Cholesky分解：Python和Matlab

通过

Cholesky分解是对称正定矩阵求逆的一种有效方法。让我们在Python和Matlab中演示该方法。

胆碱酯酶因子

任何n次n对称的正定矩阵 A类 可以分解为

A=LL^T

哪里L（左）是n次n下三角矩阵L（左）通常称为“胆碱酯酶因子 A类”. 矩阵L（左）可以解释为正定矩阵的平方根A类.

查找Cholesky分解的基本算法：

注：在下面的文本中，用希腊字母表示的变量表示标量值，用拉丁字母小表示的变量是列向量，而用拉丁字母大写表示的变量则是矩阵。

给定正定矩阵A类，它的分区如下。

Cholesky因子分解

\字母{11}= 的第一个元素A类和L（左）分别地
a{21}，l{21}=从第二行开始的第一列的列向量A类和L（左）分别地
A_{22}，L_{22}=矩阵的剩余下半部分A类和L（左）大小分别为（n-1）次

已对矩阵进行分区A类如上所示，可以通过以下迭代过程计算Cholesky因子分解。

计算Cholesky因式分解的步骤：

步骤1：计算标量：\lambda{11}=\sqrt{\alpha{11}}
步骤2：计算列向量：l{21}=a{21}/\lambda{11}
步骤3：计算矩阵：A_{22}=l_{21}l^T_{21}+l_｛22｝升^T_{22}
步骤4：更换A类具有A_{22}，即，A=A_{22}
第5步：从第1步开始重复，直到第4步的矩阵大小变为1\次1.

Matlab程序（实现上述算法）：

函数1:[F]=cholesky（A，选项）

函数[F]=cholesky（A，选项）%求正定矩阵a的Cholesky因子的函数%作者Mathuranathanhttps://www.gaussianwaves.com网站%知识共享授权：CC-NC-BY-SA 3.0%A=正定矩阵%选项可以是以下“下”、“上”之一%L=A的Cholesky因子分解，使得A=LL^T%如果option='Lower'，则返回Cholesky因子矩阵L%下三角形状%如果option='Upper'，则返回Cholesky因子矩阵L%上三角形状%正定性测试（需要满足对称性）%检查矩阵是否对称如果~等于（A，A'），错误（“输入矩阵不对称”）；结束如果是正定（A），[m，n]=尺寸（A）；L=零（m，m）；%初始化为全零行=1；col=1；j=1；对于i=1:m，a11=平方（A（1,1））；L（行，列）=a11；如果（m~=1），%到达最后一个分区L21=A（j+1:m，1）/a11；L（行+1：结束，列）=L21；A=（A（j+1:m，j+1:m）-L21*L21'）；[m，n]=尺寸（A）；行=行+1；col=col+1；结束结束切换nargin案例2如果strcmpi（option，'upper'），F=L'；其他的如果strcmpi（option，'lower'），F=L；else错误（“无效选项”）；结束结束案例1F=L；否则错误（“输入参数不足”）结束其他的错误（“给定矩阵A不是正定的”）；结束结束

函数2:x=isPositiveDefinite（A）

函数x=是正定（A）%检查给定矩阵a是否正定的函数%作者Mathuranathanhttps://www.gaussianwaves.com%知识共享授权：CC-NC-BY-SA 3.0%如果输入矩阵是正定的，则返回x=1%如果输入矩阵不是正定的，则返回x=0[m，~]=尺寸（A）；%积极确定性测试x=1；%检查积极性的标志对于i=1:msubA=A（1:i，1:i）；%提取左上角的kxk子矩阵if（det（subA）<=0）；%检查kxk子矩阵的行列式是否为+vex=0；断裂；结束结束%用于调试%如果是x，则显示（“给定矩阵为正定”）；%else显示（“给定矩阵非正定”）；结束结束

样品运行：

A是随机生成的正定矩阵。要生成随机正定矩阵，请检查下面“外部链接”部分中的链接。

>>A=[3.3821，0.8784，0.3613，-2.0349；0.8784、2.0068，0.5587，0.1169；0.3613、0.5587、3.6656，0.7807；-2.0348，0.1169,0.7807，2.5397]；

A=\开始{bmatrix}3.3821&0.8784&0.3613&-2.0349 \\ 0.8784&2.0068&0.5587&0.1169\\ 0.3613&0.5587&3.6656&0.7807 \\-2.0349&0.1169&0.7807&2.5397\结束{bmatricx}

>>cholesky（A，‘下’）

ans=\ begin｛bmatrix｝1.8391&0&0&0\\0.4776&1.3337&0&0\\0.1964&0.3486&1.8723&0\\-1.1065&0.4839&0.4430&0.9408\ end｛bmatrix｝

>>cholesky（A，‘上部’）

ans=\begin{bmatrix}1.8391&0.4776&0.1964&-11065 \\0&1.3337&0.3486&0.4839 \\0&0&1.8723&0.4430\\ 0&0&0&0.9408 \end{bmatrix}

Python（numpy）

让我们使用Python的Numpy包验证上述结果。numpy包numpy.linalg公司包含乔列斯基计算Cholesky分解的函数（返回L（左）下三角矩阵形式）。可以按如下方式调用

>>>将numpy导入为np>>>A=[[3.3821，0.8784，0.3613，-2.0349]\[0.8784，2.0068，0.5587，0.1169]\[0.3613, 0.5587, 3.6656, 0.7807],\[-2.0349, 0.1169, 0.7807, 2.5397]]>>>np.linalg.cholesky（A）>>>数组（[[1.83904867，0，0.        ,  0.        ],[ 0.47763826,  1.33366476,  0.        ,  0.        ],[ 0.19646027,  0.34856065,  1.87230041,  0.        ],[-1.106496  ,  0.48393333,  0.44298574,  0.94071184]])

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