定义
具有恒定功率谱密度（PSD）功能的随机过程（或可视化信号）是白噪声过程。
功率谱密度
功率谱密度函数（PSD）显示每个光谱分量中包含的功率。例如，对于固定频率的正弦波，PSD图将只包含给定频率下的一个频谱分量。PSD是一个偶数函数，因此绘制时频率分量将在Y轴上镜像。因此，对于固定频率的正弦波，PSD的双面图将有两个分量–一个在正弦波的+ve频率，另一个在–ve频率。（知道如何绘制PSD/FFT在Python中&在Matlab中)
高斯和均匀白噪声：
白噪声信号（过程）由一组独立的同分布随机变量组成。在离散意义上，白噪声信号由一系列独立的样本组成，并由相同的样本生成概率分布例如，可以使用随机数生成器生成白噪声信号，其中所有样本都遵循给定的高斯分布。这称为高斯白噪声（WGN）或高斯白噪声。类似地，白噪声信号由均匀分布称为均匀白噪声。
高斯噪声和均匀噪声常用于系统建模。在建模/仿真中，可以使用适当的随机生成器生成白噪声。可以使用以下方法生成高斯白噪声兰登Matlab中的函数，它生成遵循高斯分布的随机数。同样，兰特函数可用于在Matlab中生成遵循均匀分布的均匀白噪声。当使用随机数生成器时，它会根据给定的分布生成一系列随机数。让我们以生成长度为10的高斯白噪声为例，使用随机数Matlab中的函数–平均值为零，标准偏差为1。
>>mu=0；σ=1；>>噪声=sigma*randn（1,10）+mu噪音=-1.5121 0.7321-0.1621 0.4651 1.4284 1.0955-0.5586 1.4362-0.8026 0.0949
什么是身份证？
这只是从标准正态分布中生成10个随机数。正如我们所知，白过程被视为由几个随机变量组成的随机过程，遵循相同的概率分布函数（PDF）。上面的10个随机数是从相同的PDF（标准正态分布）中生成的。这种情况称为“同分布”条件。上述单个样本彼此“独立”。此外，每个样本都可以看作是一个随机变量的实现。实际上，我们已经生成了一个由10个随机变量的实现组成的随机过程。因此，上述过程由“独立同分布”（i.i.d）随机变量构成。
严格和弱定义的白噪声：
由于白噪声过程是由i.i.d随机变量/样本构建的，所有样本遵循相同的潜在概率分布函数（PDF）。因此，过程的联合概率分布函数不会随时间的任何变化而变化。这被称为平稳过程。因此，该噪声是一个平稳过程。与静止过程一样，静止过程可分为严格意义静止（SSS）和广域静止（WSS）过程，我们可以有白噪声即SSS和白噪声即WSS。相应地，他们可以被称为严格地定义白噪声信号和弱定义白噪声信号.
协方差函数/矩阵是什么？
用\（x（t）\）表示的白噪声信号在弱意义下定义是一个更实际的条件。这里，样本在统计上是不相关的，并且具有相同的分布，方差等于\（\σ^2 \）。通过使用协方差函数来指定此条件
\[COV\left（x_i，x_j\right）=\begin{cases}\sigma^2，&\quad i=j\\0，&\quad i\neq j\end{casesneneneep \]
为什么我们需要协方差函数？因为，我们处理的是一个由随机变量（上述建模示例中的10个变量）组成的随机过程。这种过程被视为多元随机向量或多元随机变量.
对于多元随机变量，协方差函数指定了给定随机过程中每个变量的相互行为。协方差函数将方差的概念推广到多个维度。
上述方程以矩阵形式表示时，给出了白噪声随机过程的协方差矩阵。由于此过程中的随机变量在统计上不相关，协方差函数仅包含沿对角线的值。
\[C_{xx}=\begin{bmatrix}\sigma^2&\cdots&0\\vdots&\sigma ^2&\ vdots\\0&\cdotes&\sigma^2\end{bmatriax}=\sigma-2\mathbf{I}\]
上面的矩阵表明每个随机变量只存在自相关函数。互相关值为零（样本/变量之间在统计上互不相关）。对角线元素等于方差，矩阵中的所有其他元素为零。弱定义白噪声的系综自相关函数由给出。这表明弱定义白噪音过程的自相关函数除滞后时外处处为零。
\[R_{xx}（\tau）=E\左[x（t）x^*（t-\tau
相关主题：在Matlab中构造自相关矩阵
频域特性：
维纳-钦钦定理声明：广义静态过程（WSS）通过对随机过程的自相关函数进行傅里叶变换，可以得到随机过程的功率谱密度函数S_{xx}（f）。在连续时域中，这表示为
\[S_{xx}（f）=f\左[R_{xxx}（\tau）\右]=\int_{-\infty}^{\infty}R_{xx}[\tau（\tao）e^{-j 2\pi f\tau}d\tau]
对于弱定义的白噪声过程，我们发现平均值是一个常数，其协方差不随时间变化。这是WSS进程的一个充分条件。因此，我们可以应用韦纳-钦钦定理。因此，弱定义白噪声过程的功率谱密度在整个频谱中是恒定的（平坦的）（图1）。常数的值等于噪声信号的方差或功率。
\[S_{xx}（f
图1:Weiner-Khintchine定理说明
在Matlab中测试白高斯噪声的特性：
使用Matlab中的randn函数生成一个长度为（L=100000）的高斯白噪声信号并绘制它。假设pdf是高斯pdf，平均值为（mu=0），标准偏差为（sigma=2）。因此，高斯pdf的方差为（sigma^2=4）。高斯随机变量的理论PDF由下式给出
\[f_X（X）=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot exp\left[–\frac}\left（X–\mu\right）^2}{2\sigma^2}\right]]
以下电子书中提供了更多仿真技术
●使用Matlab的数字调制
●使用Python的数字调制
●Matlab中的无线通信系统
全部清除；clc；全部关闭；L=100000；%随机信号的采样长度mu=0；σ=2；X=σ*randn（L，1）+μ；图（）；子区（2,1,1）图（X）；title（['白噪声：\mu_x='，num2str（mu），'\sigma^2='，num2str（sigma^2）]）xlabel（“样品”）ylabel（“样本值”）网格打开；
图2：模拟噪声样本
绘制直方图并通过绘制高斯随机变量的理论pdf来验证直方图。
如果您倾向于使用Python编程，转到此处了解有关使用Matplotlib包绘制直方图的信息.
子区（2,1,2）n=100；%Histrogram存储箱的数量[f，x]=历史（x，n）；巴（x，f/trapz（x，f））；坚持；%高斯随机变量的理论概率密度函数g=（1/（sqrt（2*pi）*sigma））*exp（-（（x-mu））^2） /（2*sigma^2））；图（x，g）；拖延；网格打开；标题（“高斯白噪声理论PDF和模拟直方图”）；图例（“柱状图”，“理论PDF”）；xlabel（“箱子”）；ylabel（“PDF f_x（x）”）；
图3：高斯RV的模拟和理论PDF图
计算自相关函数白噪音的影响。计算的自相关函数必须适当缩放。如果“互相关系数'函数（内置于Matlab中）用于计算自相关函数，请使用'有偏见的'参数来正确缩放它。
图（）；Rxx=1/L*转换（翻转（X），X）；滞后=（-L+1）:1:（L-1）；%替代方法%[Rxx，滞后]=xcorr（X，‘偏倚’）；%参数“biased”用于按1/L正确缩放%将自相关与样本长度归一化，以实现适当的缩放图（滞后，Rxx）；标题（“白噪声的自相关函数”）；xlabel（“滞后”）ylabel（“相关性”）网格打开；
图4：产生噪声的自相关函数
模拟PSD:
模拟功率谱密度白噪声（PSD）是一件有点棘手的事情。这里有两个问题：1）生成的样本长度有限。这与应用截断无限系列随机样本是同义的。这意味着滞后是在固定范围内定义的。(FFT和频谱泄漏–可以在此处找到有关此主题的其他资源)2）仿真中使用的随机数生成器是伪随机生成器。由于这两个原因，当您对生成的自相关值应用傅里叶变换时，将不会得到平坦的psd谱。通过产生足够长的随机信号并在随机信号的多次实现中平均psd，可以将psd的波动效应降至最低。
将高斯白噪声模拟为多元高斯随机向量：
为了验证白噪声的功率谱密度，我们将使用假设噪声为（N）高斯随机变量的组合的方法。我们希望将PSD平均到这种实现的L上。由于每个实现都有（N）个高斯随机变量（N个单独的样本），协方差矩阵（C_{xx}）的维数为（N乘以N）。此多元情况的平均向量为维数（1乘以N）。
Cholesky分解协方差矩阵给出了多元情况下的等效标准偏差。Cholesky分解可以看作是平方根运算。这里使用Matlab的randn函数生成具有给定平均矩阵和协方差矩阵的多维高斯随机过程。
%白高斯噪声过程恒定PSD的验证%具有任意平均值和标准偏差sigmamu=0；%噪声过程每次实现的平均值σ=2；%噪声过程的每个实现的SigmaL=1000；%要平均的随机信号实现数N=1024；%每个实现的样本长度设置为FFT的2次幂%生成随机过程-白高斯噪声过程MU=μ*个数（1，N）；%所有实现的平均向量Cxx=（σ^2）*诊断（个数（N，1））；%随机过程的协方差矩阵R=胆固醇（Cxx）；%协方差矩阵的Cholesky%用给定的平均向量和%协方差矩阵Cxxz=代表（MU，L，1）+兰登（L，N）*R；
计算上述生成的多维过程的PSD，并对其进行平均，以获得平滑图。
%默认情况下，FFT在每列上执行-Normal命令FFT（z）%求每行多元分布的FFT%命令-fft（z，[]，2）Z=1/sqrt（N）*fft（Z，[]，2）；%按平方米（N）缩放；Pzavg=平均值（Z.*conj（Z））；%从fft计算平均功率正常频率=[-N/2:N/2-1]/N；Pzavg=fftshift（Pzavg）；%将零频率分量移到频谱中心曲线图（normFreq，10*log10（Pzavg），‘r’）；轴（[-0.5 0.5 0 10]）；网格打开；ylabel（“功率谱密度（dB/Hz）”）；xlabel（“归一化频率”）；标题（“白噪声功率谱密度”）；
图5：产生噪声的功率谱密度
产生噪声的PSD图显示所有频率的几乎固定功率。换句话说，对于白噪声信号，PSD在所有频率（\（-\infty\）到\（+\infty））上都是恒定的（平坦的）。上图中的y轴以dB/Hz单位表示。从图中可以看出，（常数；功率=10log{10}（σ^2）=10log}（4）=6；分贝）。
应用程序
在渠道建模中，我们经常会遇到加性高斯白噪声信道。要了解更多有关渠道模型及其模拟的信息，请继续阅读本文：在Matlab和Python中模拟AWGN信道。
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参考文献：
[1]罗伯特·格罗弗·布朗，《随机信号分析和卡尔曼滤波导论》，约翰·威利父子出版社，1983年.↗
[2]Athanasios Papoulis，《概率、随机变量和随机过程》，第三版，WCB/McGraw-Hill，1991.↗
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