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傅里叶分析应用杂志。作者手稿;PMC 2020年10月1日提供。
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预防性维修识别码:PMC6879174型
美国国立卫生研究院:尼姆斯1525199
PMID:31772490

关于Archine分布和HILBERT变换的一点注记

摘要

众所周知,如果(第页n个)n个是中的正交多项式序列L(左)2([−1,1],w个(x个)dx公司),然后根按照反正弦分布分布π−1(1 −x个2)−1dx公司适用于各种重量w个(x个). 我们将此与Tricomi导致的Hilbert变换的结果联系起来:如果(f)(x个)(1 −x个2)1/4L(左)2(−1,1)及其希尔伯特变换高频在(−1,1)上消失,则函数(f)是反正弦分布的倍数

(f)(x个)=c(c)1x个2χ(1,1)哪里c(c).

我们还证明了一个新的局部Parseval类型恒等式:如果(f)(x个)(1−x个2)1/4∈L2(-1,1)和(f)(x个)1x个2(−1,1)的平均值为0,则

11(H(H)(f))(x个)21x个2d日x个=11(f)(x个)21x个2d日x个.

关键词:希尔伯特变换,反正弦分布,积分算子

1介绍

1.1. 介绍

这篇短文是关于希尔伯特变换的性质的

(H(H)(f))(x个)=1π(f)()x个d日

当被解释为操作人员L(左)2([−1,1])(这有时称为“有限”希尔伯特变换H(H)T型). 特里科米似乎是最先研究这个问题的人之一[18]谁对解决所谓的翼型方程感兴趣H(H)(f)=他观察到以下基本结果。

定理1(特里科米[18]).让f(x个)(1 −x个2)1/4L(左)2(−1,1).如果希尔伯特变换Hf在上完全消失(−1,1),然后

(f)(x个)=c(c)1x个2χ(1,1)哪里c(c).

我们将给出定理1的一个特别简单的证明,它的优点是还可以为H(H)T型这似乎是新的(参见§1.3我们还讨论了与正交多项式的联系,其中定理1对积分算子有特别好的解释和反问题。

1.2. 正交多项式

众所周知,给定(−1,1)的非负权重,相关的正交多项式族的根的分布趋向于反正弦分布(这可以追溯到Erdős&Turan[5]1940年,另见埃尔德和弗洛伊德[6],乌尔曼[20]和Van Assche[21]). 我们的主要结果提供了一种相当自然的方式来解释为什么这确实是唯一具有这种性质的自然平滑分布。如果第页n个是有根的多项式{x个1,...,x个n个}⊂(-1,1),然后

第页n个(x个)第页n个(x个)=k个=1n个1x个x个k个

可用于获取有关的根分布的信息。如果第页n个在一个区域中,数量非常大(绝对值),那么它会排斥任何位于那里的根。这表明只有这样才能使第页n个遵循与根相同的分布第页n个是指金额有所抵消;相反,总和是通过根分布的概率测度的希尔伯特变换来近似的,因此我们希望看到根的分布处处消失。正是这种考虑,受到了最近一种动力学解释的推动[16]关于根,这最初导致我们得出定理1。

在这种情况下,定理1最近的一个具体应用(部分受此解释启发)如下:假设第页n个(x个)是次数多项式n个在实线上只有实根。进一步假设根是根据平滑(可能紧支撑)概率分布近似分布的u个0(x个). 关于第页n个? 罗尔定理意味着第页n个n个-1根在实线上,这些根与第页n个特别是,我们可以预期n个→∞,它的根第页n个也根据u个0(x个)更一般地说,对于k个−th导数第页n个(k个)。但是,当k个允许与一起移动n个:关于根的分布可以说什么第页n个(0.1n个)或者,更一般地说,分布u个(t、 x)第页,共页第页n个(n个)用于0<t<1取决于u个0(x个)? 第二作者[17]最近提出了一个非线性非局部输运方程

u个+1πx个(阿卡坦(H(H)u个u个))=0,

哪里H(H)是希尔伯特变换,方程作用于supp(u个(t、 x个)). 推导并不严格,但恢复了(−1,1)正交多项式的正确结果,即Hermite多项式族(其中方程变成收缩半圆分布的单参数族)以及拉盖尔多项式族(其中方程变成了马尔琴科-普斯托尔分布族中的单参数流)。定理1在第一种情况下变得重要,因为u个=0本地要求=0自然导致反正弦分布。Granero-Belinchon研究了圆环上方程的自然变体[7]他在某些空间建立了良好的姿势。

1.3. 积分运算符

还有一个次要的动机:虽然积分算子的上界已经被很好地理解,但对于下界却没有相应的理论。一个简单的问题是:让(f)C类c(c)(1,1),希尔伯特变换必须开多大,比如说,区间(2,3)?阿莱法里、皮尔斯和第二位作者在年给出了一个尖锐的结果[1](另请参见Rüland[15])并阅读

H(H)(f)L(左)2(2,)c(c)1经验(c(c)2(f)L(左)2(1,1)(f)L(左)2(1,1))(f)L(左)2(1,1),

该证明远不稳定(从这个意义上说,对于更一般的积分算子,如何建立这种类型的参数尚不清楚)。对于一般积分算子来说,这个问题似乎是完全公开的(我们指的是[11]对于拉普拉斯变换和傅里叶变换的清晰结果[8]对于并元模型)。在处理希尔伯特变换时H(H)(f)L(左)2()=(f)L(左)2()建议重新表述这个问题:希尔伯特变换如何移动L(左)2−周围函数的质量?我们在这个方向上的主要结果如下。

定理2。 让f(x个)(1 −x个2)1/4L(左)2(−1, 1).如果(f)(x个)1x个2平均值为0,则

11(H(H)(f))(x个)21x个2d日x个=11(f)(x个)21x个2d日x个.

这是对经典全局的一个很好的补充L(左)2−等距H(H)(f)L(左)2()=(f)L(左)2()用于紧凑支持的函数。我们很惊讶在文献中没有发现这个结果,它看起来很好,人们会期望它应该是已知的,并且不难找到。对于卷积类型的更一般的奇异积分算子,是否有类似的陈述(也许不是恒等式,但可能是不等式)?我们参考了阿斯塔拉、帕伊瓦里塔和萨克斯曼的论文[2]贝托拉、卡塞维奇和托夫比斯[],Katsevich[9]冈田和埃利奥特[12,13,14]以及其中的参考文献,以概述现有结果。

2校样

2.1. 定理1和定理2的实变量方法

在进行严格证明之前§2.2,我们草拟了一个不完全严谨的论点(我们没有指定函数的正则性,也没有自由交换求和和与积分)。然而,该参数确实激发了严格的证明,即它可以被解释为投射到区间上的“正确”参数(发生在上半个磁盘上)(这也解释了几个基本恒等式的起源)。

论点草图。我们介绍功能(f)(x个)1x个2这将问题简化为表明,如果该函数的希尔伯特变换在(−1,1)上消失,则该函数为常数。我们将其展开为Chebychev多项式

(f)(x个)1x个2=k个=0k个T型k个(x个)

然后写

1π11(f)()x个d日=1π11(f)()12(x个)12d日=1π11k个=0k个T型k个()(x个)12d日.

我们想证明这个量的消失意味着(f)(x个)1x个2=0.关键要素是身份

1π11k个T型k个()(x个)12d日=k个U型k个1(x个)

哪里U型表示第二类Chebychev多项式,由

U型0(x个)=1,U型1(x个)=2x个U型+1(x个)=2x个U型(x个)U型1(x个).

写作

(f)(x个)1x个2=k个=0k个T型k个(x个),

我们有这个

11(f)(x个)21x个2d日x个=11((f)(x个)1x个2)2d日x个1x个2=11k个,=0k个T型k个(x个)T型(x个)d日x个1x个2=k个,=011k个T型k个(x个)T型(x个)d日x个1x个2=k个=011k个2T型k个(x个)2d日x个1x个2=π2k个=0k个2

上述身份表明

11(H(H)(f))(x个)21x个2d日x个=11(k个=1k个U型k个1(x个))21x个2d日x个=11k个,=1k个U型k个1(x个)U型1(x个)1x个2d日x个=k个=111k个2U型k个1(x个)21x个2d日x个=π2k个=1k个2

从而产生所需的身份

11(f)(x个)21x个2d日x个=11(H(H)(f))(x个)21x个2d日x个

无论何时(f)(x个)1x个2平均值为0。

这个论据的草图可能有一种不太舒服的感觉:积分和求和可以这样交换,这一点尚不明确,代数恒等式似乎是凭空产生的:事实上,我们在投影在单位区间上的不同空间中观察到了一个相当自然的证明。下一节包含了一个更具启发性的证明(同时解释了上述身份的起源)。

2.2. 定理1和定理2的证明

主要思想是可以在Coifman&Weiss的一篇论文中找到一种替代方法[4]将(−1,1)上的希尔伯特变换与圆盘边界上的共轭函数联系起来(技巧肯定比这更古老);因此,该证明本质上是代数的,不太可能推广到其他积分算子。

证明。(f)(x个)(1 −x个2)1/4L(左)2(−1,1)。我们定义一个函数: [−π, π] →ℝ 通过

(θ)=(f)(余弦θ)1(余弦θ)2.

我们想确保L(左)2(−π, π),一个简单的替换x个=余弦ψ说明了这一点

ππ(θ)2d日θ=ππ(f)(余弦θ)2(1(余弦θ)2)d日θ=11(f)(x个)21x个2d日x个

这是有限的假设。然而,简单的替换(在[4])通过显示x个=cosψ

第页.v(v).1π11(f)()x个d日=12ψ第页.v(v).1πππ(θ)帆布床(ψθ2)d日θ.

然而,最后一个主值只是共轭函数的公式.如果平均值为0(这是与反正弦分布的正交性),则共轭函数具有相同的L(左)2−作为函数的范数。这意味着结果。

确认

我们非常感谢裁判向我们推荐特里科米的工作和一些有益的建议。

国家卫生研究院对C.R.提供了部分支持。S.S.部分由NSF(DMS-1763179)和Alfred P.Sloan基金会提供支持。

工具书类

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