在数学中,简单的规则可以解开复杂和美丽的宇宙。以著名的斐波那契数列为例,其定义如下:它以1和1开始,每个后续数字都是前两个数字的和。前几个数字是:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …
是的,这很简单,但这个不起眼的食谱产生了一个具有深远意义的模式,这个模式似乎已经融入了自然界的结构中。它可以在鹦鹉螺的外壳、手指上的骨头和树枝上的叶子排列中看到。它的数学范围延伸到几何、代数和概率等领域。自这个数列被引入西印度的八个世纪以来,印度数学家早在斐波那契之前就对它进行了研究,这些数字继续吸引着研究人员的兴趣,这证明了即使是最基本的数列,其数学深度也能有多深。
在斐波那契数列中,每一项都建立在它之前的项的基础上。这样的递归数列可以表现出各种各样的行为,其中一些非常违反直觉。例如,美国数学家在20世纪80年代首次描述了一组奇怪的序列迈克尔·索莫斯.
与斐波纳契数列一样,Somos数列也是从一系列的数列开始的。Somos公司-k个序列以开头k个其中之一。Somos的每个新术语-k个序列的定义是将前面的项配对,将每对相乘,相加,然后除以项k个按顺序重新定位。
如果k个等于1、2或3,它们只是一系列重复的数字。但为了k个=4、5、6或7序列有一个奇怪的性质。即使涉及到很多除法,分数也不会出现。
索莫斯说:“通常我们没有这种现象。”。“这是一个看似简单的重复,类似于斐波那契。但这种简单背后有很多东西。”
其他数学家继续发现Somos序列和看似无关的数学领域之间惊人的联系。7月份发布的一篇论文使用它们构造解决方案到一个微分方程系统,用于建模从捕食者-食饵相互作用到高能等离子体中传播的波的一切。它们还用于研究称为簇代数和连接到椭圆曲线-这是破解费马最后定理的关键。
贾妮斯·马洛夫,伊利诺伊大学研究生,发表了第一份证明,Somos-4和Somos-5序列都是积分(意思是所有术语都是整数)。其他证明由不同数学家得出的相同结果大约在同一时间出现,同时也证明了Somos-6和Somos-7序列是积分的。
Somos序列的这种奇怪性质让数学家们大吃一惊。“我一了解到Somos序列就对它们产生了兴趣,”他说詹姆斯·普罗普他是马萨诸塞大学洛厄尔分校的数学教授。“事实上,无论你走多远,从Somos-4到Somos-7总是给出整数,当你从天真的角度看待事物时,这似乎是一个奇迹。因此需要一个不同的视角。”
21世纪初,Propp发现了一个新的观点,当时他和他的同事发现Somos-4序列中的数字实际上在计数。序列中的项对应于某些图中的结构。对于某些图,可以将顶点(点)与边(线)配对,以便每个顶点都精确地连接到另一个顶点——没有未配对的顶点,也没有顶点连接到多条边。Somos-4序列中的项计算特定序列图的不同完美匹配数.
这一发现不仅为Somos序列提供了一个新的视角,还引入了思考和分析图形变换的新方法。Propp和他的学生们用一个T恤.
Propp说:“对我来说,数学的吸引力很大一部分是当你通过不同的路径到达同一个目的地时,似乎发生了奇迹般的事情。”。“这些序列最酷的一点是,有各种观点可以解释为什么会得到整数。其中有隐藏的深度。”
对于编号更高的Somos序列,情况发生了变化。Somos-8的前18项是整数,但第19项是分数。之后的每个Somos序列也包含分数。
另一种序列是由德国数学家Fritz Göbel在20世纪70年代开发的,它与Somos序列形成了有趣的对比。这个n个Göbel序列的第个项定义为前面所有项的平方和加1除以n个和Somos序列一样,Göbel序列也包含除法,所以我们可能会认为这些项不会保持为整数。但在一段时间内,随着序列变得越来越庞大,它们似乎是这样的。
Göbel序列中的第10项约为150万,第11项为267亿左右。第43项太大了,无法计算——它大约有1780亿位数。但在1975年,荷兰数学家亨德里克·伦斯特拉结果表明,与前42项不同,第43项不是整数。
Göbel序列可以通过将和中的平方替换为立方体、四次幂或更高的指数来进行推广。(根据这种约定,他的原始序列被称为2-Göbel序列。)这些序列还显示出一种令人惊讶的趋势,即以扩展的整数项开始。1988年,亨利·伊布斯特特显示3-Göbel序列的前89项(使用立方体而不是方形)是整数,但第90项不是整数。随后对其他哥贝尔序列的研究发现,延伸更长。例如,31-Göbel序列以惊人的1077个整数项开始。
七月,九州大学数学家松平仁之助,松中俊一(Toshiki Matsusaka)和Koki Tsuchida分享了一篇论文为一个k个-Göbel序列,无论选择k个,序列的前19项总是整数。他们受日本漫画启发研究这个问题,漫画名为地震-tan,翻译为“整数的故事”。A漫画书中的框架要求读者找出N个k个,一个k个-Göbel序列停止产生整数项。这三位数学家着手回答这个问题。松下说:“整数在如此长的持续时间内意外地持续存在,这与我们的直觉相矛盾。”。“当与直觉相反的现象发生时,我相信总是存在美。”
他们发现重复行为的模式是k个增加。通过关注有限数量的重复案例,他们使计算变得容易处理,并且能够完成证明。
仔细看一下序列N个k个透露了另一个惊喜:N个k个如果它是纯随机的,那么它比你预期的要频繁得多。“使用k个-Göbel序列它们不仅仅是整数,”他说理查德·格林,科罗拉多大学数学家。“值得注意的是,质数出现得如此频繁。这让人觉得可能发生了更深层的事情。”
尽管新论文证明了N个k个总是至少19,不知道它是否总是有限的,或者是否存在k个序列无限期包含整数的。“N个k个行为神秘…人们有一个基本的愿望,就是要理解其潜在模式。”松下说。“这可能类似于我小时候在解决老师给出的难题时所感受到的喜悦。即使是现在,那些当时的情感仍萦绕在我心中。”