×
Deligne，P。

鞣质猫。（塔纳卡类别）。 （法语） Zbl 0727.14010号

格罗森迪克节日，收藏。艺术。为纪念A.Grothendieck 60岁生日。第二卷，计划。数学。87, 111-195 (1990).
[关于整个系列，请参见Zbl 0717.00009.]
本文给出了P.Deligne期待已久的版本，并给出了Saavedra Rivano关于Tannakian范畴的主要定理的完整证明[N.Saavedra Rivano公司，“Tannakinennes猫”，Lect。数学笔记。265 (1972;Zbl 0241.14008号)]. Saavedra公式中的不准确之处得到了纠正，从而证明了引用书中所有结果的合理性。从一开始，群聚体在一个方案上起传递作用的概念就取代了Saavedra将Tannakian范畴描述为gerb表示范畴的更为内在的方式。证明了这两种方法的等效性。本文由九个部分组成，第一部分给出了术语、定理的陈述、并体概念的介绍以及groso modo定理的证明策略。在第2节到第6节（46页！）中，人们逐渐得出了这一证明。详细解释了Tannakian范畴、群胚、余弦、Barr-Beck定理和范畴张量积的理论第7节给出了特征零域上Tannakian范畴的一个特征：特征零域k上的张量范畴（{mathcal T}）是k上的Tannakia范畴（参见下文），如果每个对象都有非负整数维。代数几何的基础（仿射（{mathcal T}）-格式，（{mathcal T}\）-群格式，（[{mathcalT}\）向量丛，…）被转入张量范畴。在第8节中，引入了域k上Tannakian范畴（｛\mathcal T｝）的基本群\（\pi\）（\（｛\mathcal T｝{自动}_S^{\otimes}（\omega）\）。此外，还证明了（实际上是更一般的东西）：（{mathcal T}）的对象X是单位对象1的副本之和，当（pi（{mathcal T}））对X起普通作用时。最后一节给出了Tannakian范畴理论对Picard-Vessiot理论的应用。对于具有特征零的代数闭常数场（K0={x|\partialx=0}）的微分场（K，\partial）和系数为K的n阶常微分方程，存在一个具有相同常数场（k0\）的（E，\paratil）的扩张使得微分方程在（（E，偏））中有n个解，它们在（K_0）上线性无关。整个展览实际上是独立的。
设k是一个交换域。由张量范畴\k上的（{mathcal T}）是指一个刚性阿贝尔k-线性（otimes\）范畴ACU（即受兼容的结合性和交换性约束，并且具有1）满足\（X\otimes 1\overset\sim\rightarrow X\）和\（1\otimes X\overset\sim\rightarrow X）\），并且具有\（k\overset \sim\rightarrow-End（1）\）。特别是，1是一个简单的对象，并且（注释：{\mathcal T}\times{\matchcal T}\to{\mathcal T}）是一个k双线性双因子，在每个变量中都是精确的刚性”意味着\（{mathcal T}\）具有内部\（下划线{Hom}\），或者更准确地说，对于每个\（X\ in{mathcal-O}b（{mathcal T}）\）存在一个对偶\（X^{vee}\）和形态\（ev:X\ otimesX^{vide}\ to 1）和\（delta:1\ to X^{ve}\ otimes X\），这样\[X到^{X\otimes\delta}X\otIMesX^{vee}\otimes X\到^{ev\timesX}X\]和\[X^{\vee}\到^{\delta\otimes X^{\ vee}}X^{\\vee}\otimesX\ otimes X到^{X^{\]就是身份。对于k-方案S，一个精确的k-线性函子（ω：{mathcal T}到{mathcalQ}coh_S），其中（{mathcaQ}coh _S）是S上拟相干带的范畴，称为a纤维函子实际上，（ω）取S上有限秩的局部自由带轮范畴中的值，并与对偶交换。如果S非空，则\（\omega\）也是忠实的。S上的纤维函子\（\omega \）扩展为\（\otimes \）-函子，也写为\（\ omega \。对于\（u:T\ to S\），\（\omega_T=u^*\omega\）是T上的纤维函子。对于S上的两个纤维函子\（\ omega_1\）和\（\ω_2\），写\（\下划线{等轴测}_对于函子S^{\otimes}（\omega_1，\omega_2），它与每一个\（u:T\ to S\）关联纤维函子\（u^*\omega_1\overset\sim\rightarrow u^*\ omega_2\）的同构集。它可以用S上的仿射方案表示，也可以用\（\underline表示{等轴测}_S^{\otimes}（\omega_1，\omega_2）\）。对于方案\（S_i\）上的fibre函子\（\omega_i\），\（i=1,2\），写\（\下划线{等轴测}_k^{otimes}（\omega_2，\omega_1）用于\（\underline{Isom}^{otimes}_{S_1\times S_2}（pr^*_2\omega_2,pr^*1\omega_1）\）。对于S上的fibre函子\（\omega\），写\（\underline｛自闭症｝_S^{\otimes}（\omega）=\下划线{等轴测}_S^{\otimes}（\omega，\omega）和\（\下划线{自动}_k^{\otimes}（\omega）=\下划线{等轴测}_k^｛\otimes｝（\omega，\omega）\）。我们对表示这些函子的仿射方案使用相同的符号。如果k上的张量范畴（{mathcal T}）在非空格式S上承认一个纤维函子塔纳基安类超过k。Tannakian范畴满足
（*）：其对象具有有限长度，Hom是有限维k向量空间。
阿克-广群作用于k方案S的是一个k方案G，它具有两个态射（“目标”和“源”）b，S：（G到S）和一个合成律（循环：G到G），它是在（S到S）上的方案的态射，因此，对于任何k方案T，这些数据定义了一个范畴（“群体”），其中对象为（S（T）=Hom（T，S））和箭头为（G（T）=Hom（T，G）\），这样每个箭头都是可逆的。如果存在T，则称G在S（对于fpqc-拓扑）上具有传递性作用，即在\（S\次S\）上存在T，忠实平坦且拟紧，并且具有\（Hom_{S\次S}（T，G）\neq\空集\）。A类表示G的是S上具有G作用的拟相干层（{mathcal V}），即任何k方案T在S（G）、b（G）：（T到S）下的（{mathcal V}{（G）}到{mathcalV}{b（G与基的变化兼容，并满足一些自然条件，使它们同构。对于具有传递G-作用的非空k-格式S，我们为具有G-作用S上有限秩局部自由带的张量范畴写下Rep（S:G）。对于u:\（T\ to S\），在T上有一个诱导群胚\（G_T\）和类别\（Rep（S:G）\ overset\ sim\ rightarrow Rep（T:G_T）\）的等价。对于S上具有纤维函子（ω）的张量范畴（{mathcal T}），格式（下划线{自动}_k^{\otimes}（\omega）\）是作用于S的k-群胚。现在可以说明本文的主要定理：
设\（{mathcal T}\）是k上的张量范畴，在非空k-方案S上具有纤维函子\（\omega\）。然后：
（i） 群胚\（\下划线{自动}_k^{\otimes}（\omega）\）在\（S\乘以S；\）上忠实地平坦
（ii）\（\omega \）诱导等价\（{mathcal T}\ overset\sim\rightarrow Rep（S:\ underline{自动}_k^｛\otimes｝（\omega））
相反，设G是作用于\（S\neq\emptyset \）上的k群体，仿射且忠实平坦于\（S乘S\），设\（\omega \）是S上Rep（S:G）的“健忘”纤维函子，则：
（iii）\（G\重叠\sim\rightarrow\下划线{自动}_k^{\otimes}（\omega）。（中断？）
考虑k-代数B的仿射（S=Spec（B））的情况就足够了。然后，（ω）取有限型射影右B-模范畴（Proj_B）中的值。现在，证明可以分为几个步骤：
A.准备工作。1.设R是交换环，且（B_1）和（B_2）是两个R-代数。对于函子为（ωi:{ωC}to），且为（i=1,2）的（小）范畴，有系数（L_R（ω1，ω2））。它是一个（（B_1，B_2）-双模，其诱导R-模结构重合，并且具有双模的态射（ω_1（X）^{vee}\otimes_R\omega_2（X）到L_R（ω_ 1，ω_ 2）），即（B_2）-modules的态射\），X中的函数，for all（X在{mathcal O}b（{mathcalC}）中）。特别地，对于（B_1=B_2=B\）和（ω_1=ω_2=ω），（L_R（ω）=L_Rω）被称为R-自同态的煤烧烤第页，共页\（\omega\）。
2.如果\（{\mathcal C}\）是一个\（\otimes\）-范畴ACU，并且\（\omega_1，\omega_2:{\mathcal C}\to\Pr oj_R\）是\（\otemes\）-函子，那么有一个乘积\（L_R（\omega _1，\ omega _2）\otimess_RL_R \ω_ 2）\）成为交换R-代数。函子\（\下划线{霍姆}_S^{\otimes}（\omega_2，\omega_1），\（S=Spec（R）\），由仿射方案\（Spec（L_R（\omega_1，\omega _2））表示。对于k上的（otimes）-范畴ACU（{mathcal C}），交换k-代数（B_1）和（B_2），以及（otimes\）-函子（ωi:{mathcalC}to \Pr oj_{B_i}）、（i=1,2），标量的扩展，写为（ω1\mapsto\omega_1\otimes1（ω2\mapsto1\otimes2）），将\（\omega_i\）转换为\（\otimes\）-值在\（\Proj_{B_1\otimes_kB_2}\）中的函子。一个有：（L_k（\omega_1，\omega_2）=L_{B_1\otimes_kB_2}{霍姆}_k^{\otimes}（\omega_2，\omega_1）=\下划线{等轴测}_k^{\otimes}（\omega_2，\omega_1）\）。因此\（\下划线{自动}_k^{\otimes}（\omega）\）由\（Spec（L_k（\omega））\）表示。特别地，对于k上的张量范畴，在（S=Spec（B））上有纤维函子，B a k-代数，（下划线{自动}_（ω（X）上的k^{ω{自动}_k^{\otimes}（\omega）是由共生体的倍增定义的
3.设（{mathcal A}）是满足（*）的k-线性阿贝尔范畴，设（omega:{mathcalA}到Proj_B），B是k-线性精确忠实函子\（{mathcal A}）是完全阿贝尔子范畴\（<X>），\（X\ in{mathcal-O}b（{mathcal-A}）\）的滤并，其中\（<X>）的对象是\（X^n）的子商，\（L_k（\omega）\）是\（L_ k（\omega|<X>，）的归纳极限。以下结果是由于O.加伯：对于\（X\ in{mathcal O}b（{mathcal-A}）\），\（<X>\）承认一个投射生成器，例如P。函子\（Y\mapsto-Hom（P，Y）\）给出了\（<X>\）与k代数\（A=End（P）\）上有限类型右模范畴的等价。写下\（{}_AM_B=\ω（P）\）。那么，\（{}_AM_B\）是一个\（A，B）\）-双模，在B上是有限类型的投射，在A上是忠实平坦的以及具有\（L_k（\omega|<X>）\相互作用的有限型右B-模的范畴。一个极限参数导致了以下结果：（ω）诱导了（{mathcal A}）与有限型右B-模范畴之间的等价性，并与（L_k（ω
4.我们引入了张量积\有限族k-线性阿贝尔范畴（i}）的（otimes{mathcalA}_i\）。根据定义，一个k-多线性函子，在每个变量中都是精确的，（注释：prod_{i}{\mathcal a}_i\ to{\mathcal a}\），其中\（{\matchcal a}\，从（{\mathcal A}）到（{\mathcal C}）的右正合函子的范畴等价于从（\prod_{i}{\mathcal A}_i\）到（}\mathcalC}\）的多线性函子的类别，在每个变量中都是右正合的。事实上，如果存在这样的产品，它是唯一的（直到同构）。如果（{mathcalA}_i\）满足（*），那么张量积存在并且具有良好的性质。对于k上Tannakian范畴的有限族（{{mathcal T}i}i}），k上的张量积是k上的Tannakia范畴，它满足（*）。
B.A.2。和A.3。现在，上面暗示了定理的第（ii）部分。
C.对于第（i）部分，我们的处理如下：对于k上的任何（小）范畴\（{\mathcal C}\）、张量范畴\（}\mathcalT}\）和函子\（T_1，T_2:{\mathcal C}到{\matchcal T}\ mes T_2（X）到Lambda_{{mathcal T}}（T_1，T_2））表示所有（X在{mathcal O}b（{mathcalC}）中，类似于A.1的coend结构。在情况\（{mathcal T}={mathcalT}_1\otimes{mathcaleT}_2）中，是张量积（参见A.4。上面）在k上的两个张量范畴\（{mathcal T}_1\）和\（{mathcal T{2\）在k之上，和\（T_i:{mathcalC}\到{mathcall T}_i（i=1,2）\）是函子，一个写\（Lambda_k（T_1，T_2）=\Lambda_{{mathcar T}}（inj_ 1T_1，inj_ 2T_2），其中\（inj_i\）是\（{（{mathcal T}）中的hcal T}_ i），即：（inj_1:X\mapsto X\otimes 1\）和（inj_2:X\mapsto 1\otimes X\）。如果（{\mathcal T}_ i\）在（Spec（B_i）\），（B_i\）交换k-代数上允许纤维函子\（\omega_ i\ 1）\times规范（B_2）\)其中一个是（ω\Lambda_k（T_1，T_2）=L_k（ω1T_1，ω2T_2）。将此应用于具有\（{\mathcal C}={\mathcal T}_1={\mathcal T}_2={\mathcal T{）和\（T_i\）标识\（Id_{\matchcal T}}\）的情况。这给出了\（{mathcal T}\otimes{mathcalT}\）的Ind-object\。一个证明\（\Lambda\neq 0\）。关于Tannakian范畴的一个一般结果是，如果X是k上Tannakain范畴的非零Ind-object，且k方案S上有纤维函子，则（ω）（X）在S上忠实平坦。这意味着定理（i）。
D.最后，对于部分（iii），设G是一个传递作用于S的广群体，仿射作用于\（S\乘以S\），例如\（G=Spec（L）\），其中L是一个\（B\ otimes_kB\）-模。G的合成定律使L成为作用在B上的k余晶体。它足以证明同构（G\overset\sim\rightarrow\underline{自动}_单纤维的k^{otimes}（ω）：对于T上具有遗忘函子（ωT）和诱导群胚（下划线{自动}_T上的k^{（ωT）。取T的一个点S，我们可以假设T是场的谱，结果来自这样一个事实，在这种情况下，我们可以证明存在一个等距线。这就是定理的证明。
审核人：W.W.J.Hulsbergen（布雷达）

引用于30评论
引用于264文件

MSC公司：

14层99 代数几何中的（Co）同调理论
第14页第15页 分组方案
18B40码 群胚、半群胚、半群、群（视为范畴）
14E20型 代数几何中的覆盖
20升05 群像（即所有态射都是同构的小范畴）
13N10型 微分算子的交换环及其模

关键词：

塔纳基安类;gerb公司;皮卡德-维斯奥特理论;张量范畴;广群;煤系岩石

引文：

兹比尔0717.00009;Zbl 0241.14008号
PDF格式BibTeX公司 XML格式