黄金分割率的推广与Binet-de-Moivre公式

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摘要
Whitford用二阶递推的Binet公式推广了Fibonacci数,其中t∈Z+。Horadam给出了Binet公式的一个更高形式的推广,其递推式为a n=ka n−1+Tan−2,其中k,t∈Z+。本文讨论并给出了关于形式a n=ka n−1+Tan−2,其中k,t∈Z+的递推的一些结果。
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扩大黄金比例
莫伊夫之家e F公司奥穆拉
F伊莱克斯·P·穆ga二
数学系
理工学院
马尼拉大学持久性
奎松市,菲律宾
fmuga@ateneo.edu
摘要
惠特福德用比奈公式对斐波纳契数进行了推广
订单重复n=n1+助教n2哪里tZ+. 霍拉达提出了一个更高的形式
带递推的Binet公式的推广n=灵魂n1+助教n2哪里
k、 t Z. 在本文中,我们将讨论并给出一些关于递归的结果
形式n=灵魂n1+助教n2哪里k、 t Z+.
1简介
这个黄金分割率记为φ定义为tw的比率o正整数b,
哪里a> b,这样
φ=
b=+b
=1+5
21.6180339887498949. . .
φk、 t,其中k,吨 Z+,是黄金分割率就这样
φk、 t=
b=灵魂+tb
.
因此,
φk、 t=k+t
φk、 t
φ2
k、 tk,吨t=0
1
这个二次方程的根是:
φk、 t=k+k2+四t
2φk、 t=kk2+四t
2.
很明显φ1,1=φ.
惠特福德[]介绍了这个比率的一个推广k=1并扩展Binet的
递推公式n=n1+助教n2对于n>1,带0=0,1=1,并且tZ+
就这样
n=φn
1,吨φn
1,吨
1+4个t.
霍拉达姆[1]给出了Binet公式的一个更高形式的推广
复发n=灵魂n1+助教n2哪里k,吨 Z.
在本文中,我们将研究kt正整数与
n=φn
k、 tφn
k、 t
k2+四t.
We应确定kt对于φk、 t的整数倍φ为了φk、 t
加入泰格值。
2 扩大黄金比例
假设如此φk、 t=米φ哪里是p正的泰格。 那么
k+k2+四t
2=+5
2
k+k2+四t=+5
k+k2+四t5=0 (一)
如果根k2+四t是一个整数,然后是方程的左边1不能为零,因为
m>0
因此,我们ve公司(k) +k2+四t5=0,其中第一项和第二项
左侧分别等于零。
因此,k=
k2+四t5=0
k2+四t=5
k2+四t=52
4t=4个2
t=2.
2
请注意,这些是唯一的整数v价值kt为了什么φk、 t是整数倍
属于φ.
因此,我们下面的定理。
定理1。m、 k,t Z+就这样k=t=2. 那么φk、 t整数是倍数
黄金比例,,φm、 米2=米φ. 这是唯一的φk、 t配置获取整数的操作
黄金比例的倍数。
这个定理意味着黄金比率只能从φk、 t哪里k=t=1。
F或者整数序列A085449号电子版在线百科全书迪亚
整数Se的淬火[4], [5]在http://oeis.org, 比率是φ2,4=2个φ. F或者整数
序列A099012型,比率为φ,9=3φ对于整数序列A099133号,比率为
φ4,16=4个φ.
比例φk、 t带整数V价值
在本节中,我们将确定整数v价值kt所以比率φk、 t也是
整数v价值。
W我们有以下定理。
定理2。m、 k,t Z+. 那么kZ?
t=2mk公司当且仅当φk、 t=.
赞成的。1 补充是吗kZ?
t=2mk公司. 那么k<米
k+k2+四t
2=k+424mk公司+k2
2
=2
2=
2 假设如此φk,吨=哪里是一个正整数。那么
k+k2+四t
2=k2+四t=2个k
k2+四t=4个24mk公司+k2
t=2马克。
因为k、 t Z+,因此k=1,2, . . . ,米1和m>k公司.
请注意,这些是唯一的整数v价值kt为了什么φk、 t是p正的泰格。
T能够的1枚举的唯一整数序列=2个,,4,5,6,7
注意Jacobsthal数的序列[2], [6]是来自的唯一整数序列
形式的二阶线性递归n=灵魂n1+助教n2,与0=0, 1=1和
k、 t Z+其中比率等于2。
T表1: 由二阶齐次循环导出的唯一整数序列-
伦斯n=灵魂n1+助教n2具有0=0,1=1,并且k,吨 Z+φk、 t带整数V价值
.整数Se淬火 千吨
2A001045型12个
A015441号16岁
A015518号2 3个
4A053404号112个
4A003683号2 8个
4A015521型3 4个
5A053428120个
5A079773号215个
5A015528号3 10个
5A015531号4 5个
6A053430130个
6A051958号2 24个
6A080424号318个
6A053524号412个
6A015540号5 6个
7 142个
7 235个
7 3 28个
7 4 21
7A053573号514个
7A015552号6 7
4
定理3。价值观(+k)哪里k是p正整数ar唯一的整数
价值观t为了这个关于re的e公式电流ebn=kbn1+tbn2对于
n>1具有b0=0b1=1 有一个方形的根e。 特别地,k2+四t=2个+k
这是一个积极的情报呃。
因此,比内德莫伊夫´公式由bn=1
2+k(+k)n()n.
赞成的。比莫伊特e递推公式bn=kbn1+tbn2对于n>1带
b0=0,b1=1 k、 t Z+是由
bn=1
k2+四t k+k2+四t
2!n
kk2+四t
2!n!.
因此,如果t=(+k),那么k2+四t=p(二)+k)2=2个+k.
因此,特征根是r1=+kr2=.
因此,比内德莫伊夫´公式由 bn=1
2+k(+k)n()n.
T能够的2显示在中发布的31个整数序列在线百科全书整数的直径
顺序他们的责任客观条件满足t==(+k)对于正输入泰格斯
k.
例1。注意整数序列的第二项和第三项A002378号
分别是6和6, 即。,A002378(1) =2和A002378(2) =6。 我们,对应的
整数序列是A001045型带着比奈·德莫伊夫´e公式bn=(2)n((一)n)/3和
A015441号具有bn=(3)n((一)n)/4
也,A005563(1) =3和A005564(2) =8。 因此,相应的序列
A015518号具有bn=(3)n((二)n)/5和A003683号具有bn=(4)n((二)n)/6
4 变频器上出现 n+1
n
φk、 t
F或者p正的泰格斯kt,我们考虑递归关系n=灵魂n1+助教n2对于
n=2个,, . . . 就这样0=0和 1=1。
这个递推关系的特征方程等于r2克朗t=0其中
根是
φk、 t=k+k2+四t
2φk、 t=kk2+四t
2
因此,可以证明递推关系的解是一个序列nn0
哪里n=1
k2+四tφn
k、 tφn
k、 t.
定理4。nn0做一个se淬火n=1
k2+四tφn
k、 tφn
k、 t.
那么
n→∞
n+1
n
=φk、 t.
5
T表2: 莫伊夫比奈e F公司整数序列的公式bn=kbn1+tbn2对于n>1
具有b0=0,b1=1 t、 k Z+哪里t=(+k)为Z+k=1,2,...,31
整数序列莫伊夫比奈e F公司或公式
k就这样t=bn=kbn1+tbn2
1A002378号(+(一)n()n/(二)+(一)
2A005563号(+2)n()n/(二)+(二)
A028552型(+(三)n()n/(二)+(三)
4A028347号(+(四)n()n/(二)+(四)
5A028557号(+(五)n()n/(二)+(五)
6A028560号(+6)n()n/(二)+(六)
7A028563号(+(七)n()n/(二)+(七)
8A028566号(+(八)n()n/(二)+(八)
9A028569号(+(九)n()n/(二)+(九)
10A098603号(+10条)n()n/(二)+10条)
11A119412年(+11条)n()n/(二)+11条)
12A098847型(+十二)n()n/(二)+十二)
13A132759号(+13条)n()n/(二)+13条)
14A098848号(+14条)n()n/(二)+14条)
15A132760(+15条)n()n/(二)+15条)
16A098849号(+16条)n()n/(二)+16条)
17A132761号(+17条)n()n/(二)+17条)
18A098850型(+18条)n()n/(二)+18条)
19邮编:A132762(+19条)n()n/(二)+19条)
20A120071年(+20)n()n/(二)+20)
21邮编:A132763(+第二十一条)n()n/(二)+第二十一条)
22邮编:A132764(+22)n()n/(二)+22条)
23邮编:A132765(+23条)n()n/(二)+23条)
24邮编:A132766(+24条)n()n/(二)+24条)
25邮编:A132767(+25条)n()n/(二)+25条)
26邮编:A132768(+26条)n()n/(二)+26条)
27A132769号(+27条)n()n/(二)+27条)
28邮编:A132770(+第二十八条)n()n/(二)+第二十八条)
29邮编:A132771(+29条)n()n/(二)+29条)
30邮编:A132772(+30)n()n/(二)+30)
31邮编:A132773(+第三十一条)n()n/(二)+第三十一条)
6
赞成的。因为k >0和t>0,我们有k+k2+四t>0和k2<k2+四t. 因此,
k<k2+四t
kk2+四t<0
kk2+四t
k+k2+四t<0
φk、 t
φk、 t
<0.
kk2+四t<kk2+四t <k+k2+四t
1<kk2+四t
k+k2+四t<1
1<φk、 t
φk、 t
<1
φk、 t
φk、 t
<1
所以,林
n→∞
φk、 t
φk、 t
n
=0。这意味着
n→∞φk、 t
φk、 tn
=0。
因为
n+1
n
=φn+1
k、 tφn+1
k、 t
φn
k、 tφn
k、 t
=φk、 t+φn
k、 tφk、 tφk、 t
φn
k、 tφn
k、 t
n+1
n
=φk、 t+φk、 t
φk、 tn
φk、 tφk、 t
1φk、 t
φk、 tn
所以,林
n→∞
n+1
n
=φk、 t.
下面的推论紧跟在前一个定理之后。
推论1。比率b两者之间自然序列的可爱术语al编号
0,1,米,22,, . . . ,一个n, . . .
哪里n=妈妈n1+2n2对于n=2个,, . . . 对流ges到米φ.
7
推论2。m、 k,t Z+. 比率b两人之间顺序的可爱术语第页,共页
自然麻木急诊室
0,1,k,k2+t、 k+二t、 。,一个n, . . .
哪里n=灵魂n1+助教n2,k=1,2, . . . ,米1t=2mk公司对于n=2个,, . . . 对流通用电气公司
.
因此,我们e以下结果。
定理5。如果n> r10号线自然对数k2+四t10r
自然对数k2+二tkk2+四t2号线自然对数t,那么
n+1
nφk、 t10r哪里
rZ+.
赞成的。为了一个giv英语正整数rw找到的整数值n苏克h那个
n+1
nφk、 t10r.
n+1
n
=φn+1
k、 tφn+1
k、 t
φn
k、 tφn
k、 t
=φk、 t+φn
k、 tφk、 tφk、 t
φn
k、 tφn
k、 t
n+1
n
=φk、 t+φk、 t
φk、 tn
φk、 tφk、 t
1φk、 t
φk、 tn
n+1
nφk、 t=φk、 t
φk、 tn
φk、 tφk、 t
1φk、 t
φk、 tn
φk、 t
φk、 t
=kk2+四t
k+k2+四t
=kk2+四t
k+k2+四t·kk2+四t
kk2+四t
=2k2+四t2kk2+四t
4t
φk、 t
φk、 t
=k2+二tkk2+四t
2t
8
因为φk、 tφk、 t=k2+四t,我们有
n+1
nφk、 t= k2+二tkk2+四t
2t!nk2+四t
1 k2+二tkk2+四t
2t!n
n+1
nφk、 t
= k2+二tkk2+四t
2t!nk2+四t
1 k2+二tkk2+四t
2t!n
<10r
因此,
k2+二tkk2+四t
2t!nk2+四t<10r
1 k2+二tkk2+四t
2t!n
<10r 1+ k2+二tkk2+四t
2t!n!
k2+二tkk2+四t
2t!nk2+四t<10r 1+
k2+二tkk2+四t
2t
n!
因为kt是正整数,我们ve公司k4+四k2t+四t2>k4+四k2t>0因此,
k2+二t> kk2+四t
k2+二tkk2+四t>0
k2+二tkk2+四t
2t<0
因此,
k2+二tkk2+四t
2t!nk2+四t<10r+10个r k2+二tkk2+四t
2t!n
k2+二tkk2+四t
2t!n
k2+四t10r<10r
9
因为k、 t r是p正的泰格,我们有ek2+四t10r>0因此,
k2+二tkk2+四t
2t!n
k2+四t10r<10r
k2+二tkk2+四t
2t!n
<10r
k2+四t10r
对数函数是一个递增函数。 因此,我们e
自然对数 k2+二tkk2+四t
2t!n
<自然对数10r
k2+四t10r
n自然对数 k2+二tkk2+四t
2t!<r10号线自然对数k2+四t10r
因为kt都是正整数,并且平方根函数在其域中增加,
我们有e
k2<k2+四t
k<k2+四t。
因此,
k2<kk2+四t
k2kk2+四t<0
k2+二tkk2+四t<2t
k2+二tkk2+四t
2t<1
因此,0<k2+二tkk2+四t
2t<1 这意味着ln k2+二tkk2+四t
2t!<0
10
这意味着
n自然对数 k2+二tkk2+四t
2t!<r10号线自然对数k2+四t10r
n> r10号线自然对数k2+四t10r
自然对数 k2+二tkk2+四t
2t!
n> r10号线自然对数k2+四t10r
自然对数k2+二tkk2+四tln(2)t)
n> r10号线自然对数k2+四t10r
自然对数k2+二tkk2+四t2号线自然对数t
下面的推论紧随其后.
推论3。在有限的序列中斐波那契麻木急诊室(Fn)n0,
如果n> r10号线自然对数510r
自然对数52号线 然后
Fn+1
Fnφ10r哪里rZ+.
推论4。如果k=米, t=2哪里Z+
如果n> r10号线自然对数510r
自然对数52号线 ,那么
n+1
n米φ10r哪里rZ+.
推论5。如果k=1,2, . . . ,米 1, t=2公里哪里k、 t,m Z+
如果n> r10号线ln(2)k10r)
ln公司(k)自然对数,那么
n+1
n10r哪里rZ+.
例2。对于Fibonacci数序列Fn电子版在-
线百科全书整数Se的直径淬火http://oeis.org作为A000045型,
F41
F40φ
<1016.
FA099133号,
42
414φ
<1016.
FA015540号,
23
226
<1016.
5阿克诺wledgements公司
W我要感谢在线百科全书整数Se的直径淬火对于
他们宝贵的这是我提交给百科全书的资料
纸张。
这项工作得到了科学院院长办公室的资助
马尼拉大学工程学院是的。
11
工具书类
[1] A、 霍拉达姆, 基本支柱num的一个推广序列的性质b呃,斐波那契
夸脱。(1965年),第161-176页。
[2] A、 F.Horadam,Jacobsthal代表b呃。斐波纳契夸脱。34(1996)第40-54页。
[3] A、 K.惠特福德, 比奈公式的推广, 腓骨肌西夸脱。15(1979年),第21,24,29页。
[4] N、 J.A.斯隆,在线百科全书整数Se的直径淬火,发表于electroni-
凯利http://oeis.org.
[5] N、 J.A.斯隆, 整数序列的在线百科全书,注意到艾默尔。数学。
Soc。50(2003年),912-915年。
[6] E、 W.W艾斯坦, 雅各布斯塔尔数,数学世界——一只狼am网络资源总工程师. 出版
电子版http://mathworld.wolfram.com/JacobsthalNumber.html.
2010数学学科分类离子: 一级11B37;二级11B39。
关键词:黄金比例,比奈·德莫伊夫´公式,斐波纳契数,收敛性。 重现-
伦斯。
(与序列有关A000045型,A001045型,A002378号,A003683号,A005563号,A015441号,A015518号,
A015521型,A015528号,A015531号,A015540号,A015552号,A028347号,A028552型,A028557号,A028560号,
A028563号,A028566号,A028569号,A051958号,A053404号,A053428,A053430,A053524号,A053573号,
A079773号,A042804号,A085449号,A098603号,A098847型,A098848号,A098849号,A098850型,A099012型,
A099133号,A119412年,A120071年,A132759号,A132760,A132761号,邮编:A132762,邮编:A132763,A132764号,
邮编:A132765,邮编:A132766,邮编:A132767,邮编:A132768,A132769号,邮编:A132770,邮编:A132771,邮编:A132772,和邮编:A132773.
)
12
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  • 雅各布斯塔尔表示数。斐波那契夸脱
    • 霍拉达
    A、 霍拉达姆,雅各布斯塔尔表示数。斐波纳契夸脱。34(1996)40–54。
  • 比奈公式的推广,斐波那契夸脱
    • A K惠特福德
    A、 惠特福德,比奈公式推广,斐波那契夸脱。第15卷(1979年),第21、24、29页。
  • 文章
    全文可用
    我们都认识0,1,1,2,3,5,8,13,。。。但是1,2,4,6,3,9,12,8,10,5,15,。。。?如果你遇到一个数字序列,想知道它以前是否被研究过,只有一个地方可以查看,即整数序列的在线百科全书(或OEIS)。如今,OEIS已进入第49个年头,它包含超过22万个序列,每年新增2万个条目。本文将简要介绍OEIS及其历史。本书还将讨论一些由于复发而产生的序列,这些序列比斐波纳契的要少,这是由于格雷格·巴克和米哈伊·卡拉吉乌、里德·凯利、乔纳森·艾尔斯、迪翁·吉斯维特和扬·里瑟玛·范艾克。
  • 会议文献
    全文可用
    在线整数序列百科全书(简称OEIS)是一个约13万个数字序列的数据库。它可以在网上免费获得(http://www.research.att.com/~njas/sequences/),并被广泛使用。 有几种方法可以使研究受益: 1 它充当一个字典,告诉用户关于特定序列的已知信息。有数百篇论文感谢oei以这种方式提供的帮助。 1 关联序列粉丝邮件列表是一个世界性的网络,它已经发展成为解决新问题的强大机器。 1 作为新定理的直接来源,当一个序列出现在两个不同的环境中。 1 作为新研究的来源,当人们看到oei中的序列迫切需要分析。 oei 40年的历史重述了现代计算机的故事,从穿孔卡片到互联网。 演讲将用大量的例子加以说明,强调过去几个月里出现的新序列。由于大量的书籍和期刊,志愿者在数据库的维护中扮演着重要的角色。如果你在一本书、杂志或网站上遇到一个有趣的数字序列,请把它和参考的OEIS。(你不必是序列的作者)有一个网站可以发送“评论”或“新序列”。过去一年,OEIS增加了几个新功能。多亏了罗斯·考克斯的工作,搜索现在以高速进行,多亏了黛比·斯韦恩的工作,有一个按钮可以显示每个序列的图。最后,一个“听”按钮可以让人听到在乐器上播放的序列(试试Recamáan的序列A005132!)。