1] ?Ueber die Bestimmung der Discriminate eines代数Körpers？嗯？Ueber die Fundamentalgleichung und die ausserwesentlichen Discriminantanthes轮廓仪eines algebraischen Körpers？。Nachrichten der Göttinger Akademie诉J.1897（Sitzung am 30）。1897年10月）。
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