Das Spiel Minimum und die Zerlegung natürlicher Zahlen公司
Das Spiel Minimum und die Zerlegung natürlicher Zahlen公司
Wie lät sich eine gro e natürliche Zahl durch wiederholtes Abspalten von Faktoren mit möglichst wenig Mogelei so zerlegen，da-am Ende eine Zweiübrig bleibt？
Wie kann man feststellen，ob eine sehr große natürliche Zahl mit vielleicht 100 Dezimalstellen eine Primzahl ist？不知道，特勒找到了谁？要素是Satz der Zahlentheorie，da-jede natürliche Zahl in eindeutiger Weise in Primfaktoren zerlegbar ist。在《实践》一书中，作者为《Zerlegung jedoch mühsam》一书的作者，作者是《jeden denkbare Primfaktor zu teilen und festzustellen》一书，作者是奥夫盖特分部的编辑。埃因·索尔钦·法克托·盖芬登，所以镀金n=pm，wobei m das Ergebnis der Division ist。法克托伦·祖·泽勒根（Faktoren zu zerlegen）的Man notiere sich pür später und versuche nun。Da m kleiner is als n，ist diese Aufgabe einfacher als die ursprüngliche（达姆克莱纳是一个国家，是一个世界）。追随者kann man von m wieder einen Primfaktor abspalten und das Ergebnis der Division weiter zerlegen，order m is eine Primzahl，womit die Faktorisierungsaufgabe erledigt ist。德奥夫万德·富尔（Der Aufwand für）在Gleihsam atomare Bestandteile–vor allem das Durchprobieren–wächst mit zunehmender Größe enorm an.Man kann daher das Produkt zweier sehr gro \223,er Primzahlenöffentlich bekantgeben und trotzdem darauf vertrauen，da \223]niemand在angemessener Zeit die Faktoren finden wird去世。Darauf basiert das Prinzip der Kryptographie mit veröffentlichtem Schlüssel（vergleiche“Die Mathematik neuer Verschlüsselungssysteme”von Martin E.Hellmann，《威斯森沙夫博物馆》，1979年，第92页）Trotz dieser prinzipiellen Schwierigkeit hat ein Spiel namens“Minimum”，bei dem es–mit gewissen Abwandlungen–darum geht，große Zahlen um die Wette zu faktorisieren，einen gewissen-Reiz，Zusammen mit einigen Freunden habe ich es mir im 1983年4月在慕尼黑奥斯盖特；希尔·沃德·埃斯特马尔斯·达吕贝尔·贝里希特（hier wird erstmals darüber berichtet）。Zu Beginn wird eine große natürliche Zahl ausgelost。安芬格·瓦伦·兹韦克梅·伊格·埃内·泽恩斯特利格·扎尔（Anfänger wählen zweckmäßig eine zehnstellige Zahl）；杜尔施尼茨斯皮勒20岁，斯皮琴斯皮勒40比60斯泰伦安格梅森。杰德·斯皮尔（Jeder Spieler versucht nun）、弗尔·西奇·艾伦（für sich allein und nur mit Bleistift und Papier）、冯·德·奥斯格洛斯滕·扎尔（von der ausgelosten Zahl aus mit einer Folge spezieller Rechenschritte）和埃里钦（Zahl 2 zu erreichen）。Als Bedenkzeit kann man je nach Spielstärke eine bis vier Stunden vereinbaren。我们是Zeitüberscheitet oder sich verrechnet，bekommt eine Anzahl von Strafpunkten，die um 2 geringer ist als die letzte erreichte beziehungswise die letZwischenzahl。Welche Rechenschrite sind erlaubt？zwei Faktoren（德伦·基内·伊内·普里姆扎尔赛因穆·泽莱根）的扎尔（Zahl）、德伦·克莱内·德·贝登·法克托伦（den kleinen der beiden Faktoren-abspalen und mit dem anderen-weiterrechnen）都是过去的人。安德斯·奥斯格德吕克特（Anders ausgedrückt）：在扎尔分水岭（Zahl dividieren）的时候，扎尔死了，德勒·冯·恩德·赫斯特（Teiler von und höchstens）也死了。（Wenn einer der Faktoren gröer istals）丹·穆德·安德雷·克莱纳（dann mußder andere kleiner sein）.）Mit dem Ergebnis der Division ist weiterzurechnen。Damit das Spiel nicht in das beschriebene endlose Probieren ausaret，gibt es zweitens die Möglichkeit，unteweegs die jeweils erreichte Zahl ein wenig abzufälschen：Man darf，statt zu dividieren，1 addieren order sutrahieren。在研究的Verlauf中，有129个是天使，有1个是次天使，有128个是Zweierpotenz在第二次会议上，我们将再次举行会议。Fälschung在Punkt（sagen wir einen Groschen）、während Divisionen gewissermaßen kostenlos sind的职业生涯。Das Ziel des Spiels besteht也是nicht darin，收录于《möglichst wenig Rechenschrypted bis zur 2 zu gelangen》、《sondern mit möglichst wenig Fälschungen》。《蜘蛛侠》（Der Spieler mit Der niedrigsten Punktzahl hat gewonnen）（图片1）。奥芬西奇特利希·坎恩·达斯·斯皮尔·奥赫（Offensichtlich kann das Spiel auch）没有得到奥格亨（ausgehen）的支持。是eine geschitte Spieltaktik吗？人类将死于犹太人沃尔利根德·扎尔·莫格利赫斯特·施内尔（und mit möglichst wenig Rechenaufwand）克莱恩·马肯（ohne allzuviel fälschen zu mussen）。Nun sieht man zwar auf den ersten Blick，ob eine Zahl durch 2 order durch 5 teilbar ist；泰尔巴基特在3岁那年是一名男子。Trotzdem ist es nicht unbeding sinnvoll，zunächst durch kleine Faktoren zu dividieren:Wer 992，so oft es geht，durch 2 teilt，landet nach 5 Schritten bei 31；因为这是一场胜利，所以这场胜利就是胜利。Hätte man jedoch 992 im ersten Schritt durch 31 dividiert，wäre das Ergebnis 32 gewesen是als Zweierpotenz fälschungsfrei auf 2 zu reduzieren ist。Die Division durch 31 ist für Die Zahl 992 gerade noch erlaubt，denn 31 ist kleiner als公司（ungefähr 31.5）。Teilt man jedoch ein einziges Mal durch 2，帽子男sich diesen Lösungsweg veraut，丹尼（ungefähr 22,3）是nicht mehr gröer als 31。Es scheint daher sinnvoll，位于jedem Schritt durch den größten noch erlaubten Primfaktor zu dividieren。Das stimmt jedoch nicht immer公司；第三组57人，mußmindestens zweimal fälschen，während er nach Subtraction von 1 durch reines Diviieren zum Ziel kommt。Es ist auch geschickter，4693 zunächst durch 13 statt durch die（ebenfalls zulässige）19 zu dividieren。Und wer würde wohl einer Zahl wie 4294967297 auf den ersten Blick ansehen，da's nicht die Division durch 641，sondern die Subtraction von 1 mit dem Ergebnis公司瓦利斯特战略？
Der Preis einer Zahl公司
Das läßt sich noch etwas genauer fassen公司。Man denke sich einen optimizen Spieler，das heißt einen，der nie mehr Fälschungen begeht als unbeding erforderlich，und vergleich dann jeden denkbaren Spielzug mit dem dieses Spielers。”Den“optimien Spieler提出了适应条件nicht，da sehr häufig verschiedene，gleich teure Wege zum Ziel existieren。Aber man kann für jede Zahl n die Anzahl P（n）der mindestens nötigen fälschungen definitieren und im Prinzip auch ausrechnen（图片2）这是普赖斯省的sozusagen der Preis，der für die Reduktion von n mindestens zu zahlen ist。（Die Matematiker sprechen nicht vom Preis，sondern vom Wert einer Zahl.）Eine Division is dann ein guter Spielzug，wenn das Ergebnis den gleichen Preis hat wie Ausgangszahl，Eine Fälschung nur dann，wen sie den Preis um 1 virmander，den sie verursacht ja Kosten in Höhe von einem Punkt。追随康曼施莱赫特·祖格纳赫·登·梅尔科斯滕·克拉西菲泽伦（schlechte Züge nach den Mehrkosten klassifizieren），死吧。模具部门36:2 beispielsweise is ein einfacher Fehler，denn P（36）=0，aber P（18）=1。格雷切斯镀金富尔6-1，登恩P（6）=P（5）=1，因此达达斯·费尔申尼赫特·埃格布雷赫特帽子。Ein Doppelfehler ist zum Beispiel 20–1，und 73023488 durch die Zweierpotenz公司祖迪是索加·埃因·德雷法赫菲勒。《图片1》中的《斯皮埃尔沃夫分析》（Eine Analyse des Spielverlaufs）表明，这是一个由过去的Züge von A和过去的Zug von B犹太人组成的世界。Man kann auch，etwa mit einem Computerprogramme，während des Spielverlaufs aus dem Preis der bisher erreichten Zahlen und der Anzahl der bisher-begangenen Fälschungen den Spielstand beider Spieler bestimmen。
钱币理论与扎伦理论
莱希特（ohne Fälschung）Primzahlen und zusammengesetzetei ein.Hier geht es um eine Einteilung nach dem Preis的“最低”利益方Fragen auf.u blicherweise teilt man die natürlichen Zahlen以及对Zahlen的重新定义。在Primzahlen的带领下，Vertilung zwar einigen Regeln，这是一个很好的例子。欢迎Zahlen的死，不欢迎kosten的死？Man mußdurch eine Folge von Divisionen bei der 2 landen，也是mu mu jede Nullpreiszahl gerade sein。Außerdem darf keine der Divisionen im Laufe des Spiels gegen die Wurzelbedingung verstoÞen：在jedem Schritt mu der gröte In der Zahl enthaltene Primfaktor abspaltbar-sein中，darf还称其为Produkt aller anderen Faktoren。Wenn man eine Zahl n in Gedanken in Primfaktoren zerlegt und diese in aufstequerrenter Reihenfolge在Gedankene的Wenn mane Zahlnotiert，dann läuft diese Bedingung darauf hinaus，daßder Primfaktor nicht gröer sein darf als das Produkt der links von ihm stehenden Primfactoren：für alle k zwischen 2 und r.Jede Zahl，dies diese beiden Bedingengen erfüllt，is eine Nullpreiszahl，我是一个自由的人。Daraus folgt-unter anderem，daßr eine Nullpreiszahl塞恩·穆伊（sonst wäre sie nicht gerade）；außerdem镀金und deshalb公司，sofern der zweite Primfaktorüberhaupt vorhanden ist。Jede Nullpreiszahl außer der Zwei selbst也在Vielfaches von 4中。Während die Primzahlen so etwas sind wie muffigen，ungeselligen，regellosen Einzelgänger im Reich der natürlichen Zahlen，sind die Nullpreiszahlen deren genaues Gegenteil：Sie setzen ihrer Zerlegung in Primfaktoren nicht nur erheblich weniger Widerstand entgegen，sonder diese Faktoren verhalten sich auch noch gestittet in dem Sinne，daßder Anstieg von einem zum nächsten nicht ma's hoch ist公司。Außerdem sind Nullpreiszahlen sehr leicht zu konstruieren，denn im Gegensatz zu den Primzahlen zählen sie unendlich viele ihrer Vielfachen zu ihresgleichen。Insbesondere嘲讽unendlich viele Nullpreiszahlen：Jede Zweierpotenz就是这样。Von den Primzahlen wei，da's unendlich viele gibt；阿伯·恩·扎伦（aber unter den sehr großen Zahlen sind sie immer dünner gesät）。Zahlen也是nahezu jede zusammengesetzt。Nehmen unter ihnen auch die Nullpreiszahlenüberhand？Wir haben mit einem Computerprogram den Preis sämtlicher Zahlen bis 107最佳成绩。Einige unserve Verfahrenähneln dem Sieb des Eratosthennes für die Auslese von Primzahlen（威斯森学院演讲，1988年9月，第8页）。Die Auszählung（图片3）ergibt，daßder Anteil der Nullpreiszahlen von 33 Prozent unter den Zahlen bis 10 auf klägliche 4 Prozent under Zahlen bis 107 immer weiter absinkt，je gröere Zahlen-man in Die Statistik einbezieht。扎伦的Anteil Der Zahlen，die einen Groschen kosten，steigt zunächst an und fällt wieder ab；Zahlen在Ende des Anstiegs noch nicht abzusehen。Die große Preisliste liefert noch einige weitere Auskünfte公司。Bis 107 liegt die größte Lücke zwischen zwei Nullpreiszahlen mit einer Länge von 204 zwischen 9248904和9249108；die längste uninterbrochene Kette aus Eingroschenzahlen reicht von 9424801 bis 9424828；für zwei Groschen找到了最新的信息Kette zwischen 2824266和2824282，für-drei Groschen-zwischen-1593385和1593388。Es gibt bis 10 exp7 nur die drei Viergroschenzahlen邮编：3976733、8053483和9942523。Man kann beliebig lange Ketten aus Eingroschenzahlen angeben:福尔haben alle Zahlen zwischen n+1和n+n diese Eigenschaft公司。（n！，gesprochen n-Fakultät，is das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n.）Einige weitere Aufschlüsse erhält-man，wenn man den Verlauf der Funktion P（n）betrachet，die für jede nat lliche Zahln deren Preis angibt。Sie kann nicht allzu große Sprünge machen：Die Preise zweier aufeinanderfolgender Zahlen unterscheiden sich um höchstens 1。我是Zweigroschenzahl，所以在未来的最佳战略中，Groschen zunächst的人是n+1。因此，在n+1 drei Groschen的情况下，我们可以进行补救；也有n+1个höchstens eine Dreigroschenzahl sein。Je gröer die Zahl n wird，desto mühsamer wird zwar die Rechenarbeit zum Reduzieren；安德雷塞特·瓦赫斯特·杰多克（Anderersets wächst jedoch die Anzahl der möglichen Züge enorm an），因此《战略》（daßes auch mehr Strategien）引以为荣。Wenn n nicht schon selbst eine Nullpreiszahlist，kann man sich–Gedanken的zumindest–ihre sämtlichen Teiler anschauen。Die meisten von ihnen werden durch eine Folge von Divisionen unter Beachtung der Wurzelbedingung kostenfrei erreichbar sein。Es genügt，wenn einer dieser zahlreichen Teiler eine Nullpreiszahl zum Nachbarn hat，und schon is n eine Eingroschenzahl。Man kann auch unendlich viele solcher Zahlen angeben：Jede Potenz von 3 kostet einen Groschen，denn Man kann sie in einer Folge von Divisionen durch 3 bis auf 3 reduzieren und dann 1 subtrahieren。Billiger geht es nicht，denn jede Dreierpotenz是一个不折不扣的人。Zweigroschenzahlen的Anzahl der ist ebenfalls unendlich；阿伯·戴斯·塔萨奇（aber diese Tatsache）是一个非常无法无天的人。Man zeigt zunächst，da's jede Primzahl n（außer 5 selbst），die bei der Division durch 24 den Rest 5 lät，mindestens zwei Groschen kostet。（Nach dem Satz aus der Zahlenthorieüber die arithmetische Primzahlprogression gibt es unendlich viele Primzahlen mit dieser Eigenschaft。）Da n eine Primzahl ist，mußder erste Spielzug bereits eine Fälschung sein。Die daraus hervorgehende Zahl lät bei der Division 24 den Rest 4 order 6休息日；und Zahlen dieser艺术（außer der 4 selbst）können keine Nullpreiszahlen sein。在休息6日的24小时里，我将被分为两个组，同样的还有扎尔-尼赫特-迪尔巴和肖恩·德斯韦根-基恩·努尔普列斯扎尔（Zahl nicht durch 4 teilbar und schon deswegen keine Nullpreiszahl）；在休息日4，dann wei，dah weder durch 8 noch durch 3 teilbar ist。同样位于Primfaktorzerlegung der nächste Faktor nach 2¥2 weder 2 noch 3，也是gröer als 4，是Bedingungüber den Anstieg der Primfactoren widerspricht。Wenn daher eine Primzahl der Form 24k+5 vorliegt，mußr die erste fälschung einen Groschen und für den Rest der Reduktion noch mindestens ei-nen weiteren ausgeben。Daraus folgt，daßes unendlich viele Zahlen zum Preise von mindestens zwei Groschen gibt（达劳斯·福格特，《无望的生活》）。Könnte es sein，daßunter diesen nur endlich viele genau zwei Groschen kosten und alle anderen teurer sind？内；丹尼·达恩·加贝（denn dann gäbe es einterseits unendlich viele teure）（德雷·格罗申·梅尔）·扎伦（Zahlen）；安德雷塞特·维森（andererseits wirsen wir schon），《无边之旅》（daßes unendlich viele billige）（einen Groschen oder garnichts）gibt。Dann mußes auch unedlich of vorkommen，da-zwischen zwei billigen Zahlen eine teure liegt order umgekehrt公司。Da sich aber der Preis von einer Zahl zur nächsten nur um höchstens einen Groschenändern kann，mußes jedesmal zwischendurch auch eine Zweigroschenzahl geben。Damit ist zwar gezeigt，daßes unendlich viele Zweigroschenzahlen gibt，aber nicht，wie man sie findet–ein typeischer Fall für einen nicht-konstruktiven Existenzbeweis。
进攻弗拉根
Bei der Suche nach weiteren Eigenschaften der Preisfunktion gerät man sehr schnell在《Unegsames Gelände》中。Wir haben versucht，uns den 1896 bewiesenen Satzüber die symplantische Häufiggeit der Primzahlen zunutze zu machen：der Anteil der Primzahlen unter den ersten n natürlichen Zahlen-ist ungefähr gleich 1/log（n），wobei mit日志“der natürliche Logarithmus gemeint ist.Die u u bereinstimmung is um so besser，je gröer n ist.Salopp gesagt：Die Primzahlen werden auf Die Dauer immer seltener，aber sehr langsam.Aus diesem Satz haben wir Vermutungen für den Anteil der billigen Zahlen bis zu einer gewissen Zahl n hergeleitet，Die zwar durch unsere Computerauszählung盖斯特·图斯特·沃登（gestützt werden）、阿贝尔·比斯朗·尼希特（aber bislang nicht）、贝耶森·辛德（bewiesen sind）。Danach wäre eine sehr große，zufällig herausgegriffene Zahl mit extrem hoher Wahrscheinlichkeit eine Zweigroschenzahl，der Anteil aller anderen Zahlen dagegen wáre verschwindend gering。Es is auch nicht klar，ob Esüberhaupt beliebig teure Zahleng gibt。Man wei gerade noch，da die kleinste unter den Zahlen，die eien vorgegebenen Preis haben，eine Primzahl sein mu。Wäre sie nämlich zusammengesetzt，könnte man einen（zum Beispiel den kleinsten）Faktor abspalten und erhielde eine Zahl，die mindestens so teuer ist；沃劳斯赛特尊大教堂（das widerspricht der Voraussetzung），大教堂（daßdie ursprüngliche Zahl die kleinste zu diesem Preis sein soll）。死亡人数为3人；Preisstufen的出生日期分别为19、173和3976733。在Grßenordnung von的Fünfgroschenzahl大街上und die kleinste Sechsgroschenzahl bei公司.Wir glauben auch，daßes zu jedem Preis eine Zahl gibt；这是jedoch durchaus denkbar，da-keine Zahl teurer als beispielsweise sieben Groschen ist。Die kleinste Fünfgroschenzahl（wenn es sie gibt）is als Primzahl insbesondere ungerade；西穆·冯·兹韦（sie mußvon zwei Viergroschenzahlen）的侧翼围攻赛（paradiert sein），迪丹·伊雷塞特·杰拉德（die dann ihresseits gerade sind）。Teilt man beide durch 2，so ergeben sich zwei unmittelbar benachbart Viergroschenzahlen（丹麦分部durch 2-macht eine Zahl nicht billiger）。Da diese aber schon sehr dünn gesät sind，is es sehr unwhrscheinlich，auch noch zwei benachbart zu finden；最后一个人死了，mußdazwischen noch keine Primzahl liegen。Man darf nicht nur auf das Ergebnis der verschiedenen Vermutungen gespant sein–darunter etlicher，diesem Rahmen nicht diskutiert werden können–，sondern auch darauf，wieviel Zeit bis zu einer Antwort vergehen wird。Die Gröenordung von公司在kleinste Fünfgroschenzahl vermuten中，它是一台超级计算机，在Algorithmen bereits am Rande des Erreichbaren中具有最大效率。
Sichere Passwörter，Sichere Messenger，Sichere Datenübertragung-在Zeiten数字通信间谍der Schutz derübermittelten Inhalte eine große Rolle中。威格林特？
Spektrum Kompakt–Quantencomputer–Der Weg in die praktische Anwendung公司
我是2019年Jahr发布的Google-den-ersten Quantence计算机，der klasische Rechnerüberdrumpfen sollte。Mit weiteren Unternehmen wie IBM liefert sich der Konzern ein Rennen um die Frage:wie schnell wird die Technologie die Praxis erobern？
