Toshitsune三宅 模块化形式。Transl.公司。日本作家Joshitaku Maeda。 （英语） Zbl 0701.11014号 柏林等：Springer-Verlag。viii，第335页（1989年）。 正在审查的这本书大部分是由K.Doi公司和T.三宅一生【自形形式和数论（日语）（1976；Zbl 0466.10012号)]. 英文版由T.Miyake编写，他对文本进行了实质性修改。这本书的内容大致如下。第一章介绍了作用于上半平面（{mathbb{H}}）上的Fuchsian群（Gamma）的基本事实。值得注意的是，对（Gamma\setminus{mathbb{H}}^*）作为黎曼曲面的仔细讨论。此外，还证明了Siegel定理。第二章介绍了自守形式，并讨论了在（{mathbb{H}}）上重量为2m的自守形式与在（Gamma\setminus{mathbb{H}}^*）上度为m的微分之间的关系。这是为了利用黎曼-罗赫定理计算各种自守形式空间的维数。使用合适的Poincaré级数构造了非平凡自守形式。特殊情况包括彼得森的“抛物线型庞加莱级数”，并证明了相应的系数公式和完备性定理。引入抽象Hecke代数（继Shimura之后），并首次研究任意余有限Fuchsian群的Hecke算子在自守形式空间上的作用。在第三章中，简要总结了数论、狄里克莱特征、赫克特征和L函数的一些先决条件。关于模块组和模块形式的第4章是本书的核心。这里我们找到了关于（SL_2（{mathbb{Z}}）的基本材料和关于模形式的基本结果。从余有限Fuchsian群的相应一般结果出发，导出了积分形式空间和尖形式空间的维数公式。关于（SL_2（{mathbb{Z}}）的同余子群的部分在相对较少的页面上包含了大量信息。（相应基本领域的几何学未进行研究。）从随后的章节中可以明显看出，这本书具有强大的数理色彩。深入讨论了（Gamma0（N））上的模形式及其相关的Dirichlet级数，证明了Hecke和Weil的基本等价定理。用一种优雅的Weil方法证明了Dedekind eta函数的变换公式，它减少了（zeta（s）zeta（s+1））函数方程的证明问题。这将生成判别函数\（\Delta\）的乘积展开式。对模群的Hecke代数以及模形式的Fourier系数与Hecke算子之间的关系的深入研究构成了第4章后续章节的内容。这包括对原始形式的详细讨论（以下是Atkin-Lehner、Miyake、Asai和Naganuma）。与Hecke的经典方法相反，作者从Dirichlet L级数出发，应用Weil定理构造了相关的模形式（即相应的Eisenstein级数）。类似地，还通过Weil定理引入了与二次域的L函数相关联的尖点形式。具有球面函数的Theta级数是我们研究的另一类重要的模形式。第5章讨论四元数代数的单位群，在当今关于模形式的教科书文献中是非常独特的。简要而仔细地解释了adèles和四元数代数理论的必要背景材料，并证明了四元数代数B的R阶范数1的单位群在\（｛\mathbb｛Q｝｝｝）上的基本定理是余有限Fuchsian群，它是余紧的当且仅当B是除四元数代数。然后研究了四元数代数的单位群的Hecke代数。继Selberg之后，作者在第6章中计算了Hecke算子的迹。这包括对核函数的讨论，并且首先在有限Fuchsian群的情况下计算Hecke算子的迹。然后，将通式应用于Fuchsian群的情况，Fuchsian群是在\（｛\mathbb｛Q｝｝）上的不定四元数代数中一阶范数1的单位群。最后的结果，定理6.8.4涵盖了几乎两页打印纸。第七章对艾森斯坦级数进行了研究。首先，讨论了模群的Eisenstein权级数（k\geq3），并建立了与前人研究的关系。对于（k\leq2），作者定义了具有复参数1的Eisenstein级数，计算了它们的Fourier展开式，从而得到了它们的解析延拓。这就产生了权重（k=1）和（k=2）的Eisenstein级数的定义和性质作为迹公式的一些应用，作者列出了一些关于尖型空间维数、Hecke算子的特征值和特征多项式以及权重为2的原尖型系数的数值表。正在审查的这本书是对模块形式文献的一个非常受欢迎的补充。这位新来者很快就了解了这个广阔的领域，这可能会使他很快进入独立研究领域。综上所述，这本书可以热情推荐给所有对模形式及其与数论的关系感兴趣的人，当然任何有关纯数学的院校图书馆都应该有这本书。审核人：J.埃尔斯特罗德 引用于2评论引用于255文件 MSC公司： 11楼xx 不连续群和自守形式 11-01 与数论有关的介绍性说明（教科书、辅导论文等） 11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章） 11楼 积分权的全纯模形式 2012年11楼 自形形式，一个变量 11层20 Dedekind eta函数，Dedekind-sums 11层06 模群的结构与推广；算术群 11层27 Theta系列；Weil表示；θ对应 11楼30 自守形式的傅里叶系数 11楼66 Langlands\（L\）-函数；一变量Dirichlet级数与泛函方程 关键词：自形形式;庞加莱级数;模群;余有限Fuchsian群;同余子群;模块化形式;狄里克莱级数;转换公式;Dedekind eta-功能;模群的Hecke代数;傅里叶系数;Theta系列;四元数代数的单位群;单位群的Hecke代数;赫克算子的迹;艾森斯坦级数;数字表格;尖形空间的维数;特征值;Hecke算子的特征多项式;原始尖点形式的系数 引文：Zbl 0466.10012号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.Miyake}，模块化形式。Transl.公司。日本作家Joshitaku Maeda。柏林等：Springer-Verlag（1989；Zbl 0701.11014）